Zählen
Zählen heißt, für jedes Ding in einer Gruppe der Reihe nach eine Zahl zu sagen, um herauszufinden, wie viele es sind. Die letzte Zahl, die du sagst, ist die Gesamtzahl.
Schullexikon
Mathe
Zahlen, Formen, Messen und Daten, vom Zählen bis zu Pythagoras.
Etwa 3 bis 7 Jahre
Erste Schritte
Etwa 5 bis 11 Jahre
Grundschule
Addition (Plus rechnen)
Addition heißt, Mengen zusammenzufügen und die Gesamtzahl zu finden. Das Zeichen ist +, das Ergebnis heißt Summe, zum Beispiel 4 + 3 = 7.
Flache Formen (2D-Formen)
2D-Formen sind flache Formen mit Länge und Breite, aber ohne Dicke, zum Beispiel Kreis, Dreieck, Quadrat und Sechseck. Du kannst sie auf Papier zeichnen.
Zahlzerlegung (Zahlenpaare)
Zahlenpaare sind zwei Zahlen, die zusammen eine bestimmte Summe ergeben, wie 3 und 7 zusammen 10. Wer sie auswendig kann, rechnet schneller.
Gerade und ungerade Zahlen
Gerade Zahlen lassen sich in zwei gleich große Gruppen oder Paare teilen, ohne dass etwas übrig bleibt (2, 4, 6 …). Bei ungeraden bleibt immer eins übrig (1, 3, 5 …).
Strichlisten
Eine Strichliste ist eine Tabelle, in der man mit kleinen Strichen zählt. Jeder Strich ist eins, und jeder fünfte Strich streicht die vier davor durch, sodass man in Fünfern zählen kann.
Bilddiagramme (Piktogramme)
Ein Bilddiagramm zeigt Daten mit kleinen Bildern oder Symbolen. Die Legende sagt dir, wie viel jedes Bild wert ist, zum Beispiel ein Apfel für 2 Äpfel.
Die Uhrzeit
Um die Uhrzeit abzulesen, schaust du mit dem kurzen Zeiger auf die Stunde und mit dem langen auf die Minuten. Zeigt der lange Zeiger auf die 6, ist es halb.
Subtraktion (Minus rechnen)
Subtraktion heißt, eine Menge von einer anderen wegzunehmen oder den Unterschied zwischen zwei Zahlen zu finden. Das Zeichen ist −, also 9 − 4 = 5.
Geld
Beim Rechnen mit Geld zählst du Münzen und Scheine, addierst Preise und berechnest Rückgeld. Die meisten Währungen teilen eine Einheit in 100 kleinere, wie 100 Cent in einem Euro.
Längen und Messen
Die Länge sagt, wie lang, hoch oder weit etwas ist. Man misst sie mit Lineal oder Maßband in Millimetern, Zentimetern, Metern und Kilometern (oder in Zoll, Fuß und Meilen).
Zahlen vergleichen und ordnen
Zahlen vergleichen heißt herausfinden, welche größer, kleiner oder gleich groß ist, und das mit >, < oder = aufschreiben. Zum Beispiel 52 > 25, denn 5 Zehner sind mehr als 2 Zehner.
Zahlenstrahl (Zahlengerade)
Ein Zahlenstrahl ist eine gerade Linie mit Zahlen in gleichen Abständen, die kleinste links und die größte rechts. Er hilft beim Zählen, Vergleichen, Plus- und Minusrechnen.
3D-Körper
3D-Körper sind feste Formen mit Länge, Breite und Höhe, zum Beispiel Würfel, Kugel, Zylinder und Pyramide. Sie haben Flächen, Kanten und Ecken.
Brüche
Ein Bruch ist ein Teil eines Ganzen, das in gleiche Teile geteilt wurde. Bei ¾ sagt die untere Zahl, in wie viele gleiche Teile geteilt wurde, die obere, wie viele du hast.
Hohlmaße (Fassungsvermögen)
Das Fassungsvermögen sagt, wie viel in einen Behälter passt. Man misst es meist in Millilitern (ml) und Litern (l). Eine große Wasserflasche fasst oft 2 Liter, das sind 2000 ml.
Masse und Gewicht
Masse ist, wie viel Stoff in einem Gegenstand steckt, gemessen in Gramm und Kilogramm. Gewicht ist die Anziehung der Schwerkraft auf diese Masse. Im Alltag sagt man für beides Gewicht.
Punktefelder
Ein Punktefeld ordnet Punkte in gleich langen Reihen und Spalten an. 3 Reihen mit je 4 Punkten zeigen 3 · 4 = 12. So sehen Kinder, was Malnehmen bedeutet.
Stellenwert
Stellenwert heißt: Der Wert einer Ziffer hängt von ihrer Stelle in der Zahl ab. In 352 ist die 3 dreihundert wert, die 5 fünfzig und die 2 zwei.
Das Einmaleins (Malreihen)
Das Einmaleins sind die Malaufgaben einer Zahl, zum Beispiel 3 · 1 = 3 bis 3 · 12 = 36. Wer sie auswendig kann, kommt in fast allem späteren Mathe schneller voran.
Division (Teilen)
Division heißt, in gleiche Gruppen zu teilen oder herauszufinden, wie oft etwas hineinpasst. Das Zeichen ist :, also 12 : 3 = 4. Das Ergebnis heißt Quotient.
Multiplikation (Malnehmen)
Multiplikation heißt, gleiche Gruppen schnell zusammenzuzählen. 4 · 3 bedeutet 4 Gruppen mit je 3 (oder 3 Gruppen mit je 4), das sind 12. Das Ergebnis heißt Produkt.
Balkendiagramme
Ein Balkendiagramm zeigt Daten mit Balken unterschiedlicher Länge. Je länger der Balken, desto größer die Zahl. Man nennt es auch Säulendiagramm, wenn die Balken senkrecht stehen.
Ecken, Kanten und Flächen
Flächen sind die Begrenzungsflächen eines Körpers, Kanten sind die Linien, an denen zwei Flächen zusammenstoßen, und Ecken sind die Spitzen. Ein Würfel hat 8 Ecken, 12 Kanten und 6 Flächen.
Symmetrie
Eine Figur ist symmetrisch, wenn eine Hälfte das Spiegelbild der anderen ist (Achsensymmetrie) oder wenn sie nach einer Drehung wieder gleich aussieht (Drehsymmetrie).
Überschlagen und Schätzen
Überschlagen heißt, ein sinnvolles Ergebnis abzuschätzen, meist indem du die Zahlen vorher rundest. So weißt du ungefähr, was herauskommen sollte, und entdeckst Fehler.
Zahlenfolgen
Eine Zahlenfolge ist eine Liste von Zahlen oder Figuren, die einer Regel folgt, wie 3, 7, 11, 15 (jedes Mal plus 4). Jeder Eintrag heißt Glied.
Brüche vergleichen
Zum Vergleichen prüfst du, ob die Brüche denselben Nenner oder Zähler haben, oder machst sie gleichnamig. Der größere Bruch ist der mit dem größeren Anteil am Ganzen.
Gleichwertige Brüche (Erweitern und Kürzen)
Gleichwertige Brüche sehen verschieden aus, sind aber gleich groß, wie 1/2, 2/4 und 4/8. Du erhältst sie, indem du Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnimmst oder teilst.
Rest bei der Division
Der Rest ist das, was übrig bleibt, wenn eine Zahl nicht genau durch eine andere teilbar ist. Bei 17 : 5 = 3 Rest 2 bleiben 2 übrig, nachdem man drei Gruppen mit 5 gebildet hat.
Arten von Dreiecken
Dreiecke werden nach ihren Seiten (gleichseitig, gleichschenklig, ungleichseitig) oder nach ihren Winkeln (spitzwinklig, rechtwinklig, stumpfwinklig) benannt. Die Winkelsumme beträgt immer 180 Grad.
Körpernetze und Würfelnetze
Ein Körpernetz ist eine flache Figur, die sich zu einem Körper zusammenfalten lässt. Ein Würfelnetz besteht aus 6 Quadraten, und es gibt genau 11 verschiedene Würfelnetze.
Maßeinheiten
Maßeinheiten für Länge, Gewicht und Rauminhalt gehen in Zehner-, Hunderter- und Tausenderschritten. Millimeter, Meter, Gramm, Kilogramm und Liter gehören dazu.
Parallele und senkrechte Linien
Parallele Linien verlaufen nebeneinander und treffen sich nie, mit immer gleichem Abstand. Senkrechte Linien stehen in einem rechten Winkel von genau 90 Grad aufeinander.
Römische Zahlen
Römische Zahlen schreibt man mit sieben Buchstaben: I, V, X, L, C, D und M. Man addiert sie, und ein kleinerer Buchstabe vor einem größeren wird abgezogen: IV ist 4, XI ist 11.
Runden
Runden heißt, eine Zahl durch eine einfachere Zahl in der Nähe zu ersetzen, zum Beispiel 47 auf Zehner gerundet ergibt 50. Mit gerundeten Zahlen lässt es sich leichter rechnen.
Umfang
Der Umfang ist die gesamte Strecke einmal um den Rand einer ebenen Figur. Bei einem Rechteck mit 5 cm Länge und 3 cm Breite sind das 5 + 3 + 5 + 3 = 16 cm.
Vielecke
Ein Vieleck (Polygon) ist eine ebene Figur, die nur aus geraden Seiten besteht, die sich vollständig schließen. Dreieck, Quadrat, Fünfeck und Sechseck sind Vielecke, ein Kreis nicht.
Vierecke
Ein Viereck ist jede ebene Figur mit vier geraden Seiten. Quadrat, Rechteck, Raute, Parallelogramm, Trapez und Drachenviereck sind Vierecke, ihre Winkel ergeben zusammen 360 Grad.
Teile des Kreises
Ein Kreis hat einen Mittelpunkt, einen Radius, einen Durchmesser und einen Umfang. Der Radius geht vom Mittelpunkt zum Rand, der Durchmesser ist doppelt so lang.
Winkel
Ein Winkel beschreibt, wie weit sich zwei Linien, die sich in einem Punkt treffen, auseinanderdrehen. Er wird in Grad (°) gemessen: ein rechter Winkel hat 90°, eine ganze Drehung 360°.
Brüche addieren und subtrahieren
Beim Addieren und Subtrahieren machst du die Brüche zuerst gleichnamig. Dann rechnest du nur die Zähler und behältst den Nenner. Beispiel: 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6.
Brüche kürzen
Beim Kürzen teilst du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl, bis es nicht mehr geht. Zum Beispiel wird 12/18 zu 2/3, wenn du beide durch 6 teilst.
Dezimalzahlen (Kommazahlen)
Dezimalzahlen sind Zahlen mit einem Komma. Die Ziffern hinter dem Komma zeigen Zehntel, Hundertstel und so weiter, also bedeutet 2,5 zwei und fünf Zehntel.
Die 24-Stunden-Uhr
Die 24-Stunden-Uhr zählt die Stunden von 00:00 Uhr um Mitternacht bis 23:59 Uhr, es gibt kein vormittags und nachmittags. Für Nachmittagszeiten addierst du 12: 15:00 Uhr ist 3 Uhr nachmittags.
Schriftliche Multiplikation
Die schriftliche Multiplikation rechnet große Malaufgaben in kleinen Schritten. Du multiplizierst mit jeder Ziffer des zweiten Faktors einzeln und addierst die Teilergebnisse.
Unechte Brüche und gemischte Zahlen
Ein unechter Bruch hat einen größeren Zähler als Nenner, wie 7/4. Eine gemischte Zahl zeigt dieselbe Menge als ganze Zahl plus Bruch, wie 1 3/4.
Teilbarkeitsregeln
Teilbarkeitsregeln zeigen dir, ob eine Zahl durch 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11 oder 12 teilbar ist, ohne zu dividieren. Man schaut auf die letzten Ziffern oder auf die Quersumme.
Drehsymmetrie
Eine Figur ist drehsymmetrisch, wenn sie nach einer Drehung um weniger als 360° um ihren Mittelpunkt gleich aussieht. Die Ordnung sagt, wie oft sie bei einer vollen Drehung auf sich passt.
Flächeninhalt
Der Flächeninhalt ist die Größe der ebenen Fläche innerhalb einer Form, gemessen in Quadrateinheiten wie cm² oder m². Ein Rechteck mit 4 cm und 3 cm hat 4 · 3 = 12 cm².
Koordinaten
Koordinaten sind ein Zahlenpaar, das eine genaue Position in einem Gitter angibt, zum Beispiel (3; 5). Die erste Zahl sagt, wie weit nach rechts (x), die zweite, wie weit nach oben (y).
Kreuztabelle (Vierfeldertafel)
Eine Kreuztabelle ordnet Daten nach zwei Merkmalen zugleich, eins in den Zeilen, eins in den Spalten. Mit den Summen ergänzt man Lücken und berechnet Wahrscheinlichkeiten.
Negative Zahlen
Negative Zahlen sind Zahlen, die kleiner als null sind. Sie werden mit Minuszeichen geschrieben, zum Beispiel −3. Du begegnest ihnen bei Kälte, Schulden und Etagen unter der Erde.
Teiler und Vielfache
Teiler sind Zahlen, die genau in eine Zahl hineinpassen (die Teiler von 12 sind 1, 2, 3, 4, 6 und 12). Vielfache sind die Zahlen ihrer Einmaleins-Reihe (12, 24, 36 …).
Venn-Diagramme
Ein Venn-Diagramm sortiert Dinge mit sich überlappenden Kreisen in Gruppen. Die Schnittmenge zeigt, was zu beiden Gruppen gehört, und außerhalb steht, was zu keiner gehört.
Schriftliche Division
Die schriftliche Division teilt eine große Zahl in gleiche Teile. Du wiederholst vier Schritte: teilen, multiplizieren, subtrahieren, herunterholen. Du arbeitest von links, Stelle für Stelle.
Brüche multiplizieren
Brüche multiplizierst du, indem du Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner rechnest und dann kürzt. Ein gemeinsamer Nenner ist nicht nötig, 2/3 · 4/5 = 8/15.
Kreisdiagramme
Ein Kreisdiagramm ist ein in Stücke geteilter Kreis, der Teile eines Ganzen zeigt. Ein größeres Stück bedeutet einen größeren Anteil. Zusammen sind alle Stücke 100 Prozent oder 360 Grad.
Liniendiagramme
Ein Liniendiagramm zeigt, wie sich etwas im Lauf der Zeit verändert. Man trägt Punkte in ein Gitter ein und verbindet sie mit einer Linie. So sieht man Anstieg, Abfall und Muster sofort.
Primzahlen
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die genau zwei Teiler hat: 1 und sich selbst. Die ersten Primzahlen sind 2, 3, 5, 7, 11 und 13.
Prozent (Prozentrechnung)
Ein Prozent ist eine Zahl von 100, geschrieben mit dem Zeichen %. 25 % bedeutet also 25 von 100, das ist dasselbe wie ein Viertel.
Quadratzahlen
Eine Quadratzahl entsteht, wenn du eine ganze Zahl mit sich selbst malnimmst, wie 4 · 4 = 16. Die ersten Quadratzahlen sind 1, 4, 9, 16, 25 und 36.
Spiegelung, Drehung und Verschiebung
Abbildungen bewegen eine Figur, ohne ihre Größe oder Form zu ändern. Bei der Verschiebung gleitet sie, bei der Spiegelung klappt sie an einer Achse um, bei der Drehung dreht sie sich um einen Punkt.
Volumen
Das Volumen ist der Raum, den ein 3D-Körper einnimmt, gemessen in Kubikeinheiten wie cm³ oder m³. Ein Quader mit 4 cm, 3 cm und 2 cm Kantenlänge hat ein Volumen von 24 cm³.
Brüche dividieren
Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert. Den ersten Bruch abschreiben, aus geteilt wird mal, den zweiten umdrehen. 3/4 : 1/2 = 3/4 · 2/1 = 3/2.
Dezimalzahlen dividieren
Durch eine natürliche Zahl teilt man schriftlich und setzt das Komma, sobald man es im Dividenden überschreitet. Hat der Divisor ein Komma, verschiebt man beide: 7,2 : 0,6 = 72 : 6 = 12.
Rechenreihenfolge (Punkt vor Strich)
Die Rechenreihenfolge legt fest, in welcher Reihenfolge man rechnet: erst Klammern, dann Potenzen, dann Punktrechnung (· und :), dann Strichrechnung (+ und −).
Etwa 11 bis 16 Jahre
Weiterführende Schule
Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit misst, wie wahrscheinlich etwas eintritt, auf einer Skala von 0 (unmöglich) bis 1 (sicher). Eine faire Münze zeigt mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 Kopf.
Direkte Proportionalität
Zwei Größen sind direkt proportional, wenn zum Doppelten der einen das Doppelte der anderen gehört. Die Formel ist y = k · x, k heißt Proportionalitätsfaktor.
Flächeninhalt eines Dreiecks
Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist die Hälfte von Grundseite mal Höhe: A = ½ · g · h. Bei g = 8 cm und h = 5 cm sind das 20 Quadratzentimeter.
Flächeninhalt eines Trapezes
Addiere die beiden parallelen Seiten, nimm die Hälfte und multipliziere mit der Höhe: A = (a + c) : 2 · h. Bei a = 6 cm, c = 4 cm und h = 3 cm ist A = 15 cm².
ggT und kgV
Der ggT ist die größte Zahl, die in zwei Zahlen aufgeht. Das kgV ist die kleinste Zahl, in der beide aufgehen. Bei 12 und 18 ist der ggT 6 und das kgV 36.
Kreisumfang
Der Kreisumfang ist die Länge der Kreislinie: u = 2 · π · r = π · d. Ein Kreis mit 10 cm Durchmesser hat etwa 31,4 cm Umfang.
Primfaktorzerlegung
Bei der Primfaktorzerlegung schreibt man eine Zahl als Produkt von Primzahlen. Zum Beispiel ist 60 = 2 · 2 · 3 · 5, kurz 2² · 3 · 5.
Geschwindigkeit, Weg und Zeit
Die Geschwindigkeit ist der Weg geteilt durch die Zeit. Also v = s : t, s = v · t und t = s : v. Ein Auto, das in 2 Stunden 150 km fährt, hat 75 km/h.
Gewinn und Verlust
Gewinn = Verkaufspreis − Einkaufspreis; Verlust = Einkaufspreis − Verkaufspreis. Gewinn in Prozent = Gewinn : Einkaufspreis · 100. Für 20 € gekauft, für 25 € verkauft: 5 € Gewinn, also 25 %.
Kehrwert
Der Kehrwert einer Zahl ist 1 geteilt durch diese Zahl, sodass beide multipliziert 1 ergeben. Bei einem Bruch vertauscht man Zähler und Nenner, der Kehrwert von 3/4 ist 4/3.
Kubikzahlen und Kubikwurzel
Eine Kubikzahl entsteht, wenn man eine Zahl dreimal mit sich selbst malnimmt, etwa 4³ = 4 · 4 · 4 = 64. Die Kubikwurzel macht das rückgängig, also ∛64 = 4.
Mittelwert, Median und Modus
Mittelwert, Median und Modus sind drei Durchschnitte. Der Mittelwert verteilt die Summe gleichmäßig, der Median ist der mittlere Wert, der Modus der häufigste.
Oberflächeninhalt
Der Oberflächeninhalt ist die Summe der Flächen aller Außenflächen eines Körpers. Bei einem Würfel mit der Kantenlänge a sind es 6 · a², denn er hat sechs gleich große Quadrate.
Verhältnis
Ein Verhältnis vergleicht zwei oder mehr Mengen und wird mit einem Doppelpunkt geschrieben. Das Verhältnis 2 : 3 heißt: Auf 2 von der einen Sache kommen 3 von der anderen.
Algebra
Algebra ist Mathematik mit Buchstaben wie x oder n, die für unbekannte oder veränderliche Zahlen stehen. Wenn zum Beispiel n + 3 = 10 ist, dann ist n = 7.
Die Kreiszahl Pi (π)
Pi (π) ist die Zahl, die du bekommst, wenn du den Umfang eines beliebigen Kreises durch seinen Durchmesser teilst. Sie beträgt etwa 3,14, ihre Nachkommastellen enden nie und wiederholen sich nicht.
Gleichungen
Eine Gleichung sagt, dass zwei Dinge gleich sind, mit einem Gleichheitszeichen, zum Beispiel 2x + 1 = 9. Lösen heißt, den Wert des Buchstabens zu finden, der sie wahr macht, hier x = 4.
Stufenwinkel, Wechselwinkel und Scheitelwinkel
Schneidet eine Gerade zwei Parallelen, sind Stufenwinkel (F) und Wechselwinkel (Z) gleich groß, Nachbarwinkel (C) ergeben 180°. Scheitelwinkel sind immer gleich groß.
Flächeninhalt eines Kreises
Der Flächeninhalt eines Kreises ist π mal Radius zum Quadrat: A = π · r². Bei r = 5 cm sind das etwa 78,5 Quadratzentimeter.
Terme vereinfachen
Um einen Term zu vereinfachen, löst man zuerst die Klammern auf und fasst dann gleichartige Glieder zusammen (gleiche Variablen mit gleichen Exponenten). Beispiel: 3x + 2y + 5x − y = 8x + y.
Ergebnismenge
Die Ergebnismenge Ω enthält alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments. Beim Münzwurf ist Ω = {K, Z}, beim Würfeln Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Häufigkeitspolygon
Ein Häufigkeitspolygon ist ein Liniendiagramm für in Klassen eingeteilte Daten. Man trägt die Häufigkeit jeder Klasse über der Klassenmitte ein und verbindet die Punkte mit Strecken.
Histogramme
Ein Histogramm zeigt in Klassen eingeteilte Zahlenwerte als aneinanderstoßende Säulen über einer Zahlenachse. Sind die Klassen verschieden breit, gibt die Fläche jeder Säule die Häufigkeit an.
Potenzen
Eine Potenz hat eine kleine hochgestellte Zahl (den Exponenten), die zeigt, wie oft man eine Zahl mit sich selbst malnimmt. Also ist 2⁴ gleich 2 · 2 · 2 · 2 = 16.
Quadratwurzeln
Die Quadratwurzel einer Zahl ist der Wert, der mit sich selbst malgenommen diese Zahl ergibt. Die Wurzel aus 25 ist 5, weil 5 · 5 = 25 ist. Das Zeichen ist √.
Relative Häufigkeit
Die relative Häufigkeit ist die absolute Häufigkeit geteilt durch die Anzahl aller Werte. Gehen 6 von 20 Kindern zu Fuß zur Schule, ist sie 6/20 = 0,3, also 30 %.
Ungleichungen
Eine Ungleichung vergleicht zwei Terme mit <, >, ≤ oder ≥, etwa x + 2 > 5. Man löst sie wie eine Gleichung, dreht aber das Zeichen um, wenn man mit einer negativen Zahl multipliziert oder teilt.
Abstand zwischen zwei Punkten
Der Abstand von A(x₁; y₁) und B(x₂; y₂) ist d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Das ist der Satz des Pythagoras im Koordinatensystem.
Funktionen (Mathe)
Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung: Jedem x wird genau ein Funktionswert f(x) zugeordnet. Bei f(x) = 2x + 3 gehört zu x = 4 der Wert 2 · 4 + 3 = 11.
Kongruente Dreiecke
Kongruente Dreiecke sind deckungsgleich: gleiche Form und gleiche Größe, alle entsprechenden Seiten und Winkel gleich. Man zeigt es mit den Kongruenzsätzen SSS, SWS, WSW und SsW.
Nullstellen und y-Achsenabschnitt
Den y-Achsenabschnitt bekommst du mit x = 0, also f(0). Die Nullstellen sind die Lösungen von f(x) = 0. Für f(x) = 2x − 6 ist der y-Achsenabschnitt −6 und die Nullstelle x = 3.
Quartile und Quartilsabstand
Quartile teilen geordnete Daten in vier gleich große Teile. Der Quartilsabstand ist oberes minus unteres Quartil, Q₃ − Q₁: die Streuung der mittleren Hälfte.
Satz des Pythagoras
Der Satz des Pythagoras sagt: In einem rechtwinkligen Dreieck gilt a² + b² = c², wobei c die längste Seite ist (die Hypotenuse). Bei den Katheten 3 und 4 ist sie 5.
Steigung einer Geraden
Die Steigung m gibt an, wie steil eine Gerade ist: m = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁), also Höhenunterschied durch waagerechten Abstand. Sie kann positiv, negativ, null oder nicht definiert sein.
Volumen eines Zylinders
Grundfläche mal Höhe: V = π · r² · h. Ein Zylinder mit r = 5 cm und h = 12 cm hat ein Volumen von etwa 942 cm³, also knapp einen Liter.
Volumen von Kegel und Kugel
Das Volumen eines Kegels ist V = ⅓πr²h, das einer Kugel V = ⁴⁄₃πr³. Dabei ist r der Radius und h die Höhe. Das Ergebnis hat eine Volumeneinheit wie cm³.
Wissenschaftliche Schreibweise
In der wissenschaftlichen Schreibweise schreibt man sehr große oder sehr kleine Zahlen als Zahl von 1 bis 10 mal einer Zehnerpotenz. Zum Beispiel ist 3.500.000 gleich 3,5 · 10⁶.
Ähnliche Dreiecke
Ähnliche Dreiecke haben dieselbe Form, aber nicht unbedingt dieselbe Größe. Ihre Winkel sind gleich, und ihre Seitenlängen stehen im selben Verhältnis, dem Ähnlichkeitsfaktor k.
Kumulierte Häufigkeit
Die kumulierte Häufigkeit (Summenhäufigkeit) ist die laufende Summe der Häufigkeiten bis zu einem Wert. Die letzte ist die Gesamtzahl, und aus ihr liest man Median und Quartile ab.
Lineare Gleichungssysteme
Ein lineares Gleichungssystem (LGS) besteht aus mehreren Gleichungen mit denselben Variablen, die gleichzeitig gelten. Man löst es mit Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren.
Wurzelterme
Ein Wurzelterm enthält Wurzeln wie √2 oder ∛5, die nicht aufgehen. Man lässt sie als Wurzel stehen, damit alles exakt bleibt, und vereinfacht mit √(a · b) = √a · √b: √12 = 2√3.
Zinseszins und einfache Zinsen
Einfache Zinsen gibt es nur auf das Anfangskapital: Z = K · p/100 · t. Beim Zinseszins werden auch die Zinsen verzinst: Kₙ = K₀ · qⁿ mit q = 1 + p/100.
Mitternachtsformel und pq-Formel
Die Mitternachtsformel x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a löst ax² + bx + c = 0; die pq-Formel x = −p/2 ± √((p/2)² − q) löst x² + px + q = 0. Beide liefern dieselben Lösungen.
Quadratische Ergänzung
Bei der quadratischen Ergänzung schreibt man x² + px + q als (x + p/2)² − (p/2)² + q. So löst man quadratische Gleichungen und findet die Scheitelpunktform einer Parabel.
Quadratische Gleichungen und die Lösungsformel
Eine quadratische Gleichung hat die Form ax² + bx + c = 0. Die Lösungsformel x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a löst jede davon, und b² − 4ac verrät, wie viele Lösungen es gibt.
Scheitelpunkt einer Parabel
Der Scheitelpunkt ist der tiefste oder höchste Punkt einer Parabel. Für f(x) = ax² + bx + c liegt er bei xₛ = −b/(2a); setze xₛ in f ein, dann hast du yₛ.
Trigonometrie
Die Trigonometrie verbindet Winkel und Seiten im rechtwinkligen Dreieck mit Sinus, Kosinus und Tangens. Damit berechnest du fehlende Seiten oder Winkel.
Vektoren
Ein Vektor ist eine Größe mit Betrag (Länge), Richtung und Orientierung, zum Beispiel „5 km nach Norden“. Man zeichnet ihn als Pfeil und schreibt ihn mit Koordinaten, etwa (3; 4).
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit von A, wenn man schon weiß, dass B eingetreten ist. Man schreibt P_B(A) oder P(A|B) und rechnet P_B(A) = P(A∩B) : P(B).
Kreisgleichung
Ein Kreis mit Mittelpunkt M(xₘ; yₘ) und Radius r hat die Gleichung (x − xₘ)² + (y − yₘ)² = r². Liegt der Mittelpunkt im Ursprung, ist sie einfach x² + y² = r².
Logarithmen
Ein Logarithmus beantwortet die Frage „Welcher Exponent?“. log₂ 8 = 3, weil 2³ = 8. Logarithmen machen Potenzen rückgängig, und ihre Gesetze machen aus Malnehmen Addieren.
Sinussatz und Kosinussatz
Der Sinussatz a/sin α = b/sin β = c/sin γ und der Kosinussatz a² = b² + c² − 2bc·cos α liefern fehlende Seiten und Winkel in jedem Dreieck, nicht nur im rechtwinkligen.
Umkehrfunktion
Die Umkehrfunktion f⁻¹ macht rückgängig, was f macht: Ist f(3) = 7, dann ist f⁻¹(7) = 3. Man löst y = f(x) nach x auf und vertauscht dann x und y.
Varianz und Standardabweichung
Varianz und Standardabweichung messen, wie stark Daten um den Mittelwert streuen. Die Varianz ist der Mittelwert der quadrierten Abweichungen, die Standardabweichung ihre Wurzel.
Verkettete Funktionen
Bei einer Verkettung wird erst eine Funktion angewendet und dann eine zweite auf das Ergebnis. In f(g(x)), kurz (f ∘ g)(x), ist g die innere und f die äußere Funktion.
Ableitung und Differenzieren
Differenzieren heißt, die Ableitung einer Funktion zu bilden: ihre Steigung in jedem Punkt. Mit der Potenzregel wird aus xⁿ die Ableitung n·xⁿ⁻¹, aus x³ also 3x².
Die Binomialverteilung
Die Binomialverteilung B(n; p) gibt die Wahrscheinlichkeit für k Treffer in einer Bernoulli-Kette der Länge n an: P(X = k) = (n über k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ. Der Erwartungswert ist n · p.
Die Normalverteilung
Die Normalverteilung (Gauß-Verteilung) hat eine symmetrische Glockenkurve, festgelegt durch Erwartungswert μ und Standardabweichung σ. Rund 68 % der Werte liegen höchstens 1σ von μ entfernt.
Matrizen
Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema aus Zeilen und Spalten. Man addiert Eintrag für Eintrag und multipliziert Zeile mal Spalte, aber nur, wenn die Formate passen.
Integralrechnung (Integrieren)
Integrieren ist die Umkehrung des Ableitens: Man sucht eine Stammfunktion, und das Integral misst die Fläche unter einem Graphen. Eine Stammfunktion von xⁿ ist xⁿ⁺¹/(n + 1), von x² also x³/3.
Andere Fächer
Sprache und Grammatik
Grammatik, Zeichensetzung, Rechtschreibung und Schreiben, mit Beispielen erklärt.
