Mathe

Was sind Varianz und Standardabweichung, und wie berechnet man sie?

Kurze Antwort

Varianz und Standardabweichung messen, wie stark Daten um den Mittelwert streuen. Die Varianz ist der Mittelwert der quadrierten Abweichungen, die Standardabweichung ihre Wurzel.

14–18 JahreWeiterführende Schule

In einem Satz

Varianz und Standardabweichung sagen, wie stark eine Reihe von Zahlen streut: Ein kleiner Wert heißt, die Daten liegen nah am Mittelwert, ein großer Wert, sie liegen weit verstreut.

Erklärt

Stell dir zwei Basketballerinnen vor, die beide im Schnitt 14 Punkte pro Spiel machen. Die eine trifft fast immer 12, 14 oder 16 Punkte. Die andere macht an einem Abend 4 und am nächsten 24. Der Mittelwert ist gleich, aber die Spielerinnen sind sehr verschieden. Die Standardabweichung ist die Zahl, die diesen Unterschied erfasst: Sie misst die Beständigkeit, also die Streuung.

Fußball
Lineal
Uhr

Gleicher Mittelwert, andere Streuung: Die Standardabweichung zeigt den Unterschied.

Die Idee: Man schaut, wie weit jeder Wert vom Mittelwert entfernt ist. Diese Abstände heißen Abweichungen. Manche sind positiv, manche negativ, und zusammen ergeben sie immer null. Man kann sie also nicht einfach mitteln. Stattdessen quadriert man jede Abweichung (dann ist sie positiv) und bildet den Mittelwert der Quadrate. Das ist die Varianz:

σ² = Σ(x − x̄)² ÷ n

Die Varianz hat quadrierte Einheiten (cm², Punkte²) und ist deshalb schwer zu deuten. Darum zieht man die Wurzel und ist wieder bei der Einheit der Daten. Das ist die Standardabweichung:

σ = √Varianz

Zu den Zeichen: σ (kleines Sigma) ist die Standardabweichung und σ² die Varianz; bei einer Stichprobe schreibt man oft s und s². Σ (großes Sigma) heißt „alles aufsummieren“, x̄ ist der Mittelwert und n die Anzahl der Werte.

Grundgesamtheit oder Stichprobe? Sind deine Daten die ganze Gruppe, um die es geht, teilst du durch n. Sind sie eine Stichprobe, mit der du eine größere Gruppe schätzt, teilst du durch n − 1. Das ergibt einen etwas größeren Wert und gleicht aus, dass eine Stichprobe die Streuung meist unterschätzt. In der Schule teilt man meist durch n; so machen wir es auf dieser Seite, außer eine Aufgabe sagt „Stichprobe“.

Es gibt eine schnellere Formel, bei der man nicht jede Abweichung einzeln braucht: σ² = (Σx² ÷ n) − x̄², „Mittelwert der Quadrate minus Quadrat des Mittelwerts“. Sie liefert genau dasselbe Ergebnis und steckt in den meisten Taschenrechnern.

Beispiele

Daten: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 (n = 8). Der Mittelwert ist 40 ÷ 8 = 5.

x	Abweichung x − 5	Quadrat
2	−3	9
4	−1	1
4	−1	1
4	−1	1
5	0	0
5	0	0
7	2	4
9	4	16

Die Quadrate ergeben zusammen 32. Varianz = 32 ÷ 8 = 4. Standardabweichung = √4 = 2.

Jetzt die beiden Spielerinnen in fünf Spielen. Spielerin A: 10, 12, 14, 16, 18. Spielerin B: 4, 8, 14, 20, 24. Beide haben den Mittelwert 14. Bei A sind die quadrierten Abweichungen 16, 4, 0, 4, 16 (Summe 40): Varianz 8, Standardabweichung √8 ≈ 2,83. Bei B sind es 100, 36, 0, 36, 100 (Summe 272): Varianz 54,4, Standardabweichung ≈ 7,38. Spielerin A ist viel beständiger.

Häufige Fehler

Die Abweichungen nicht quadrieren. Die einfachen Abweichungen ergeben immer 0. Abhilfe: Jede Abweichung erst quadrieren, dann addieren.
Bei der Varianz aufhören. Abhilfe: Wird die Standardabweichung gefragt, am Ende die Wurzel ziehen.
n und n − 1 verwechseln. Abhilfe: ganze Gruppe → durch n; Stichprobe → durch n − 1. Am Taschenrechner steht σx (oder σn) für die Division durch n und sx (oder σn−1) für die Division durch n − 1.
Das Quadrat des Mittelwerts falsch setzen. In der schnellen Formel heißt es (Σx² ÷ n) − x̄², nicht Σx² ÷ n² oder (Σx)² ÷ n.

Schritt für Schritt

Mittelwert berechnenAlle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen.
Abweichungen bildenVon jedem Wert den Mittelwert abziehen (x − x̄).
QuadrierenJede Abweichung quadrieren, damit alle positiv sind.
Quadrate mittelnQuadrate addieren und durch n teilen (bei einer Stichprobe durch n − 1). Das ist die Varianz.
Wurzel ziehenDie Wurzel der Varianz ist die Standardabweichung, in der Einheit der Daten.

Bei einer Häufigkeitstabelle gewichtet man: Mittelwert = Σhx ÷ Σh und Varianz = (Σhx² ÷ Σh) − Mittelwert². Bei einer Zufallsgröße X mit Erwartungswert μ ist Var(X) = Σ(x − μ)² · P(X = x), und die Standardabweichung ist wieder die Wurzel daraus.

Übungsaufgaben

Varianz und Standardabweichung

Löse jede Aufgabe und prüfe dann deine Antwort.

Wie groß ist die Standardabweichung von 4, 4, 4, 4?
Lösung zeigen
Alle Werte sind gleich dem Mittelwert: 0
Die Varianz ist 25. Wie groß ist die Standardabweichung?
Lösung zeigen
√25 = 5
Die Standardabweichung ist 3. Wie groß ist die Varianz?
Lösung zeigen
3² = 9
Berechne die Varianz von 2, 4, 6, 8.
Lösung zeigen
Mittelwert 5; Quadrate 9, 1, 1, 9; Summe 20; 20 ÷ 4 = 5
Berechne die Standardabweichung von 2, 4, 6, 8.
Lösung zeigen
√5 ≈ 2,24 (auf 2 Nachkommastellen)
Berechne die Standardabweichung von 1, 3, 5, 7, 9.
Lösung zeigen
Mittelwert 5; Quadrate 16, 4, 0, 4, 16 = 40; Varianz 8; √8 ≈ 2,83
Berechne die Standardabweichung von 3, 5, 7.
Lösung zeigen
Mittelwert 5; Quadrate 4, 0, 4 = 8; Varianz 8 ÷ 3 ≈ 2,67; σ ≈ 1,63
Ohne neu zu rechnen: Wie groß ist die Standardabweichung von 13, 15, 17?
Lösung zeigen
Das ist 3, 5, 7 mit 10 zu jedem Wert addiert; die Streuung bleibt: ≈ 1,63
Alle Werte einer Datenreihe werden verdoppelt. Was passiert mit Standardabweichung und Varianz?
Lösung zeigen
Die Standardabweichung verdoppelt sich, die Varianz wird mit 4 multipliziert.
Berechne die Standardabweichung von 5, 7, 8, 10, 15.
Lösung zeigen
Mittelwert 9; Quadrate 16, 4, 1, 1, 36 = 58; Varianz 11,6; σ = √11,6 ≈ 3,41
n = 5, Σx = 30 und Σx² = 200. Berechne die Standardabweichung.
Lösung zeigen
Mittelwert 6; Varianz 200 ÷ 5 − 6² = 40 − 36 = 4; σ = 2
Berechne die Stichproben-Standardabweichung s von 2, 4, 6, 8.
Lösung zeigen
Summe der Quadrate 20; s² = 20 ÷ 3 ≈ 6,67; s ≈ 2,58
Die Werte 1, 2, 3 kommen 2-, 5- und 3-mal vor. Berechne die Standardabweichung.
Lösung zeigen
Σh = 10, Σhx = 21, Mittelwert 2,1; Σhx² = 49; Varianz 4,9 − 4,41 = 0,49; σ = 0,7
Reihe A ist 48, 50, 52, Reihe B ist 30, 50, 70. Welche hat die größere Standardabweichung?
Lösung zeigen
Gleicher Mittelwert (50), aber die Werte von B liegen viel weiter weg: Reihe B

Sachaufgaben

Streuung im Alltag

Löse jede Aufgabe und prüfe dann deine Antwort.

Die Mittagstemperaturen einer Woche waren 18, 20, 21, 19, 22, 23 und 17 °C. Berechne die Standardabweichung.
Lösung zeigen
Mittelwert 140 ÷ 7 = 20; Quadrate 4, 0, 1, 1, 4, 9, 9 = 28; Varianz 4; σ = 2 °C
Eine Brezel kostet in vier Bäckereien 1,20 €, 1,40 €, 1,50 € und 1,90 €. Berechne die Standardabweichung der Preise.
Lösung zeigen
Mittelwert 1,50 €; Quadrate 0,09; 0,01; 0; 0,16 = 0,26; Varianz 0,065; σ ≈ 0,25 € (auf 2 Nachkommastellen)
Eine Klassenarbeit hat den Mittelwert 70 Punkte und die Standardabweichung 5. Ana hat 80 Punkte. Wie viele Standardabweichungen liegt sie über dem Mittelwert?
Lösung zeigen
(80 − 70) ÷ 5 = 2 Standardabweichungen darüber
Eine Maschine füllt Reisbeutel mit Mittelwert 1000 g und Standardabweichung 4 g. Ein Beutel wiegt 992 g. Ist das ungewöhnlich?
Lösung zeigen
(992 − 1000) ÷ 4 = −2: Er liegt 2 Standardabweichungen unter dem Mittelwert, ziemlich ungewöhnlich.
Zwei Sprinter haben über 100 m denselben Mittelwert. X hat σ = 0,1 s, Y hat σ = 0,4 s. Wer ist beständiger?
Lösung zeigen
Kleinere Standardabweichung, weniger Streuung: Sprinter X

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Varianz und Standardabweichung?

Beide messen die Streuung. Die Varianz ist der Mittelwert der quadrierten Abweichungen und hat quadrierte Einheiten. Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz und hat dieselbe Einheit wie die Daten, deshalb ist sie leichter zu deuten.

Wie hängen Varianz und Standardabweichung zusammen?

Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz, und die Varianz ist das Quadrat der Standardabweichung: σ = √Var, Var = σ².

Was sagt die Standardabweichung aus?

Wie weit die Werte typischerweise vom Mittelwert entfernt sind. Eine große Standardabweichung heißt: Die Werte streuen stark. Eine kleine heißt: Sie liegen dicht beim Mittelwert.

Was ist mit Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröße gemeint?

Der Erwartungswert μ = E(X) ist der langfristige Mittelwert einer Zufallsgröße. Die Varianz Var(X) misst, wie stark X um μ streut, und die Standardabweichung σ(X) = √Var(X).

Wie berechnet man die Standardabweichung mit dem Taschenrechner?

Im Statistikmodus (STAT) die Daten eingeben und σx (Division durch n) oder sx (Division durch n − 1) ablesen.

Wie berechnet man sie in Excel?

=STABW.N(A1:A10) für die ganze Gruppe und =STABW.S(A1:A10) für eine Stichprobe. VAR.P und VAR.S liefern die Varianzen. Die Standardabweichung bestimmt auch die Breite der Normalverteilung.

Kurzes Quiz