Was ist die Normalverteilung, und wie rechnet man damit?

Wiege 1000 Äpfel aus demselben Obstgarten. Ein paar sind sehr leicht, ein paar sehr schwer, aber die meisten liegen nah am Durchschnitt. Zeichnest du ein Histogramm der Massen mit immer schmaleren Säulen, wird der Umriss zu einer glatten Glockenkurve. Diese Kurve gehört zur Normalverteilung, auch Gauß-Verteilung genannt, nach dem Mathematiker Carl Friedrich Gauß. Die Kurve heißt deshalb auch gaußsche Glockenkurve.

Eine Normalverteilung ist durch nur zwei Zahlen festgelegt:

• den Erwartungswert μ, der sagt, wo die Mitte der Glocke liegt;
• die Standardabweichung σ, die sagt, wie breit die Glocke ist (siehe Standardabweichung).

Man schreibt X ~ N(μ; σ²). Achtung: Die zweite Zahl ist die Varianz. N(60; 16) bedeutet also σ = 4.

Ihre wichtigsten Eigenschaften:

• Sie ist symmetrisch zu μ, deshalb gilt Mittelwert = Median = Modus.
• Sie ist stetig: X kann jeden reellen Wert annehmen, nicht nur ganze Zahlen. Darum berechnet man die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich, nicht für einen einzelnen Wert: P(X = a) = 0.
• Die Kurve ist der Graph einer Dichtefunktion: Die Fläche unter der Kurve ist 1, und die Fläche zwischen zwei Werten ist die Wahrscheinlichkeit, dazwischen zu landen.
• Die Kurve berührt die x-Achse nie, aber fast die ganze Fläche liegt im Bereich μ ± 3σ.

Die Sigma-Regeln liefern schnelle Abschätzungen: Etwa 68 % (genauer 68,3 %) der Werte liegen in μ ± σ, etwa 95 % (95,4 %) in μ ± 2σ und etwa 99,7 % in μ ± 3σ.

Für genaue Werte wird standardisiert. Der z-Wert sagt, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Erwartungswert entfernt ist:

z = (x − μ) ÷ σ

Die z-Werte folgen der Standardnormalverteilung Z ~ N(0; 1) mit μ = 0 und σ = 1. Die Tabelle (oder der Taschenrechner) liefert Φ(z) = P(Z ≤ z), die Fläche links von z.

Rückwärts rechnen (x aus einer Wahrscheinlichkeit bestimmen, die „inverse Normalverteilung“): Den z-Wert zur gegebenen Fläche suchen, dann x = μ + z · σ.

Ist die Normalverteilung stetig oder diskret?#

Stetig. Sie beschreibt Messgrößen wie Länge, Masse oder Zeit, die jeden Wert in einem Bereich annehmen können. Die Binomialverteilung ist dagegen diskret, lässt sich aber bei großem n gut durch eine Normalverteilung annähern.

Ist die Normalverteilung immer symmetrisch?#

Ja, jede Normalverteilung ist symmetrisch zu ihrem Erwartungswert μ. Sind Daten deutlich schief, passt das Modell nicht.

Wie lautet die Dichtefunktion der Normalverteilung?#

φ(x) = 1 ÷ (σ√(2π)) · e^(−(x − μ)² ÷ (2σ²)). Die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich ist die Fläche unter dieser Kurve, also ein Integral; in der Praxis nutzt man Φ aus der Tabelle oder den Taschenrechner.

Was ist die Standardnormalverteilung?#

Die Normalverteilung mit μ = 0 und σ = 1. Über z = (x − μ) ÷ σ lässt sich jede Normalverteilung auf sie zurückführen, deshalb reicht eine einzige Tabelle.

Wie berechnet man die Normalverteilung mit dem Taschenrechner oder Excel?#

Am Rechner im Verteilungsmenü die kumulierte Normalverteilung wählen (bei TI-Rechnern normalcdf) und untere Grenze, obere Grenze, μ und σ eingeben. In Excel liefert =NORM.VERT(x; μ; σ; WAHR) P(X ≤ x), =NORM.S.VERT(z; WAHR) Φ(z) und =NORM.INV(p; μ; σ) den Wert x zur Wahrscheinlichkeit p.

Wofür braucht man die Normalverteilung?#

Um Daten zu beschreiben, die sich symmetrisch um einen Mittelwert häufen (Körpergrößen, Messfehler, Füllmengen), um zu beurteilen, wie ungewöhnlich ein Wert ist, und als Grundlage vieler Tests in der Statistik.