Mathe
Was ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit, und wie berechnet man sie?
Kurze Antwort
Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit von A, wenn man schon weiß, dass B eingetreten ist. Man schreibt P_B(A) oder P(A|B) und rechnet P_B(A) = P(A∩B) : P(B).
In einem Satz
Eine bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis, wenn man schon weiß, dass ein anderes Ereignis eingetreten ist.
Erklärt
Wirf einen fairen Würfel. Die Wahrscheinlichkeit für eine 6 ist 1/6. Jetzt schaut ein Freund nach und sagt: „Es ist eine gerade Zahl.“ Plötzlich sind nur noch 2, 4 und 6 möglich, und eine der drei ist die 6. Die Wahrscheinlichkeit für eine 6 unter der Bedingung, dass die Zahl gerade ist, beträgt 1/3. Der Würfel hat sich nicht verändert, aber dein Wissen. Und das verkleinert die Liste der möglichen Ergebnisse.
Tasche
Ball
Regen
In deutschen Schulbüchern schreibt man meist P_B(A) (das B steht als kleiner Index unten rechts am P) und liest: „Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B“ oder kurz „P von A unter B“. Ebenso üblich ist die Schreibweise P(A|B), gesprochen „P von A gegeben B“. A ist das Ereignis, das dich interessiert, B ist das, was du schon weißt. Die Formel lautet:
P_B(A) = P(A∩B) : P(B), wobei P(B) nicht 0 sein darf.
In Worten: Von allen Fällen, in denen B eintritt, welcher Anteil hat auch A? Mit absoluten Häufigkeiten geht es noch einfacher: Anzahl der Fälle mit A und B : Anzahl der Fälle mit B. Wenn du die Grundlagen der Wahrscheinlichkeit und Brüche kannst, hast du alles, was du brauchst.
Stellt man die Formel um, erhält man die Produktregel (1. Pfadregel) im Baumdiagramm:
P(A∩B) = P(B) · P_B(A)
Die Wahrscheinlichkeiten auf den Ästen der zweiten Stufe eines Baumdiagramms sind bedingte Wahrscheinlichkeiten: Sie gelten unter der Voraussetzung, dass der erste Ast schon eingetreten ist. Deshalb ändern sich beim Ziehen „ohne Zurücklegen“ die Zahlen auf der zweiten Stufe.
Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, wenn das Wissen über das eine nichts über das andere verrät. Dann gilt P_B(A) = P(A), und die Produktregel wird zu P(A∩B) = P(A) · P(B). Mehrere Münzwürfe sind unabhängig; zwei Bonbons aus einer Tüte nehmen, ohne das erste zurückzulegen, nicht.
Achte auf die Reihenfolge: P_B(A) und P_A(B) sind meist verschieden. Fast alle Fußballprofis laufen schnell, aber fast niemand, der schnell läuft, ist Fußballprofi. Von der einen zur anderen kommt man mit dem Satz von Bayes: P_A(B) = P_B(A) · P(B) : P(A).
Beispiele
Eine Vierfeldertafel. In einer Klasse mit 30 Schülerinnen und Schülern wurde nach Sport und Musik gefragt:
| Spielt ein Instrument | Kein Instrument | Summe | |
|---|---|---|---|
| Treibt Sport | 8 | 10 | 18 |
| Kein Sport | 4 | 8 | 12 |
| Summe | 12 | 18 | 30 |
- Wahrscheinlichkeit, dass jemand ein Instrument spielt, unter der Bedingung, dass er Sport treibt: Man schaut nur auf die Zeile „Sport“. 8 von 18, also 8/18 = 4/9.
- Wahrscheinlichkeit, dass jemand Sport treibt, unter der Bedingung, dass er ein Instrument spielt: nur diese Spalte. 8 von 12, also 8/12 = 2/3. Nicht dasselbe wie 4/9: Die Reihenfolge zählt.
Mit der Formel. P(A∩B) = 0,12 und P(B) = 0,4, also P_B(A) = 0,12 : 0,4 = 0,3.
Ohne Zurücklegen. Ein Beutel enthält 5 rote und 3 blaue Kugeln. Du ziehst eine, behältst sie und ziehst noch eine. War die erste rot, sind noch 4 rote von 7 übrig: Die Wahrscheinlichkeit „2. rot unter der Bedingung 1. rot“ ist 4/7. Die Wahrscheinlichkeit für zweimal Rot ist 5/8 · 4/7 = 20/56 = 5/14.
Ein medizinischer Test (ausgedachte Zahlen). Angenommen, 1 % der Bevölkerung hat eine Krankheit. Ein Test erkennt 90 % der Kranken, ist aber auch bei 5 % der Gesunden positiv. Stell dir 10.000 Menschen vor: 100 sind krank, davon 90 positiv getestet; 9.900 sind gesund, und 5 % von ihnen, also 495, sind ebenfalls positiv. Insgesamt sind 90 + 495 = 585 Tests positiv, und die Wahrscheinlichkeit, krank zu sein, unter der Bedingung „Test positiv“ ist 90 : 585 = 2/13, also etwa 15 %. Weil die Krankheit selten ist, sind die meisten positiven Ergebnisse Fehlalarme. Deshalb wird ein erster positiver Befund meist mit einem zweiten Test überprüft.
Häufige Fehler
- Die Reihenfolge vertauschen. P_B(A) ist nicht P_A(B). Abhilfe: Erst in Worten sagen („der Anteil von A unter den B“), dann rechnen.
- Durch die falsche Gesamtzahl teilen. Bei „unter der Bedingung B“ teilt man durch die Anzahl (oder Wahrscheinlichkeit) von B, nicht durch alle. In der Klasse oben ist es 8/18, nicht 8/30.
- „Unter der Bedingung“ mit „und“ verwechseln. P(A∩B) ist ein Anteil an allen; P_B(A) ist ein Anteil nur an B. P(A∩B) ist nie größer als P_B(A).
- Den zweiten Zug nicht anpassen. Ohne Zurücklegen werden sowohl die Gesamtzahl als auch die Zahl der gezogenen Farbe um eins kleiner.
Schritt für Schritt
Schritt für Schritt
- Bedingung findenAchte auf „unter der Bedingung“, „wenn“, „von denen, die“ oder „man weiß, dass“. Dieses Ereignis ist B.
- Neue Gesamtzahl bestimmenZähle die Fälle von B oder bestimme P(B). Sie ersetzt die ganze Gruppe.
- Schnittmenge bestimmenZähle die Fälle, die zu A und zu B gehören, oder bestimme P(A∩B).
- TeilenP_B(A) = Schnittmenge : neue Gesamtzahl.
- PrüfenDas Ergebnis liegt zwischen 0 und 1. Vergleiche mit P(A): Sind beide gleich, sind A und B unabhängig.
Übungsaufgaben
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Löse jede Aufgabe und prüfe dann deine Antwort.
- Du würfelst mit einem fairen Würfel. Berechne die Wahrscheinlichkeit für eine 5 unter der Bedingung „ungerade“.
Lösung zeigen
Ungerade: 1, 3, 5 (3 Fälle). Einer davon ist die 5: 1/3 - Du würfelst. Berechne die Wahrscheinlichkeit für „gerade“ unter der Bedingung „größer als 2“.
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Größer als 2: 3, 4, 5, 6. Gerade davon: 4 und 6. 2/4 = 1/2 - Du würfelst. Berechne die Wahrscheinlichkeit für „kleiner als 3“ unter der Bedingung „gerade“.
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Gerade: 2, 4, 6. Nur die 2 ist kleiner als 3: 1/3 - P(A∩B) = 0,2 und P(B) = 0,5. Berechne P_B(A).
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0,2 : 0,5 = 0,4 - P(A∩B) = 0,15 und P(A) = 0,6. Berechne P_A(B).
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0,15 : 0,6 = 0,25 - P(B) = 0,3 und P_B(A) = 0,5. Berechne P(A∩B).
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0,3 · 0,5 = 0,15 - Ein Beutel enthält 4 rote und 6 grüne Chips. Es werden zwei ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der 2. rot ist, wenn der 1. rot war?
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Es sind noch 3 rote von 9 übrig: 3/9 = 1/3 - Derselbe Beutel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für zweimal Rot?
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4/10 · 3/9 = 12/90 = 2/15 - Derselbe Beutel. Wahrscheinlichkeit, dass der 2. rot ist, wenn der 1. grün war?
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Noch 4 rote von 9: 4/9 - Nutze die Vierfeldertafel der Klasse. Wahrscheinlichkeit für „Sport“ unter der Bedingung „kein Instrument“?
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18 ohne Instrument, davon 10 mit Sport: 10/18 = 5/9 - Nutze die Tafel. Wahrscheinlichkeit für „kein Sport“ unter der Bedingung „Instrument“?
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12 mit Instrument, davon 4 ohne Sport: 4/12 = 1/3 - P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 und P(A∩B) = 0,2. Sind A und B stochastisch unabhängig?
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0,5 · 0,4 = 0,2 = P(A∩B), und P_B(A) = 0,2 : 0,4 = 0,5 = P(A): ja - P(A) = 0,3, P(B) = 0,6 und P(A∩B) = 0,1. Unabhängig?
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0,3 · 0,6 = 0,18, und das ist nicht 0,1: nein - Zwei faire Münzen werden geworfen. Mindestens eine zeigt Kopf. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für zweimal Kopf?
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Mit K = Kopf und Z = Zahl, mindestens einmal Kopf: KK, KZ, ZK (3 Fälle). Zweimal Kopf: 1 davon: 1/3 - Zwei faire Würfel werden geworfen, die Augensumme ist 8. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide eine 4 zeigen?
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Summe 8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2), also 5 Fälle. Nur (4,4) passt: 1/5 - P_B(A) = 0,6, P(B) = 0,5 und P(A) = 0,4. Berechne P_A(B).
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P(A∩B) = 0,5 · 0,6 = 0,3, also P_A(B) = 0,3 : 0,4 = 0,75
Sachaufgaben
Bedingte Wahrscheinlichkeit im Alltag
Löse jede Aufgabe und prüfe dann deine Antwort.
- Von 40 Jugendlichen mögen 25 Fußball, und 10 der Fußballfans mögen auch Basketball. Man wählt zufällig einen Fußballfan. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er Basketball mag?
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10 : 25 = 2/5 (0,4) - Die Regenwahrscheinlichkeit für morgen ist 0,3. Bei Regen hat der Bus mit Wahrscheinlichkeit 0,4 Verspätung, ohne Regen mit 0,1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für Regen und Verspätung?
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0,3 · 0,4 = 0,12 - Gleiche Situation. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Bus Verspätung hat?
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Regen und Verspätung: 0,12. Kein Regen und Verspätung: 0,7 · 0,1 = 0,07. Summe (2. Pfadregel): 0,19 - Gleiche Situation. Der Bus hatte Verspätung. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es geregnet hat?
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0,12 : 0,19 = 12/19 ≈ 0,63 (Satz von Bayes) - In einem Karton mit 12 Eiern sind 3 angeknackst. Du nimmst zwei, ohne hinzusehen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das zweite angeknackst ist, wenn das erste es war?
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Noch 2 angeknackste von 11: 2/11 - Eine Maschine prüft 2.000 Handys, 5 % davon sind defekt. Sie meldet 95 % der defekten und irrtümlich 4 % der intakten. Ein Handy wird gemeldet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es wirklich defekt ist?
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Defekt: 100, gemeldet 95. Intakt: 1.900, gemeldet 76. 95 : (95 + 76) = 95/171 = 5/9 ≈ 0,56
Häufige Fragen
Was ist die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit?
P_B(A) = P(A∩B) : P(B). Man teilt die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse eintreten, durch die Wahrscheinlichkeit der Bedingung. Mit Anzahlen: Fälle mit A und B : Fälle mit B.
Wie schreibt und liest man eine bedingte Wahrscheinlichkeit?
Man schreibt P_B(A) oder P(A|B) und liest „Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B“. Bei P_B(A) steht die Bedingung im Index, bei P(A|B) hinter dem Strich.
Wie erkennt man eine bedingte Wahrscheinlichkeit in einer Aufgabe?
An Formulierungen wie „unter der Bedingung“, „wenn bekannt ist, dass“, „von den …“ oder „eine Person, die …, wird ausgewählt“. Immer wenn die Gruppe eingeschränkt wird, bevor gefragt wird, ist es eine bedingte Wahrscheinlichkeit.
Was ist der Unterschied zwischen bedingter und unbedingter Wahrscheinlichkeit?
Die unbedingte Wahrscheinlichkeit P(A) bezieht sich auf alle Fälle. Die bedingte Wahrscheinlichkeit P_B(A) bezieht sich nur auf die Fälle, in denen B eingetreten ist. Sind beide gleich, sind A und B stochastisch unabhängig.
Wie hilft die Vierfeldertafel?
In einer Vierfeldertafel stehen alle Kombinationen von A, nicht A, B und nicht B mit ihren Summen. Für P_B(A) teilt man das Feld „A und B“ durch die Summe der Zeile oder Spalte von B. Aus der Tafel kann man auch das umgekehrte Baumdiagramm ablesen.
Kurzes Quiz
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Teste dein Wissen mit 5 kurzen Fragen.
Frage 1 von 5
Du würfelst mit einem fairen Würfel, und jemand verrät dir, dass die Zahl gerade ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es eine 4 ist?
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Übungsblätter zu Wahrscheinlichkeit und Statistik
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Für Erwachsene
Verwandte Themen
Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit misst, wie wahrscheinlich etwas eintritt, auf einer Skala von 0 (unmöglich) bis 1 (sicher). Eine faire Münze zeigt mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 Kopf.
Venn-Diagramme
Ein Venn-Diagramm sortiert Dinge mit sich überlappenden Kreisen in Gruppen. Die Schnittmenge zeigt, was zu beiden Gruppen gehört, und außerhalb steht, was zu keiner gehört.
Brüche
Ein Bruch ist ein Teil eines Ganzen, das in gleiche Teile geteilt wurde. Bei ¾ sagt die untere Zahl, in wie viele gleiche Teile geteilt wurde, die obere, wie viele du hast.
Prozent (Prozentrechnung)
Ein Prozent ist eine Zahl von 100, geschrieben mit dem Zeichen %. 25 % bedeutet also 25 von 100, das ist dasselbe wie ein Viertel.
Ergebnismenge
Die Ergebnismenge Ω enthält alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments. Beim Münzwurf ist Ω = {K, Z}, beim Würfeln Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Die Binomialverteilung
Die Binomialverteilung B(n; p) gibt die Wahrscheinlichkeit für k Treffer in einer Bernoulli-Kette der Länge n an: P(X = k) = (n über k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ. Der Erwartungswert ist n · p.