Was ist die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments?

Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, dessen Ausgang man nicht vorhersagen kann: eine Münze werfen, würfeln, ein Bonbon aus einer Tüte ziehen, ein Menü zufällig auswählen. Jeder mögliche Ausgang ist ein Ergebnis, und die Menge aller Ergebnisse ist die Ergebnismenge. Man schreibt sie meist mit dem griechischen Buchstaben Ω (Omega), manchmal auch mit S, und setzt die Ergebnisse in geschweifte Klammern:

• Münzwurf: Ω = {K, Z} (Kopf, Zahl)
• Würfeln: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Einen Wochentag ziehen: Ω = {Mo, Di, Mi, Do, Fr, Sa, So}

Die Anzahl der Ergebnisse schreibt man |Ω|. Beim Würfel ist |Ω| = 6. (Auf Englisch heißt die Ergebnismenge sample space.)

Ein Ereignis ist eine Teilmenge der Ergebnismenge: ein oder mehrere Ergebnisse, die dich interessieren. „Gerade Zahl würfeln“ ist das Ereignis E = {2, 4, 6}. Ein Ereignis mit nur einem Ergebnis heißt Elementarereignis. Sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich, spricht man von einem Laplace-Experiment, und die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist

P(E) = |E| : |Ω| = Anzahl der günstigen Ergebnisse : Anzahl der möglichen Ergebnisse

Also ist P(gerade) = 3/6 = 1/2. Deshalb ist die Ergebnismenge so wichtig: Sie steht im Nenner. Ist sie falsch, sind alle Wahrscheinlichkeiten falsch.

Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten schreibt man die Ergebnisse in der richtigen Reihenfolge auf. Zwei Münzen ergeben KK, KZ, ZK und ZZ: vier Ergebnisse, nicht drei, denn „erst Kopf, dann Zahl“ ist etwas anderes als „erst Zahl, dann Kopf“. Zum schnellen Zählen hilft die Produktregel: Hat die erste Stufe m Ergebnisse und die zweite n, gibt es zusammen m · n. Zwei Münzen: 2 · 2 = 4. Drei Münzen: 2 · 2 · 2 = 8. Zwei Würfel: 6 · 6 = 36.

Drei gute Wege, eine Ergebnismenge anzugeben:

• Eine Aufzählung, systematisch geordnet, damit nichts fehlt (erst alle mit K vorne, dann alle mit Z).
• Eine Tabelle, ideal für zwei Stufen, etwa zwei Würfel oder Münze und Glücksrad.
• Ein Baumdiagramm, am besten ab drei Stufen, etwa drei Münzen. Jeder Pfad ist ein Ergebnis.

Die Tabelle für zwei Würfel zeigt auch, was stochastisch unabhängige Ereignisse sind: Ereignisse, bei denen das eine das andere nicht beeinflusst, wie die Ergebnisse zweier verschiedener Würfel. Für unabhängige Ereignisse gilt P(A ∩ B) = P(A) · P(B). In der Tabelle belegt „der erste Würfel zeigt eine gerade Zahl“ 18 Felder und „der zweite Würfel zeigt 6“ 6 Felder; nur 3 Felder erfüllen beides, und 3/36 = 1/12 = 1/2 · 1/6. Nicht verwechseln mit unvereinbaren (disjunkten) Ereignissen: Sie haben kein gemeinsames Ergebnis und können nie zusammen eintreten („eine 2 würfeln“ und „eine ungerade Zahl würfeln“). In einem Venn-Diagramm ist das Rechteck die Ergebnismenge und jeder Kreis ein Ereignis: Unvereinbare Kreise überschneiden sich nicht.

Wie gibt man eine Ergebnismenge an?#

Man zählt alle möglichen Ergebnisse in geschweiften Klammern auf, zum Beispiel Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Bei zwei Stufen schreibt man Paare wie (2; 5), bei vielen Ergebnissen hilft eine Tabelle oder ein Baumdiagramm.

Was ist der Unterschied zwischen Ergebnismenge und Ereignismenge?#

Die Ergebnismenge Ω enthält alle Ergebnisse. Ein Ereignis ist eine Teilmenge davon. Mit „Ereignismenge“ meint man meist die Menge aller möglichen Ereignisse; hat Ω n Ergebnisse, gibt es 2ⁿ Ereignisse, beim Würfel also 2⁶ = 64.

Was ist eine verfeinerte Ergebnismenge?#

Eine Ergebnismenge, die genauer unterscheidet. Bei zwei Würfeln ist {2, 3, … , 12} (nur die Summe) gröber, die 36 Paare (1; 1) bis (6; 6) sind die verfeinerte Ergebnismenge. Nur die feinere ist hier ein Laplace-Experiment.

Wie hängen Baumdiagramm und Ergebnismenge zusammen?#

Jeder Pfad vom Start bis zum Ende eines Baumdiagramms ist genau ein Ergebnis. Die Anzahl der Pfade ist also |Ω|. Bei drei Münzwürfen gibt es 8 Pfade.

Was sind unabhängige Ereignisse, und wie lautet die Formel?#

Ereignisse sind stochastisch unabhängig, wenn das eine die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht ändert, wie bei zwei Münzwürfen. Dann gilt P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Gilt das nicht, sind sie abhängig; siehe bedingte Wahrscheinlichkeit.

Wie prüft man Unabhängigkeit mit einer Vierfeldertafel?#

Man vergleicht den Wert im Feld „A und B“ mit dem Produkt der beiden Randwahrscheinlichkeiten P(A) und P(B). Sind beide gleich, sind A und B unabhängig.