Was ist die kumulierte Häufigkeit, und wie berechnet man sie?

Stell dir vor, du fragst 80 Schülerinnen und Schüler, wie viele Minuten sie gestern für die Hausaufgaben gebraucht haben. Die absolute Häufigkeit sagt, wie viele in jeder Klasse liegen, etwa „über 20 bis 30 Minuten“. Die kumulierte absolute Häufigkeit beantwortet eine andere Frage: Wie viele haben höchstens 30 Minuten gebraucht? Dafür addierst du die Häufigkeiten von oben nach unten auf, wie einen Punktestand, der immer weiter wächst. Andere Namen dafür sind Summenhäufigkeit oder kumulative Häufigkeit.

Die Regel:

kumulierte Häufigkeit dieser Zeile = Häufigkeit dieser Zeile + kumulierte Häufigkeit der Zeile davor

Die erste kumulierte Häufigkeit ist gleich der ersten Häufigkeit. Die letzte ist immer die Gesamtzahl n der Daten: eine gute Kontrolle für deine Rechnung. Die Daten stammen oft aus einer Strichliste.

Es gibt zwei Varianten:

• kumulierte absolute Häufigkeit: Anzahl der Werte bis einschließlich zu diesem Wert;
• kumulierte relative Häufigkeit: kumulierte absolute Häufigkeit : n, eine Zahl zwischen 0 und 1 (oder in Prozent). Die letzte ist 1, also 100 %. Als Funktion von x heißt sie empirische Verteilungsfunktion F(x).

Wozu das Ganze? Fragen wie „Wie viele haben höchstens 20 Minuten gebraucht?“ beantwortet die Tabelle sofort. Und man kann damit Median und Quartile großer, klassierter Datenmengen bestimmen, ohne alle Werte zu sortieren.

Die Summenkurve. Bei klassierten Daten trägst du jede kumulierte Häufigkeit an der oberen Klassengrenze ein, weil dort alle Werte der Klasse mitgezählt sind. Du beginnst mit 0 an der unteren Grenze der ersten Klasse und verbindest die Punkte mit Strecken (Summenhäufigkeitspolygon) oder mit einer glatten Kurve. Die Kurve steigt immer oder bleibt gleich, oft in Form eines langgezogenen S.

Zum Ablesen gehst du von der Hochachse waagerecht bis zur Kurve und dann senkrecht nach unten. Bei n Daten liegt

• der Median bei n : 2,
• das untere Quartil Q₁ bei n : 4,
• das obere Quartil Q₃ bei 3n : 4.

Der Interquartilsabstand Q₃ − Q₁ misst die Streuung der mittleren Hälfte der Daten; Q₁ und Q₃ sind die Kanten der Box eines Boxplots, der Median ist der Strich darin. Bei klassierten Daten sind die abgelesenen Werte Schätzwerte. Siehe auch Mittelwert, Median und Modalwert und Histogramme, die dieselben Klassen als Säulen zeigen.

Rückwärts geht es mit Subtraktion: Die Häufigkeit einer Klasse ist ihre kumulierte Häufigkeit minus die vorherige.

Wie lautet die Formel für die kumulierte Häufigkeit?#

Man addiert alle Häufigkeiten bis zum betrachteten Wert: H(x₁) + H(x₂) + … + H(xᵢ). Für die kumulierte relative Häufigkeit teilt man durch n oder addiert die relativen Häufigkeiten.

Was ist die kumulierte relative Häufigkeit?#

Der Anteil der Daten, die höchstens so groß wie ein Wert sind, zum Beispiel 60 von 80 = 0,75 = 75 %. Als Funktion heißt sie empirische Verteilungsfunktion; sie steigt treppenförmig von 0 auf 1.

Was ist der Unterschied zwischen absoluter und kumulierter Häufigkeit?#

Die absolute Häufigkeit zählt nur die Werte einer Zeile, die kumulierte zählt alle Werte bis einschließlich dieser Zeile. In der Hausaufgabentabelle hat die Klasse 20 < t ≤ 30 die Häufigkeit 20, aber die kumulierte Häufigkeit 40.

Wie findet man den Median mit der kumulierten Häufigkeit?#

Bei nicht klassierten Daten suchst du die erste Zeile, deren kumulierte Häufigkeit n : 2 erreicht oder überschreitet. Ist n gerade und trifft n : 2 genau eine Summe, ist der Median der Mittelwert aus diesem und dem nächsten Wert. Bei klassierten Daten liest du die Summenkurve bei n : 2 ab.

Wie berechnet man die kumulierte Häufigkeit in Excel?#

Stehen die Häufigkeiten in B2:B7, schreibst du in C2 =SUMME($B$2:B2) und ziehst die Formel nach unten. Das $ hält den Anfang des Bereichs fest, das Ende wandert mit.