Was sind Quartile, und wie berechnet man den Quartilsabstand?

Stell dir elf Schülerinnen und Schüler in einer Reihe vor, geordnet nach ihren Punkten in einer Klassenarbeit. Wer in der Mitte steht, hat den Median (Zentralwert). Teilst du jede Hälfte noch einmal in der Mitte, bekommst du drei Trennstellen:

• Q₁, das untere Quartil (auch q₀,₂₅ oder 1. Quartil): Ein Viertel der Daten liegt darunter.
• Q₂, der Median: Die Hälfte der Daten liegt darunter.
• Q₃, das obere Quartil (auch q₀,₇₅ oder 3. Quartil): Drei Viertel der Daten liegen darunter.

Der Quartilsabstand (auch Interquartilsabstand, englisch IQR) misst, wie weit die mittlere Hälfte der Daten streut:

Quartilsabstand = oberes Quartil − unteres Quartil = Q₃ − Q₁

Er hat dieselbe Einheit wie die Daten: bei Punkten Punkte, bei Minuten Minuten.

Warum nicht einfach die Spannweite (größter − kleinster Wert)? Weil sie nur von den beiden extremsten Werten abhängt. Ein einziger ungewöhnlicher Wert, ein Ausreißer, kann sie riesig machen. Der Quartilsabstand lässt das unterste und das oberste Viertel weg und zeigt, wie eng die typischen Werte beieinanderliegen. Kleiner Quartilsabstand: Die mittlere Hälfte ist einheitlich. Großer Quartilsabstand: Sie streut stark.

So bestimmst du die Quartile (Methode „Median der Hälften“):

1. Ordne die Daten und bestimme den Median.
2. Die untere Hälfte sind alle Werte unterhalb des Medians; Q₁ ist ihr Median.
3. Die obere Hälfte sind alle Werte oberhalb des Medians; Q₃ ist ihr Median.

Bei einer ungeraden Anzahl gehört der Median selbst zu keiner Hälfte. Viele Schulbücher rechnen stattdessen mit der Position: Ist n · 0,25 keine ganze Zahl, rundet man auf und nimmt diesen Wert; ist es eine ganze Zahl, nimmt man den Mittelwert aus diesem und dem nächsten Wert (für Q₃ genauso mit n · 0,75). Bei allen Beispielen auf dieser Seite liefern beide Wege dieselben Quartile. Bei manchen Datenmengen unterscheiden sich Bücher und Taschenrechner leicht; nimm die Methode aus deinem Unterricht.

Mit Minimum und Maximum bilden die Quartile die Fünf-Zahlen-Zusammenfassung des Boxplots. Die Box reicht von Q₁ bis Q₃, also ist die Länge der Box der Quartilsabstand. Bei großen oder klassierten Daten liest man die Quartile an der Summenkurve der kumulierten Häufigkeit bei n : 4 und 3n : 4 ab. Den Median erklärt Mittelwert, Median und Modalwert; ein Streumaß, das alle Werte benutzt, ist die Standardabweichung.

Für Ausreißer gibt es eine verbreitete Faustregel: Ein Wert gilt als Ausreißer, wenn er mehr als 1,5 · Quartilsabstand unter Q₁ oder über Q₃ liegt.

Wie berechnet man den Quartilsabstand?#

Quartilsabstand = Q₃ − Q₁. Zuerst ordnet man die Daten und bestimmt die beiden Quartile, dann subtrahiert man.

Wie interpretiert man den Quartilsabstand?#

Er sagt, wie stark die mittleren 50 % der Daten streuen. Haben zwei Klassen denselben Median, aber verschiedene Quartilsabstände, sind die Ergebnisse in der Klasse mit dem kleineren Abstand einheitlicher.

Was ist der Quartilsabstand beim Boxplot?#

Die Länge der Box: rechten Rand (Q₃) und linken Rand (Q₁) ablesen und subtrahieren. Der Strich in der Box ist der Median, die Antennen (Whisker) reichen bis zum Minimum und Maximum.

Wie viele Teile hat ein Boxplot?#

Vier, und in jedem liegt etwa ein Viertel der Daten: linke Antenne, linke Boxhälfte, rechte Boxhälfte, rechte Antenne. Die Teile können verschieden lang sein, obwohl sie gleich viele Werte enthalten.

Wie berechnet man den Quartilsabstand in Excel?#

Stehen die Daten in A1:A11, schreibst du =QUARTILE.EXKL(A1:A11;3)-QUARTILE.EXKL(A1:A11;1). Excel hat auch QUARTILE.INKL mit einer etwas anderen Regel: Für die 11 Punktzahlen oben liefert sie 26 und 37 statt 25 und 38. Beides ist nicht falsch, es sind verschiedene Konventionen.

Was ist der Unterschied zwischen Quartilen und Quantilen?#

Quantile teilen geordnete Daten in gleiche Anteile. Quartile sind die Quantile für Viertel (q₀,₂₅, q₀,₅, q₀,₇₅), Dezile teilen in Zehntel und Perzentile in Hundertstel.