Mathe
Was ist ein Häufigkeitspolygon, und wie zeichnet man es?
Kurze Antwort
Ein Häufigkeitspolygon ist ein Liniendiagramm für in Klassen eingeteilte Daten. Man trägt die Häufigkeit jeder Klasse über der Klassenmitte ein und verbindet die Punkte mit Strecken.
In einem Satz
Ein Häufigkeitspolygon entsteht, wenn man die Häufigkeit jeder Klasse über der Klassenmitte als Punkt einträgt und die Punkte mit geraden Strecken verbindet.
Erklärt
Werden Daten in Klassen eingeteilt, etwa Körpergrößen von 150 bis unter 160 cm und von 160 bis unter 170 cm, gehen die genauen Werte verloren. Man weiß nur noch, wie viele Werte in jede Klasse fallen, also die absolute Häufigkeit der Klasse. Ein Histogramm zeigt das mit aneinanderstoßenden Säulen. Ein Häufigkeitspolygon (auch Polygonzug) zeigt dieselbe Information mit Punkten und Strecken.
Jede Klasse wird durch einen Punkt dargestellt:
- nach rechts: die Klassenmitte, Klassenmitte = (untere Klassengrenze + obere Klassengrenze) : 2
- nach oben: die Häufigkeit der Klasse
Für die Klasse 150 bis unter 160 mit der Häufigkeit 8 ist die Klassenmitte (150 + 160) : 2 = 155. Man trägt also den Punkt (155; 8) ein. Dann verbindet man die Punkte der Reihe nach mit Strecken. Warum die Klassenmitte? Innerhalb der Klasse weiß man nicht, wo die Werte liegen; die Mitte ist der fairste Vertreter für alle.
Lineal
Bleistift
Berg
Ist das Histogramm schon gezeichnet, gibt es eine Abkürzung: die Mitte der oberen Kante jeder Säule markieren und diese Punkte verbinden. Trägt man statt der absoluten die relativen Häufigkeiten ein, erhält man das Polygon der relativen Häufigkeiten: gleiche Form, andere Achsenbeschriftung.
Seine Stärke zeigt das Häufigkeitspolygon beim Vergleichen. Zwei Histogramme im selben Koordinatensystem verdecken sich gegenseitig, zwei Polygone (etwa Körpergrößen von Mädchen und Jungen oder Punktzahlen zweier Klassen) passen in verschiedenen Farben in ein Diagramm. Man sieht auf einen Blick, welche Gruppe höher liegt, welche stärker streut und wo jede ihren Gipfel hat.
Manche Bücher schließen das Polygon: Sie fügen an jedem Ende eine leere Klasse mit Häufigkeit 0 an, sodass die Linie auf der waagerechten Achse beginnt und endet. Andere verbinden nur die eingetragenen Punkte. Richte dich nach deiner Lehrkraft; beide zeigen dieselben Daten.
Nicht verwechseln:
- Ein Liniendiagramm zeigt meist, wie sich eine Größe mit der Zeit verändert. Ein Häufigkeitspolygon zeigt, wie oft Werte vorkommen.
- Das Summenhäufigkeitspolygon (kumuliertes Häufigkeitspolygon) trägt laufende Summen an den oberen Klassengrenzen ein; siehe kumulierte Häufigkeit.
Beispiele
Körpergrößen von 30 Kindern:
| Körpergröße (cm) | Häufigkeit | Klassenmitte | Punkt |
|---|---|---|---|
| 140 bis unter 150 | 3 | 145 | (145; 3) |
| 150 bis unter 160 | 8 | 155 | (155; 8) |
| 160 bis unter 170 | 11 | 165 | (165; 11) |
| 170 bis unter 180 | 6 | 175 | (175; 6) |
| 180 bis unter 190 | 2 | 185 | (185; 2) |
Trage die fünf Punkte ein und verbinde sie mit Strecken. Das Polygon steigt bis zu einem Gipfel bei 165 (Modalklasse 160 bis unter 170 cm) und fällt zu beiden Seiten ab. Zum Schließen ergänzt man (135; 0) und (195; 0), die Klassenmitten der leeren Klassen 130 bis unter 140 und 190 bis unter 200.
Aus denselben Punkten kann man den Mittelwert schätzen: jede Klassenmitte mit ihrer Häufigkeit multiplizieren, alles addieren und durch die Gesamtzahl teilen. Hier (145 · 3 + 155 · 8 + 165 · 11 + 175 · 6 + 185 · 2) : 30 = 4 910 : 30 ≈ 163,7 cm. Das ist nur ein Schätzwert, denn die Klassenmitten ersetzen die echten Größen (mehr dazu unter Mittelwert, Median und Modus).
Häufige Fehler
- Punkte an den Klassengrenzen eintragen. So geht's richtig: Das Häufigkeitspolygon nutzt die Klassenmitten. Obere Klassengrenzen gehören zum Summenhäufigkeitspolygon.
- Die Klassenmitte falsch berechnen. Die Mitte von 20 bis unter 30 ist 25, nicht 20 oder 30. So geht's richtig: Grenzen addieren und halbieren.
- Mit einer Kurve verbinden oder den letzten Punkt mit dem ersten. So geht's richtig: gerade Strecken mit dem Lineal, von jedem Punkt zum nächsten, von links nach rechts.
- Eine ungleichmäßige Einteilung der waagerechten Achse. So geht's richtig: Die waagerechte Achse ist ein Zahlenstrahl; gleiche Schritte brauchen gleiche Abstände.
Schritt für Schritt
Schritt für Schritt
- Klassenmitten berechnenFür jede Klasse untere und obere Grenze addieren und durch 2 teilen.
- Achsen zeichnenWaagerecht eine gleichmäßig eingeteilte Zahlenachse über alle Klassen, senkrecht die Häufigkeit.
- Punkte eintragenPro Klasse ein Punkt: (Klassenmitte; Häufigkeit).
- Punkte verbindenMit dem Lineal jeden Punkt durch eine Strecke mit dem nächsten verbinden.
- Schließen, falls verlangtAn jedem Ende einen Punkt mit Häufigkeit 0 über der Mitte einer leeren Klasse ergänzen.
Übungsaufgaben
Häufigkeitspolygone
Löse jede Aufgabe und prüfe dann deine Antwort.
- Wo liegt die Klassenmitte von 10 bis unter 20?
Lösung zeigen
(10 + 20) : 2 = 15 - Wo liegt die Klassenmitte von 0 bis unter 5?
Lösung zeigen
(0 + 5) : 2 = 2,5 - Wo liegt die Klassenmitte von 150 bis unter 160?
Lösung zeigen
155 - Wo liegt die Klassenmitte von 20 bis unter 40?
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(20 + 40) : 2 = 30 - Die Klasse 30 bis unter 40 hat die Häufigkeit 7. Welcher Punkt wird eingetragen?
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(35; 7) - Die Klassen 0–10, 10–20 und 20–30 haben die Häufigkeiten 4, 9 und 5. Gib die Punkte an.
Lösung zeigen
(5; 4), (15; 9) und (25; 5) - Die Klassen 10–20, 20–30 und 30–40 haben die Häufigkeiten 2, 6 und 3. Welche zwei Punkte schließen das Polygon?
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(5; 0) und (45; 0) - Ein Häufigkeitspolygon geht durch (25; 4), (35; 10), (45; 7) und (55; 3). Wie groß ist die Gesamthäufigkeit?
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4 + 10 + 7 + 3 = 24 - Welche Klasse hat beim Polygon aus Aufgabe 8 die größte Häufigkeit?
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Der Gipfel liegt bei 35, also 30 bis unter 40 - Wie breit sind die Klassen beim Polygon aus Aufgabe 8?
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35 − 25 = 10 - Wie viele Werte sind beim Polygon aus Aufgabe 8 mindestens 40?
Lösung zeigen
7 + 3 = 10 - Ein Punkt liegt bei (2,5; 6), die Klassen sind 5 breit. Um welche Klasse geht es?
Lösung zeigen
0 bis unter 5, mit der Häufigkeit 6 - Schätze den Mittelwert aus dem Polygon von Aufgabe 8.
Lösung zeigen
(25 · 4 + 35 · 10 + 45 · 7 + 55 · 3) : 24 = 930 : 24 = 38,75 - Bei welchem waagerechten Wert wird die Klasse 40 bis unter 60 (a) im Häufigkeitspolygon, (b) im Summenhäufigkeitspolygon eingetragen?
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(a) 50, die Klassenmitte; (b) 60, die obere Klassengrenze
Sachaufgaben
Häufigkeitspolygone im Alltag
Löse jede Aufgabe und prüfe dann deine Antwort.
- Reaktionszeiten: 0,2 bis unter 0,3 s: 5 Personen, 0,3 bis unter 0,4 s: 12 Personen, 0,4 bis unter 0,5 s: 8 Personen. Welche Punkte trägt man ein?
Lösung zeigen
(0,25; 5), (0,35; 12) und (0,45; 8) - 50 Äpfel wurden gewogen: 100–120 g: 6, 120–140 g: 15, 140–160 g: 20, 160–180 g: der Rest. Bestimme die fehlende Häufigkeit und ihren Punkt.
Lösung zeigen
50 − 41 = 9, eingetragen bei (170; 9) - Mittagstemperaturen an 30 Tagen: 10–15 °C: 4 Tage, 15–20 °C: 11 Tage, 20–25 °C: 10 Tage, 25–30 °C: 5 Tage. An wie vielen Tagen waren es 20 °C oder mehr?
Lösung zeigen
10 + 5 = 15 Tage - Ein Polygon der Busfahrzeiten geht durch (5; 8), (15; 14), (25; 6) und (35; 2), in Minuten. Schätze die mittlere Fahrzeit.
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(40 + 210 + 150 + 70) : 30 = 470 : 30 ≈ 15,7 Minuten - Zwei Klassen mit je 30 Kindern schreiben denselben Test. Das Polygon der 8a hat seinen Gipfel bei 32 Punkten, das der 8b bei 26 Punkten, die Formen sind ähnlich. Welche Klasse war insgesamt besser?
Lösung zeigen
Die 8a: Ihre häufigsten Punktzahlen liegen etwa 6 Punkte höher.
Häufige Fragen
Was ist ein Häufigkeitspolygon in der Statistik?
Ein Diagramm für klassierte Daten: Für jede Klasse wird ein Punkt (Klassenmitte; Häufigkeit) eingetragen, und die Punkte werden mit Strecken verbunden. Es zeigt die Form der Verteilung.
Was ist der Unterschied zwischen Histogramm und Häufigkeitspolygon?
Beide zeigen dieselben klassierten Daten. Das Histogramm nutzt aneinanderstoßende Säulen, das Polygon Punkte über den Klassenmitten, die mit Strecken verbunden sind. Verbindet man die Mitten der oberen Säulenkanten eines Histogramms, erhält man das Häufigkeitspolygon.
Was ist ein kumuliertes Häufigkeitspolygon?
Das Summenhäufigkeitspolygon: Man trägt die kumulierten Häufigkeiten an den oberen Klassengrenzen ein, beginnt mit 0 an der unteren Grenze der ersten Klasse und verbindet die Punkte. Die Linie steigt immer und hilft, Median und Quartile abzulesen.
Was ist der Unterschied zwischen Häufigkeitspolygon und Liniendiagramm?
Ein Liniendiagramm zeigt meist eine Entwicklung über die Zeit, etwa die Temperatur über einen Tag. Beim Häufigkeitspolygon stehen Messwerte wie Körpergrößen auf der waagerechten Achse und Häufigkeiten auf der senkrechten.
Wie erstellt man ein Häufigkeitspolygon in Excel?
Klassenmitten in eine Spalte und Häufigkeiten in die nächste schreiben, beide markieren und ein Punktdiagramm (XY) mit geraden Linien und Datenpunkten einfügen.
Kurzes Quiz
Häufigkeitspolygon
Teste dein Wissen mit 5 kurzen Fragen.
Frage 1 von 5
Wo trägt man jeden Punkt eines Häufigkeitspolygons ein?
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Arbeitsblätter zur Statistik
Schritt für Schritt üben im ganzen Kurs: Mathe · Klasse 9
Für Erwachsene
Verwandte Themen
Histogramme
Ein Histogramm zeigt in Klassen eingeteilte Zahlenwerte als aneinanderstoßende Säulen über einer Zahlenachse. Sind die Klassen verschieden breit, gibt die Fläche jeder Säule die Häufigkeit an.
Kumulierte Häufigkeit
Die kumulierte Häufigkeit (Summenhäufigkeit) ist die laufende Summe der Häufigkeiten bis zu einem Wert. Die letzte ist die Gesamtzahl, und aus ihr liest man Median und Quartile ab.
Liniendiagramme
Ein Liniendiagramm zeigt, wie sich etwas im Lauf der Zeit verändert. Man trägt Punkte in ein Gitter ein und verbindet sie mit einer Linie. So sieht man Anstieg, Abfall und Muster sofort.
Mittelwert, Median und Modus
Mittelwert, Median und Modus sind drei Durchschnitte. Der Mittelwert verteilt die Summe gleichmäßig, der Median ist der mittlere Wert, der Modus der häufigste.
Die Binomialverteilung
Die Binomialverteilung B(n; p) gibt die Wahrscheinlichkeit für k Treffer in einer Bernoulli-Kette der Länge n an: P(X = k) = (n über k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ. Der Erwartungswert ist n · p.
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit von A, wenn man schon weiß, dass B eingetreten ist. Man schreibt P_B(A) oder P(A|B) und rechnet P_B(A) = P(A∩B) : P(B).