Mathe
Was ist ein Histogramm, und was ist der Unterschied zum Säulendiagramm?
Kurze Antwort
Ein Histogramm zeigt in Klassen eingeteilte Zahlenwerte als aneinanderstoßende Säulen über einer Zahlenachse. Sind die Klassen verschieden breit, gibt die Fläche jeder Säule die Häufigkeit an.
In einem Satz
Ein Histogramm ist ein Diagramm für Zahlenwerte, die in Klassen eingeteilt wurden; es besteht aus Säulen, die entlang einer Zahlenachse lückenlos aneinanderstoßen.
Erklärt
Stell dir vor, du misst die Körpergröße von 30 Schülerinnen und Schülern. Fast jede Größe ist anders (148,2 cm, 151,7 cm, 153,0 cm …), eine Säule für jeden einzelnen Wert wäre also nutzlos. Stattdessen teilst du die Werte in Klassen ein, etwa 140 bis unter 150 cm, 150 bis unter 160 cm und 160 bis unter 170 cm. Du zählst, wie viele in jede Klasse fallen (die absolute Häufigkeit), und zeichnest pro Klasse eine Säule. Das ist ein Histogramm.
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Heft
Ein Histogramm sieht ähnlich aus wie ein Säulendiagramm, es gibt aber wichtige Unterschiede:
- Die waagerechte Achse ist eine Zahlenachse, keine Liste von Kategorien. Die Säulen lassen sich nicht umsortieren.
- Die Säulen stoßen aneinander. Die Klassen folgen lückenlos aufeinander: 150 cm ist das Ende der einen und der Anfang der nächsten Klasse. Damit klar ist, wohin ein Wert wie 150 gehört, sagt man „150 bis unter 160“ oder schreibt [150; 160[.
- Es ist für Zahlenwerte gedacht, meist für stetige Merkmale, die gemessen werden (Größen, Zeiten, Massen), nicht für Kategorien wie das Lieblingsobst.
Sind alle Klassen gleich breit, ist die Höhe jeder Säule einfach die Häufigkeit. Die Daten kannst du mit einer Strichliste sammeln und die Säulen direkt zeichnen.
Sind die Klassen verschieden breit, täuscht die Höhe allein. Angenommen, 20 Personen brauchten 0 bis 10 Minuten für ein Puzzle und 20 weitere 10 bis 30 Minuten. Die Häufigkeiten sind gleich, aber die zweite Klasse ist doppelt so breit, und eine gleich hohe Säule sähe doppelt so groß aus. Die Lösung ist die Häufigkeitsdichte:
Häufigkeitsdichte = Häufigkeit : Klassenbreite
Die Höhe der Säule ist die Häufigkeitsdichte, und damit ist ihre Fläche (Höhe · Breite) die Häufigkeit. Hier sind die Dichten 20 : 10 = 2 und 20 : 20 = 1, und beide Säulen haben die Fläche 20.
Ein Histogramm zeigt auf einen Blick die Form der Verteilung: wo die meisten Werte liegen, wie stark sie streuen, ob die Verteilung symmetrisch oder schief ist und ob es Lücken oder Ausreißer gibt. Das sieht man sich an, bevor man Mittelwert, Median oder Modalwert berechnet.
Beispiele
Zeit, die 62 Schüler an einem Abend für Hausaufgaben brauchten:
| Zeit t (Minuten) | Häufigkeit | Klassenbreite | Häufigkeitsdichte |
|---|---|---|---|
| 0 bis unter 10 | 8 | 10 | 8 : 10 = 0,8 |
| 10 bis unter 20 | 14 | 10 | 14 : 10 = 1,4 |
| 20 bis unter 40 | 24 | 20 | 24 : 20 = 1,2 |
| 40 bis unter 60 | 10 | 20 | 10 : 20 = 0,5 |
| 60 bis unter 90 | 6 | 30 | 6 : 30 = 0,2 |
Beachte: Die Klasse 20 bis unter 40 hat die meisten Schüler (24), die höchste Säule gehört aber zu 10 bis unter 20 (Dichte 1,4), weil die Klasse 20 bis unter 40 doppelt so breit ist.
Musteraufgabe: Schätze, wie viele Schüler zwischen 30 und 50 Minuten gearbeitet haben. Nimm die Hälfte der Säule 20 bis 40 (1,2 · 10 = 12) und die Hälfte der Säule 40 bis 60 (0,5 · 10 = 5). Das sind etwa 17 Schüler. Es ist eine Schätzung, weil wir annehmen, dass die Werte innerhalb jeder Klasse gleichmäßig verteilt sind.
Häufige Fehler
- Lücken zwischen den Säulen lassen. Dann ist es ein Säulendiagramm. So geht's richtig: Im Histogramm stoßen die Säulen aneinander.
- Bei verschieden breiten Klassen die Häufigkeit als Höhe nehmen. So geht's richtig: Erst die Häufigkeitsdichte berechnen und die senkrechte Achse so beschriften.
- Die Klassenbreite falsch bestimmen. 20 bis unter 40 ist 20 breit, nicht 40 oder 19. So geht's richtig: Breite = obere Klassengrenze − untere Klassengrenze.
- Die Häufigkeit an der Höhe ablesen. So geht's richtig: Bei ungleichen Breiten ist die Häufigkeit Dichte · Breite, also die Fläche der Säule.
Schritt für Schritt
Schritt für Schritt
- Daten in Klassen einteilenWähle Klassen, die sich nicht überschneiden, zum Beispiel 10 bis unter 20.
- Klassenbreiten bestimmenObere Klassengrenze minus untere Klassengrenze.
- Häufigkeitsdichte berechnenHäufigkeit : Klassenbreite. (Sind alle Klassen gleich breit, kannst du die Häufigkeit direkt nehmen.)
- Achsen zeichnenUnten eine durchgehende Zahlenachse, senkrecht die Häufigkeitsdichte.
- Säulen lückenlos zeichnenJede Säule reicht von der unteren bis zur oberen Klassengrenze, ihre Höhe ist die Dichte. Prüfe: Jede Fläche ist gleich der Häufigkeit.
Ablesen geht genauso, nur rückwärts: Klassenbreite an der waagerechten Achse ablesen, Dichte an der senkrechten, und beides multiplizieren.
Übungsaufgaben
Histogramme
Löse jede Aufgabe und prüfe dann deine Antwort.
- Wie breit ist die Klasse 0 bis unter 5?
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5 − 0 = 5 - Wie breit ist die Klasse 20 bis unter 50?
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50 − 20 = 30 - Eine Klasse hat die Häufigkeit 12 und die Breite 4. Wie groß ist die Häufigkeitsdichte?
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12 : 4 = 3 - Eine Klasse hat die Häufigkeit 45 und die Breite 15. Wie groß ist die Häufigkeitsdichte?
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45 : 15 = 3 - Eine Klasse hat die Häufigkeit 9 und die Breite 10. Wie groß ist die Häufigkeitsdichte?
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9 : 10 = 0,9 - Eine Säule hat die Dichte 1,6 und die Breite 5. Wie groß ist die Häufigkeit?
Lösung zeigen
1,6 · 5 = 8 - Eine Säule hat die Dichte 0,4 und die Breite 25. Wie groß ist die Häufigkeit?
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0,4 · 25 = 10 - Eine Säule reicht auf der waagerechten Achse von 30 bis 50 und ist 2,5 hoch. Wie groß ist die Häufigkeit?
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Breite 20, also 2,5 · 20 = 50 - Wofür braucht man ein Histogramm: (a) Lieblingsobst der Klasse, (b) Zeiten im 100-m-Lauf?
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(b): Zeiten sind stetige Zahlenwerte. - Die gleich breiten Klassen 0–10, 10–20 und 20–30 haben die Häufigkeiten 4, 9 und 7. Welche ist die Modalklasse?
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Die höchste Säule: 10–20 - Ein Histogramm hat die Dichten 1,5 für 0–10, 2 für 10–20 und 0,8 für 20–40. Wie groß ist die Gesamthäufigkeit?
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15 + 20 + 16 = 51 - Schätze im Histogramm aus Aufgabe 11, wie viele Werte zwischen 30 und 40 liegen.
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Die halbe Säule 20–40: 0,8 · 10 = 8 - Schätze im Histogramm aus Aufgabe 11, wie viele Werte kleiner als 15 sind.
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15 + 2 · 5 = 25 - Die Klasse 10 bis unter 20 hat die Häufigkeit 14, die Klasse 20 bis unter 40 die Häufigkeit 24. Welche Säule ist höher?
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Die Dichten sind 1,4 und 1,2: die Säule 10 bis unter 20 ist höher. - Warum nutzt man bei verschieden breiten Klassen die Häufigkeitsdichte?
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Damit die Fläche jeder Säule die Häufigkeit zeigt. Sonst wirken breite Klassen zu groß.
Sachaufgaben
Histogramme im Alltag
Löse jede Aufgabe und prüfe dann deine Antwort.
- Bei einer Umfrage brauchten 18 Schüler zwischen 20 und 30 Minuten für den Schulweg. Welche Häufigkeitsdichte wird für diese Klasse eingezeichnet?
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18 : 10 = 1,8 - In einem Histogramm der Paketmassen hat die Säule von 2 kg bis 2,5 kg die Dichte 40 (Pakete pro kg). Wie viele Pakete sind das?
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40 · 0,5 = 20 Pakete - Höhe von Setzlingen: 0 bis unter 5 cm: 10 Pflanzen, 5 bis unter 10 cm: 16 Pflanzen, 10 bis unter 20 cm: 12 Pflanzen. Berechne die drei Häufigkeitsdichten.
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10 : 5, 16 : 5 und 12 : 10: 2; 3,2 und 1,2 - Ein Histogramm der Fahrzeiten mit dem Bus hat Säulen für 0–10 min (Dichte 3), 10–15 min (Dichte 4) und 15–30 min (Dichte 2). Wie viele Fahrten dauerten 10 Minuten oder länger?
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4 · 5 + 2 · 15 = 20 + 30 = 50 Fahrten - Schätze mit demselben Histogramm, wie viele Fahrten kürzer als 20 Minuten waren.
Lösung zeigen
3 · 10 + 4 · 5 + 2 · 5 = 30 + 20 + 10 = 60 Fahrten
Häufige Fragen
Was ist ein Histogramm in Mathe?
Ein Histogramm stellt in Klassen eingeteilte Zahlenwerte durch aneinanderstoßende Säulen dar. Es zeigt, wie die Werte verteilt sind: wo sie sich häufen und wie stark sie streuen.
Was ist der Unterschied zwischen Histogramm und Säulendiagramm?
Ein Säulendiagramm vergleicht einzelne Kategorien oder Werte, die Säulen haben Lücken und können in beliebiger Reihenfolge stehen. Ein Histogramm zeigt Klassen auf einer Zahlenachse, die Säulen stoßen aneinander und bleiben in der Reihenfolge. Bei ungleichen Klassen zählt die Fläche, nicht die Höhe.
Wie liest man ein Histogramm?
Lies an der waagerechten Achse die Klassen und an der senkrechten die Häufigkeit oder Häufigkeitsdichte ab. Bei gleich breiten Klassen ist die Höhe die Häufigkeit, bei ungleich breiten ist es die Fläche: Dichte · Klassenbreite.
Was ist ein Histogramm bei der Binomialverteilung?
In der Stochastik zeichnet man die Wahrscheinlichkeiten P(X = k) einer Binomialverteilung als Säulen der Breite 1, jeweils mittig über k. Weil die Breite 1 ist, ist die Fläche jeder Säule gleich ihrer Wahrscheinlichkeit, und alle Flächen zusammen ergeben 1.
Was zeigt ein Histogramm in der Fotografie?
In Kameras und Bildbearbeitung zeigt ein Histogramm, wie viele Bildpunkte welche Helligkeit haben, von Schwarz links bis Weiß rechts. Ein Berg ganz links bedeutet ein eher dunkles Bild. Es ist dieselbe Idee: Werte in Klassen zählen und als Säulen zeigen.
Wie erstellt man ein Histogramm in Excel?
In Excel 2016 oder neuer markierst du die Daten und wählst unter „Einfügen“ bei den Statistikdiagrammen „Histogramm“. Excel nutzt gleich breite Klassen und zeigt Häufigkeiten; bei ungleich breiten Klassen musst du die Häufigkeitsdichte selbst berechnen.
Kurzes Quiz
Histogramme
Teste dein Wissen mit 5 kurzen Fragen.
Frage 1 von 5
Welche Daten stellt man am besten in einem Histogramm dar?
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Ein Balkendiagramm zeigt Daten mit Balken unterschiedlicher Länge. Je länger der Balken, desto größer die Zahl. Man nennt es auch Säulendiagramm, wenn die Balken senkrecht stehen.
Mittelwert, Median und Modus
Mittelwert, Median und Modus sind drei Durchschnitte. Der Mittelwert verteilt die Summe gleichmäßig, der Median ist der mittlere Wert, der Modus der häufigste.
Strichlisten
Eine Strichliste ist eine Tabelle, in der man mit kleinen Strichen zählt. Jeder Strich ist eins, und jeder fünfte Strich streicht die vier davor durch, sodass man in Fünfern zählen kann.
Kumulierte Häufigkeit
Die kumulierte Häufigkeit (Summenhäufigkeit) ist die laufende Summe der Häufigkeiten bis zu einem Wert. Die letzte ist die Gesamtzahl, und aus ihr liest man Median und Quartile ab.
Häufigkeitspolygon
Ein Häufigkeitspolygon ist ein Liniendiagramm für in Klassen eingeteilte Daten. Man trägt die Häufigkeit jeder Klasse über der Klassenmitte ein und verbindet die Punkte mit Strecken.
Relative Häufigkeit
Die relative Häufigkeit ist die absolute Häufigkeit geteilt durch die Anzahl aller Werte. Gehen 6 von 20 Kindern zu Fuß zur Schule, ist sie 6/20 = 0,3, also 30 %.