Mathe
Was ist die relative Häufigkeit, und wie berechnet man sie?
Kurze Antwort
Die relative Häufigkeit ist die absolute Häufigkeit geteilt durch die Anzahl aller Werte. Gehen 6 von 20 Kindern zu Fuß zur Schule, ist sie 6/20 = 0,3, also 30 %.
In einem Satz
Die relative Häufigkeit gibt an, welcher Anteil aller Werte auf ein Ergebnis fällt: wie oft es vorkommt, geteilt durch die Gesamtzahl.
Erklärt
Die absolute Häufigkeit H ist eine Anzahl: wie oft ein Ergebnis vorkommt. Wenn in einer Klasse mit 40 Kindern 14 zu Fuß zur Schule gehen, ist die absolute Häufigkeit von „zu Fuß“ 14. Die relative Häufigkeit h vergleicht diese Anzahl mit der Gesamtzahl n. Sie zeigt also den Anteil und nicht die bloße Anzahl:
h = H : n (relative Häufigkeit = absolute Häufigkeit : Gesamtzahl)
Für die Fußgänger: 14 : 40 = 0,35. Eine relative Häufigkeit kann man als Bruch (14/40 = 7/20), als Dezimalzahl (0,35) oder in Prozent (35 %) angeben. Alle drei bedeuten dasselbe: 35 von 100. (Auf Englisch heißt sie relative frequency.)
Bus
Fahrrad
Auto
Wozu das Ganze? Um Gruppen unterschiedlicher Größe zu vergleichen. In der 7a mögen 12 von 30 Kindern Fußball, in der 7b 15 von 50. In der 7b gibt es mehr Fußballfans, aber anteilig liegt die 7a vorn: 12 : 30 = 0,4 (40 %) gegen 15 : 50 = 0,3 (30 %). Relative Häufigkeiten bringen beide Gruppen auf denselben Maßstab.
Zwei Dinge gelten immer:
- Jede relative Häufigkeit liegt zwischen 0 und 1 (zwischen 0 % und 100 %).
- In einer vollständigen Tabelle ergeben alle relativen Häufigkeiten zusammen 1 (100 %). Das ist eine schnelle Kontrolle.
Die relative Häufigkeit ist auch die Brücke zwischen Statistik und Wahrscheinlichkeit. Wenn man eine Wahrscheinlichkeit nicht über gleich wahrscheinliche Ergebnisse berechnen kann (Landet eine Reißzwecke auf dem Rücken? Trifft eine Spielerin den Freiwurf?), macht man ein Zufallsexperiment und nimmt die relative Häufigkeit als Schätzwert. Landet eine Reißzwecke bei 200 Würfen 76-mal mit der Spitze nach oben, schätzt man die Wahrscheinlichkeit auf 76 : 200 = 0,38.
Je mehr Versuche, desto besser die Schätzung. In einem Experiment zeigte eine faire Münze bei den ersten 10 Würfen 7-mal Kopf (0,7), bei 100 Würfen 46-mal (0,46) und bei 1 000 Würfen 508-mal (0,508). Am Anfang schwankt die relative Häufigkeit stark, dann stabilisiert sie sich in der Nähe der Wahrscheinlichkeit 0,5. Das ist das empirische Gesetz der großen Zahlen.
Umgekehrt kann man damit Vorhersagen machen: erwartete Anzahl = relative Häufigkeit · Anzahl der Versuche. Bei 0,38 erwartest du in 500 Würfen etwa 0,38 · 500 = 190-mal „Spitze nach oben“.
Beispiele
Schulweg von 40 Kindern:
| Schulweg | Absolute Häufigkeit | Relative Häufigkeit | Prozent |
|---|---|---|---|
| zu Fuß | 14 | 14 : 40 = 0,35 | 35 % |
| Bus | 10 | 10 : 40 = 0,25 | 25 % |
| Auto | 12 | 12 : 40 = 0,30 | 30 % |
| Fahrrad | 4 | 4 : 40 = 0,10 | 10 % |
| Summe | 40 | 1 | 100 % |
Das ist eine Häufigkeitstabelle mit absoluten und relativen Häufigkeiten. Zeichnet man das Säulendiagramm mit den relativen Häufigkeiten an der senkrechten Achse, hat es genau dieselbe Form wie das Diagramm der absoluten Häufigkeiten; nur die Achsenbeschriftung ändert sich. Dasselbe gilt für ein Histogramm von Daten in Klassen.
Musteraufgabe: Ein Würfel wird 600-mal geworfen und zeigt 140-mal eine 6. Die relative Häufigkeit ist 140 : 600 ≈ 0,23. Ein fairer Würfel sollte etwa 1/6 ≈ 0,17 liefern, also rund 100 Sechsen bei 600 Würfen. 140 ist bei so vielen Würfen deutlich mehr. Der Würfel ist vielleicht gezinkt.
Addiert man die relativen Häufigkeiten Zeile für Zeile, erhält man die kumulierte relative Häufigkeit: zu Fuß und Bus zusammen 0,35 + 0,25 = 0,60. Mehr dazu unter kumulierte Häufigkeit.
Häufige Fehler
- Durch die falsche Zahl teilen. So geht's richtig: Immer durch die Gesamtzahl n teilen (hier 40), nicht durch die Anzahl der Kategorien oder eine andere Häufigkeit.
- Relative Häufigkeiten, die nicht 1 ergeben. So geht's richtig: Gesamtzahl prüfen. Durch Runden kann 0,99 oder 1,01 herauskommen; weicht es stärker ab, steckt ein Fehler drin.
- Dezimalzahl und Prozent verwechseln. 0,3 sind 30 %, nicht 0,3 %. So geht's richtig: Für Prozent mit 100 multiplizieren.
- Die relative Häufigkeit für die genaue Wahrscheinlichkeit halten. So geht's richtig: Sie ist ein Schätzwert aus einem Experiment. Wiederholt man es, kommt etwas anderes heraus; mehr Versuche geben einen besseren Schätzwert.
Schritt für Schritt
Schritt für Schritt
- Absolute Häufigkeiten zählenMit einer Strichliste zählen, wie oft jedes Ergebnis vorkommt.
- Gesamtzahl n bestimmenAlle absoluten Häufigkeiten addieren.
- TeilenFür jede Zeile: h = H : n.
- Umrechnen, falls verlangtFür Prozent mit 100 multiplizieren oder den Bruch kürzen.
- KontrollierenAlle relativen Häufigkeiten müssen zusammen 1 (oder 100 %) ergeben.
Rückwärts rechnet man mit Malnehmen: absolute Häufigkeit = relative Häufigkeit · n. So bestimmt man auch eine erwartete Anzahl aus einer Wahrscheinlichkeit.
Übungsaufgaben
Relative Häufigkeit
Löse jede Aufgabe und prüfe dann deine Antwort.
- 8 von 20 Kindern haben ein Haustier. Wie groß ist die relative Häufigkeit?
Lösung zeigen
8 : 20 = 0,4 - Gib die relative Häufigkeit 0,4 in Prozent an.
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0,4 · 100 = 40 % - Ein Würfel wird 50-mal geworfen und zeigt 9-mal eine 5. Wie groß ist die relative Häufigkeit der 5?
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9 : 50 = 0,18 - Eine Münze wird 80-mal geworfen und zeigt 36-mal Kopf. Wie groß ist die relative Häufigkeit von Zahl?
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Zahl: 80 − 36 = 44, also 44 : 80 = 0,55 - Eine Tabelle hat die absoluten Häufigkeiten 3, 5 und 12. Berechne die drei relativen Häufigkeiten.
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n = 20: 3 : 20, 5 : 20 und 12 : 20 = 0,15; 0,25 und 0,6 - Die relative Häufigkeit von Rot ist 0,35 bei 60 Werten. Wie oft kam Rot vor?
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0,35 · 60 = 21 - Die relativen Häufigkeiten von A und B sind 0,2 und 0,45. Es gibt nur noch ein Ergebnis C. Wie groß ist seine relative Häufigkeit?
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1 − 0,2 − 0,45 = 0,35 - 25 % der 48 Befragten wählten Blau. Wie viele wählten Blau?
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0,25 · 48 = 12 - Gib 7 von 25 als Dezimalzahl und in Prozent an.
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7 : 25 = 0,28 = 28 % - In der 7a mögen 12 von 30 Kindern Fußball, in der 7b 15 von 50. In welcher Klasse ist der Anteil der Fußballfans größer?
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12 : 30 = 0,4 und 15 : 50 = 0,3, also in der 7a - Ein Glücksrad bleibt bei 200 Drehungen 46-mal auf Grün stehen. Schätze die Wahrscheinlichkeit für Grün.
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46 : 200 = 0,23 - Wie oft Grün erwartest du mit dem Ergebnis aus Aufgabe 11 bei 1 000 Drehungen?
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0,23 · 1 000 = 230 - Die absoluten Häufigkeiten sind 5, 15, 20 und 10. Gib die relativen Häufigkeiten in Prozent an.
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n = 50: 10 %, 30 %, 40 % und 20 % - Ein Würfel zeigt bei 600 Würfen 140-mal eine 6. Ist er wahrscheinlich fair?
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140 : 600 ≈ 0,23, deutlich mehr als 1/6 ≈ 0,17 (erwartet wären etwa 100 Sechsen), also ist er vielleicht gezinkt
Sachaufgaben
Relative Häufigkeit im Alltag
Löse jede Aufgabe und prüfe dann deine Antwort.
- Eine Eisdiele hat 250 Kugeln Eis verkauft, 90 davon Schokolade. Wie viel Prozent waren Schokolade?
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90 : 250 = 0,36 = 36 % - Eine Basketballerin hat 34 ihrer letzten 40 Freiwürfe getroffen. Schätze, wie viele sie von den nächsten 60 trifft.
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34 : 40 = 0,85 und 0,85 · 60 = 51 - An 9 der 30 Tage im April hat es geregnet. Wie groß ist die relative Häufigkeit eines Regentags?
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9 : 30 = 0,3 - Eine Fabrik findet in einer Stichprobe von 400 Glühbirnen 12 defekte. Mit wie vielen defekten rechnest du bei 5 000 Glühbirnen?
Lösung zeigen
12 : 400 = 0,03 und 0,03 · 5 000 = 150 Glühbirnen - In Stadt A fahren 45 von 150 Befragten mit dem Rad zur Arbeit, in Stadt B 60 von 240. Wo ist das Rad verbreiteter?
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45 : 150 = 0,3 und 60 : 240 = 0,25, also in Stadt A (30 % gegen 25 %)
Häufige Fragen
Wie lautet die Formel für die relative Häufigkeit?
h = H : n, also absolute Häufigkeit geteilt durch die Gesamtzahl. Für die Angabe in Prozent nimmt man das Ergebnis mal 100.
Was ist der Unterschied zwischen absoluter und relativer Häufigkeit?
Die absolute Häufigkeit ist eine Anzahl (14 Kinder gehen zu Fuß). Die relative Häufigkeit ist diese Anzahl als Anteil an allen (14 von 40 = 0,35). Absolute Häufigkeiten ergeben zusammen n, relative zusammen 1.
Wie gibt man die relative Häufigkeit an?
Als Bruch, als Dezimalzahl oder in Prozent: 7/20 = 0,35 = 35 %. Welche Form verlangt ist, steht meist in der Aufgabe.
Was hat die relative Häufigkeit mit der Wahrscheinlichkeit zu tun?
Die Wahrscheinlichkeit ist der „wahre“ Wert auf lange Sicht, die relative Häufigkeit das, was im Experiment wirklich passiert ist. Bei vielen Versuchen stabilisiert sich die relative Häufigkeit und ist ein guter Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit.
Was ist die kumulierte relative Häufigkeit?
Die Summe der relativen Häufigkeiten bis zu einem Wert, zum Beispiel der Anteil aller Noten bis einschließlich 3. Die letzte kumulierte relative Häufigkeit ist immer 1.
Was ist die relative Häufigkeitsdichte?
Bei Histogrammen mit Klassen ist sie relative Häufigkeit : Klassenbreite. Dann gibt die Fläche jeder Säule die relative Häufigkeit an, und alle Flächen zusammen ergeben 1.
Kurzes Quiz
Relative Häufigkeit
Teste dein Wissen mit 5 kurzen Fragen.
Frage 1 von 5
Bei einer Umfrage wählen 15 von 60 Personen Pizza. Wie groß ist die relative Häufigkeit von Pizza?
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Relative Häufigkeit üben mit unbegrenzt vielen Aufgaben
Arbeitsblätter zur Statistik
Schritt für Schritt üben im ganzen Kurs: Mathe · Klasse 9
Für Erwachsene
Verwandte Themen
Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit misst, wie wahrscheinlich etwas eintritt, auf einer Skala von 0 (unmöglich) bis 1 (sicher). Eine faire Münze zeigt mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 Kopf.
Kumulierte Häufigkeit
Die kumulierte Häufigkeit (Summenhäufigkeit) ist die laufende Summe der Häufigkeiten bis zu einem Wert. Die letzte ist die Gesamtzahl, und aus ihr liest man Median und Quartile ab.
Histogramme
Ein Histogramm zeigt in Klassen eingeteilte Zahlenwerte als aneinanderstoßende Säulen über einer Zahlenachse. Sind die Klassen verschieden breit, gibt die Fläche jeder Säule die Häufigkeit an.
Prozent (Prozentrechnung)
Ein Prozent ist eine Zahl von 100, geschrieben mit dem Zeichen %. 25 % bedeutet also 25 von 100, das ist dasselbe wie ein Viertel.
Die Binomialverteilung
Die Binomialverteilung B(n; p) gibt die Wahrscheinlichkeit für k Treffer in einer Bernoulli-Kette der Länge n an: P(X = k) = (n über k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ. Der Erwartungswert ist n · p.
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit von A, wenn man schon weiß, dass B eingetreten ist. Man schreibt P_B(A) oder P(A|B) und rechnet P_B(A) = P(A∩B) : P(B).