Was ist die Binomialverteilung, und wie benutzt man die Formel?

Eine Fußballerin verwandelt 80 % ihrer Elfmeter. Sie schießt 5 Elfmeter. Wie wahrscheinlich sind genau 4 Tore? Jeder Elfmeter ist ein Bernoulli-Experiment mit zwei Ausgängen: Treffer (Tor) oder Niete (verschossen), mit Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,8. Fünfmal unabhängig wiederholt ergibt das eine Bernoulli-Kette der Länge 5. Die Anzahl der Tore X kann 0, 1, 2, 3, 4 oder 5 sein, und die Binomialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit jedes Werts an.

Sie passt, wenn vier Bedingungen erfüllt sind:

• zwei Ausgänge pro Versuch: Treffer oder Niete;
• die Versuche sind unabhängig voneinander;
• die Anzahl n der Versuche steht vorher fest;
• die Trefferwahrscheinlichkeit p ist in jedem Versuch gleich.

Beim Ziehen aus einer Urne heißt das: Die Binomialverteilung beschreibt Ziehen mit Zurücklegen. Man schreibt X ~ B(n; p) und sagt „X ist binomialverteilt mit n und p“. Die Formel von Bernoulli lautet

P(X = k) = (n über k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ

Jeder Teil hat eine Aufgabe. pᵏ ist die Wahrscheinlichkeit für die k Treffer, (1 − p)ⁿ⁻ᵏ die für die n − k Nieten, und der Binomialkoeffizient „n über k“ zählt die Pfade im Baumdiagramm mit genau k Treffern. Bei 5 Elfmetern mit 4 Toren kann der Fehlschuss der 1., 2., 3., 4. oder 5. sein, also ist „5 über 4“ = 5. Man bekommt ihn mit der nCr-Taste, aus dem Pascalschen Dreieck oder mit n! : (k! · (n − k)!).

Also ist P(X = 4) = 5 · 0,8⁴ · 0,2 = 5 · 0,4096 · 0,2 = 0,4096.

Drei weitere Formeln braucht man ständig:

• Erwartungswert: μ = n · p. Bei 5 Elfmetern erwartet man im Mittel 5 · 0,8 = 4 Tore.
• Varianz: σ² = n · p · (1 − p), Standardabweichung σ = √(n · p · (1 − p)). Siehe Standardabweichung.
• Kumulierte Binomialverteilung: P(X ≤ k) addiert P(X = 0) bis P(X = k). Dafür gibt es Tabellen, und der Taschenrechner liefert sie direkt.

Die Binomialverteilung ist diskret: X nimmt nur ganze Zahlen von 0 bis n an. Sie ist symmetrisch, wenn p = 0,5, rechtsschief bei kleinem p und linksschief bei p nahe 1. Bei großem n sieht ihr Histogramm fast wie die Glockenkurve der Normalverteilung aus.

Was beschreibt die Binomialverteilung?#

Die Anzahl der Treffer in einer Bernoulli-Kette: n unabhängige Versuche mit jeweils zwei Ausgängen und gleicher Trefferwahrscheinlichkeit p. Beispiele sind Tore bei Elfmetern, defekte Teile in einer Lieferung oder richtig geratene Antworten.

Ist die Binomialverteilung mit oder ohne Zurücklegen?#

Mit Zurücklegen, denn nur dann bleibt p bei jedem Zug gleich. Ohne Zurücklegen ist die Anzahl der Treffer hypergeometrisch verteilt; bei sehr großer Grundgesamtheit ist der Unterschied aber klein.

Ist die Binomialverteilung diskret?#

Ja. X zählt Treffer und nimmt nur die Werte 0, 1, 2, … bis n an. Die Normalverteilung ist dagegen stetig.

Ist die Binomialverteilung eine Normalverteilung?#

Nein, aber für große n lässt sie sich gut durch eine Normalverteilung mit μ = n · p und σ = √(n · p · (1 − p)) annähern. Als Faustregel nennt man oft die Laplace-Bedingung σ > 3.

Was ist die kumulierte Binomialverteilung?#

Die Summe P(X ≤ k) = P(X = 0) + … + P(X = k). Tabellen enthalten meist genau diese Werte. P(X = k) erhält man dann als P(X ≤ k) − P(X ≤ k − 1).

Wie berechnet man die Binomialverteilung mit dem Taschenrechner oder Excel?#

Grafikrechner haben fertige Funktionen, bei TI zum Beispiel binompdf(n, p, k) für P(X = k) und binomcdf(n, p, k) für P(X ≤ k). In Excel liefert =BINOM.VERT(k; n; p; FALSCH) P(X = k) und =BINOM.VERT(k; n; p; WAHR) P(X ≤ k).