Mathe
Was ist ein Logarithmus, und wie funktionieren Logarithmen?
Kurze Antwort
Ein Logarithmus beantwortet die Frage „Welcher Exponent?“. log₂ 8 = 3, weil 2³ = 8. Logarithmen machen Potenzen rückgängig, und ihre Gesetze machen aus Malnehmen Addieren.
In einem Satz
Ein Logarithmus nennt dir den Exponenten: log₂ 8 fragt „2 hoch wie viel ergibt 8?“, und die Antwort ist 3.
Erklärt
Du kannst schon „2 hoch 3“ ausrechnen (das ist 8). Der Logarithmus stellt die Frage andersherum: „2 hoch wie viel ergibt 8?“. Diese Frage schreibt man log₂ 8, man liest sie „Logarithmus von 8 zur Basis 2“, und die Antwort ist 3. Die Definition lautet:
log_b x = y bedeutet genau dasselbe wie b^y = x
Die kleine Zahl b ist die Basis (positiv und nicht 1), x ist der Numerus, von dem du den Logarithmus nimmst (er muss positiv sein), und das Ergebnis y ist ein Exponent. Wenn du sicher mit Potenzen rechnest, kennst du schon das meiste: Logarithmus und Potenz sind zwei Schreibweisen für dieselbe Tatsache, und der Logarithmus macht die Potenz rückgängig, so wie Subtraktion die Addition rückgängig macht.
Zwei Basen haben eine eigene Taste auf dem Taschenrechner. lg (auf dem Rechner meist „log“) ist der Zehnerlogarithmus zur Basis 10: lg 1000 = 3, weil 10³ = 1000. ln ist der natürliche Logarithmus zur Basis e, wobei e ≈ 2,718 eine besondere Zahl ist, die bei Wachstum, Zinseszins und in der Analysis auftaucht. ln e = 1 aus demselben Grund wie lg 10 = 1.
Zitrone
Welle
Stern
Wozu das Ganze? Logarithmen machen aus riesigen Spannweiten kleine, handliche Zahlen. lg 10 = 1, lg 1 000 000 = 6, lg 1 000 000 000 = 9. Jeder Schritt um 1 heißt „zehnmal so viel“. So funktioniert der pH-Wert (pH 3 ist zehnmal so sauer wie pH 4), so funktionieren Dezibel (je 10 dB mehr bedeuten zehnfache Schallintensität), und deshalb lassen sich große Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise so leicht vergleichen: Der Zehnerexponent ist ungefähr der Zehnerlogarithmus.
Logarithmen machen außerdem aus Multiplikation Addition. 1614 veröffentlichte der schottische Mathematiker John Napier die ersten Logarithmentafeln, und bald darauf erstellte Henry Briggs Tafeln zur Basis 10. Über 300 Jahre lang multiplizierten Wissenschaftler und Ingenieure große Zahlen, indem sie die Logarithmen in einer Tafel nachschlugen, addierten und das Ergebnis zurückschlugen. Der Rechenschieber funktionierte genauso.
Und schließlich sind Logarithmen das Werkzeug für Gleichungen, bei denen die Unbekannte im Exponenten steht, wie 3^x = 20. Mit normalem Umformen bekommst du das x da nicht herunter, mit dem Logarithmus schon.
Beispiele
| Logarithmus | Frage: Basis hoch wie viel? | Ergebnis |
|---|---|---|
| log₂ 8 | 2³ = 8 | 3 |
| log₁₀ 1000 | 10³ = 1000 | 3 |
| log₅ 25 | 5² = 25 | 2 |
| log₃ (1/9) | 3⁻² = 1/9 | −2 |
| log₄ 2 | 4^½ = √4 = 2 | ½ |
| log₇ 1 | 7⁰ = 1 | 0 |
Die Logarithmengesetze (für jede Basis b, mit positiven M und N):
- Produktgesetz: log_b (M · N) = log_b M + log_b N
- Quotientengesetz: log_b (M : N) = log_b M − log_b N
- Potenzgesetz: log_b (M^k) = k · log_b M
- Sonderwerte: log_b b = 1 und log_b 1 = 0
- Basiswechsel: log_b x = lg x : lg b (damit rechnest du jede Basis mit dem Taschenrechner aus)
Musteraufgabe: Löse 3^x = 20. Logarithmiere beide Seiten: lg 3^x = lg 20. Das Potenzgesetz liefert x · lg 3 = lg 20, also x = lg 20 : lg 3 ≈ 1,3010 : 0,4771 ≈ 2,73. Probe: 3^2,73 ≈ 20,07, also knapp über 20 (2,73 ist gerundet).
Häufige Fehler
- Den Logarithmus einer Summe aufteilen. lg (M + N) ist nicht lg M + lg N. Das Produktgesetz gilt für lg (M · N). lg 2 + lg 3 = lg 6, nicht lg 5.
- Quotient von Logarithmen mit Logarithmus eines Quotienten verwechseln. lg 100 : lg 10 = 2 : 1 = 2, aber lg (100 : 10) = lg 10 = 1. Das Quotientengesetz lautet lg M − lg N.
- Den Logarithmus von 0 oder einer negativen Zahl nehmen. Keine Potenz einer positiven Basis ergibt 0 oder etwas Negatives, also gibt es lg 0 und lg (−5) nicht. Mach bei Logarithmusgleichungen immer die Probe.
- Basis und Numerus vertauschen. log₂ 8 = 3, aber log₈ 2 = ⅓. Lies es als „Basis 2, hoch wie viel ergibt 8?“.
Schritt für Schritt
Schritt für Schritt
- Mach aus dem Logarithmus eine PotenzfrageBei log_b x fragst du „b hoch wie viel ist x?“. Bei log₄ 64: „4 hoch wie viel ist 64?“.
- Schreib x als Potenz von b, wenn es geht64 = 4³, also log₄ 64 = 3. Brüche liefern negative Exponenten, Wurzeln Bruch-Exponenten.
- Sonst nimm den TaschenrechnerMit dem Basiswechsel: log_b x = lg x : lg b. Für log₂ 10 tippst du lg 10 : lg 2 ≈ 3,32.
- Um b^x = c zu lösen, logarithmiere beide SeitenDas Potenzgesetz holt x herunter: x · lg b = lg c, also x = lg c : lg b.
- ProbeSetz deine Lösung ein. Bei Logarithmusgleichungen fällt jede Lösung weg, bei der du den Logarithmus von null oder einer negativen Zahl bräuchtest.
Willst du mehrere Logarithmen zusammenfassen, schiebst du zuerst mit dem Potenzgesetz die Vorfaktoren in den Exponenten und fasst dann mit Produkt- und Quotientengesetz alles zu einem Logarithmus zusammen. Beispiel: 2 lg 5 + lg 4 = lg 25 + lg 4 = lg 100 = 2.
Übungsaufgaben
Logarithmen: berechnen, vereinfachen, lösen
Löse jede Aufgabe und prüfe dann deine Antwort.
- Berechne log₂ 16.
Lösung zeigen
2⁴ = 16, also 4 - Berechne log₁₀ 100 000.
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10⁵ = 100 000, also 5 - Berechne log₃ 81.
Lösung zeigen
3⁴ = 81, also 4 - Berechne log₅ 1.
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5⁰ = 1, also 0 - Berechne log₂ (1/8).
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1/8 = 2⁻³, also −3 - Berechne log₉ 3.
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9^½ = √9 = 3, also ½ - Schreib 2⁶ = 64 als Logarithmus.
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log₂ 64 = 6 - Schreib log₄ 64 = 3 als Potenz.
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4³ = 64 - Vereinfache log₆ 4 + log₆ 9.
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log₆ (4 · 9) = log₆ 36 = 2 (weil 6² = 36) - Vereinfache log₂ 40 − log₂ 5.
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log₂ (40 : 5) = log₂ 8 = 3 - Berechne 2 lg 5 + lg 4.
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lg 25 + lg 4 = lg 100 = 2 - Zerlege lg (x³y) in eine Summe von Logarithmen.
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lg x³ + lg y = 3 lg x + lg y - Löse log₃ x = 4.
Lösung zeigen
x = 3⁴ = 81 - Löse 2^x = 50 auf 2 Nachkommastellen.
Lösung zeigen
x = lg 50 : lg 2 ≈ 1,69897 : 0,30103 ≈ 5,64 - Löse log₂ x + log₂ (x − 2) = 3.
Lösung zeigen
log₂ (x(x − 2)) = 3, also x² − 2x = 8, x² − 2x − 8 = 0, (x − 4)(x + 2) = 0. Für x = −2 bräuchte man den Logarithmus einer negativen Zahl, also x = 4
Sachaufgaben
Logarithmen im Alltag
Löse jede Aufgabe und prüfe dann deine Antwort.
- Eine Kolonie von 100 Bakterien verdoppelt sich jede Stunde. Nach wie vielen Stunden sind es 6400?
Lösung zeigen
100 · 2^t = 6400, also 2^t = 64 = 2⁶: nach 6 Stunden - Du legst 1000 € zu 5 % Zinsen im Jahr an, die einmal jährlich gutgeschrieben werden. Wann sind es zum ersten Mal mehr als 2000 €?
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1,05^t = 2, t = lg 2 : lg 1,05 ≈ 14,2, also nach 15 Jahren (2078,93 €) - Eine Stadt mit 5000 Einwohnern wächst jährlich um 3 %. Wann hat sie ungefähr 8000 Einwohner?
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1,03^t = 1,6, t = lg 1,6 : lg 1,03 ≈ 15,9 Jahre - Zitronensaft hat etwa pH 2, Tomatensaft etwa pH 4. Wie viel saurer ist Zitronensaft?
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Jede pH-Stufe ist ×10, also 10² = 100-mal (bezogen auf die Konzentration der Wasserstoffionen) - Eine Straße ist 70 dB laut, ein ruhiges Büro 50 dB. Wie viel intensiver ist der Straßenlärm?
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20 dB mehr sind zwei Schritte zu je 10 dB: 10 · 10 = 100-mal
Häufige Fragen
Was ist ein Logarithmus, einfach erklärt?
Der Exponent, der fehlt. lg 100 = 2, weil man 10 hoch 2 rechnen muss, um 100 zu bekommen. Ein Logarithmus ist ein Exponent, nur andersherum aufgeschrieben.
Wie viele Logarithmengesetze gibt es?
Meist lernt man drei: das Produktgesetz lg (M · N) = lg M + lg N, das Quotientengesetz lg (M : N) = lg M − lg N und das Potenzgesetz lg (Mᵏ) = k · lg M. Dazu kommen oft noch der Basiswechsel und die Sonderwerte log_b b = 1 und log_b 1 = 0.
Wie addiert man Logarithmen?
Nur Logarithmen mit derselben Basis lassen sich zusammenfassen: Die Summe wird zum Logarithmus des Produkts, log₆ 4 + log₆ 9 = log₆ 36 = 2. Bei verschiedenen Basen rechnest du erst mit dem Basiswechsel um.
Wie tippt man Logarithmen in den Taschenrechner?
Für die Basis 10 drückst du log, für die Basis e ln. Für andere Basen nimmst du den Basiswechsel, log₂ 50 = lg 50 : lg 2 ≈ 5,64, oder die Taste mit einem Kästchen für die Basis, die viele Schulrechner haben.
Wie berechne ich Logarithmen ohne Taschenrechner oder im Kopf?
Schreib den Numerus als Potenz der Basis: log₂ 32 = 5, weil 32 = 2⁵. Bei Brüchen oder Wurzeln hilft dasselbe, log₂ (1/4) = −2 und log₄ 2 = ½. Wenn das nicht aufgeht, kannst du nur abschätzen: log₂ 50 liegt zwischen 5 und 6, weil 32 < 50 < 64.
Was hat der Logarithmus mit der Exponentialfunktion zu tun?
Sie sind Umkehrfunktionen. y = log_b x macht y = bˣ rückgängig, deshalb sind ihre Graphen an der Geraden y = x gespiegelt. Darum löst man Exponentialgleichungen mit dem Logarithmus.
Was ist eine Logarithmentafel?
Ein Tabellenbuch mit den Logarithmen vieler Zahlen, das man vor dem Taschenrechner benutzt hat. Zum Multiplizieren schlug man die Logarithmen nach, addierte sie und las das Ergebnis rückwärts wieder ab.
Kurzes Quiz
Logarithmen
Teste dein Wissen mit 5 kurzen Fragen.
Frage 1 von 5
Was ist log₂ 32?
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Verwandte Themen
Potenzen
Eine Potenz hat eine kleine hochgestellte Zahl (den Exponenten), die zeigt, wie oft man eine Zahl mit sich selbst malnimmt. Also ist 2⁴ gleich 2 · 2 · 2 · 2 = 16.
Wissenschaftliche Schreibweise
In der wissenschaftlichen Schreibweise schreibt man sehr große oder sehr kleine Zahlen als Zahl von 1 bis 10 mal einer Zehnerpotenz. Zum Beispiel ist 3.500.000 gleich 3,5 · 10⁶.
Gleichungen
Eine Gleichung sagt, dass zwei Dinge gleich sind, mit einem Gleichheitszeichen, zum Beispiel 2x + 1 = 9. Lösen heißt, den Wert des Buchstabens zu finden, der sie wahr macht, hier x = 4.
Algebra
Algebra ist Mathematik mit Buchstaben wie x oder n, die für unbekannte oder veränderliche Zahlen stehen. Wenn zum Beispiel n + 3 = 10 ist, dann ist n = 7.
Umkehrfunktion
Die Umkehrfunktion f⁻¹ macht rückgängig, was f macht: Ist f(3) = 7, dann ist f⁻¹(7) = 3. Man löst y = f(x) nach x auf und vertauscht dann x und y.
Kubikzahlen und Kubikwurzel
Eine Kubikzahl entsteht, wenn man eine Zahl dreimal mit sich selbst malnimmt, etwa 4³ = 4 · 4 · 4 = 64. Die Kubikwurzel macht das rückgängig, also ∛64 = 4.