Was ist eine Umkehrfunktion und wie bildet man sie?

Stell dir eine Funktion als Maschine vor. f(x) = 2x + 1 nimmt die 3, verdoppelt sie (6), addiert 1 und gibt 7 aus. Die Umkehrmaschine läuft rückwärts: Sie nimmt die 7, zieht 1 ab (6), halbiert und gibt die 3 zurück. Jeder Schritt wird rückgängig gemacht, und zwar in umgekehrter Reihenfolge, so wie man erst die Schuhe und dann die Socken auszieht.

Die Umkehrfunktion von f schreibt man f⁻¹ (gesprochen „f hoch minus eins“ oder „f invers“), in manchen Büchern auch f̄. Das −1 ist kein Exponent: f⁻¹(x) bedeutet nicht 1 : f(x).

So bildest du die Umkehrfunktion rechnerisch:

1. Schreibe y = f(x), zum Beispiel y = 2x + 1.
2. Löse nach x auf: x = (y − 1)/2.
3. Vertausche x und y: y = (x − 1)/2.

Also ist f⁻¹(x) = (x − 1)/2. Probe: f(3) = 7 und f⁻¹(7) = 6/2 = 3. Allgemein gilt f(f⁻¹(x)) = x und f⁻¹(f(x)) = x: Wer eine Funktion und ihre Umkehrfunktion hintereinander ausführt, landet wieder am Start. (Du kannst auch zuerst x und y vertauschen und dann nach y auflösen. Das Ergebnis ist dasselbe.)

Am Graphen wird beim Vertauschen jeder Punkt (a; b) zu (b; a). Das ist die Spiegelung an der Winkelhalbierenden y = x. Liegt (3; 7) auf dem Graphen von f, dann liegt (7; 3) auf dem Graphen von f⁻¹.

Nicht jede Funktion ist umkehrbar. f(x) = x² bildet 3 und −3 beide auf 9 ab. Die Umkehrfunktion wüsste nicht, wohin sie die 9 zurückschicken soll. Umkehrbar ist eine Funktion nur, wenn jeder Funktionswert genau einmal vorkommt (sie ist injektiv). Das ist zum Beispiel der Fall, wenn sie streng monoton steigt oder fällt. Am Graphen: Schneidet eine waagerechte Gerade ihn mehr als einmal, ist f nicht umkehrbar. Die Lösung ist, den Definitionsbereich einzuschränken: Für x ≥ 0 ist f(x) = x² streng monoton steigend, und die Umkehrfunktion ist die Wurzelfunktion f⁻¹(x) = √x.

Außerdem tauschen die Bereiche die Rollen: Der Definitionsbereich von f⁻¹ ist der Wertebereich von f, und umgekehrt.

Einige berühmte Paare kennst du schon: x² und √x (für x ≥ 0), x³ und ∛x, 10ˣ und lg x (siehe Logarithmus), eˣ und ln x sowie sin x und arcsin x auf einem eingeschränkten Bereich.

Bei einer quadratischen Funktion schränkst du zuerst den Definitionsbereich ein. f(x) = (x − 3)² + 1 mit x ≥ 3: Aus y = (x − 3)² + 1 folgt (x − 3)² = y − 1 und x = 3 + √(y − 1). Die positive Wurzel, weil x ≥ 3. Vertauschen ergibt f⁻¹(x) = 3 + √(x − 1) für x ≥ 1. Probe: f(4) = 2 und f⁻¹(2) = 3 + 1 = 4.

Was ist eine Umkehrfunktion, einfach erklärt?#

Sie ist die Funktion, die eine andere rückgängig macht. Macht f aus 3 die 7, macht f⁻¹ aus 7 wieder die 3. Hintereinander ausgeführt landest du wieder am Anfang.

Wie bildet man die Umkehrfunktion?#

Schreibe y = f(x), löse nach x auf und vertausche dann x und y. Das Ergebnis ist f⁻¹(x). Mach zum Schluss immer eine Probe mit einer Zahl.

Wann ist eine Funktion umkehrbar?#

Wenn jeder Funktionswert nur zu genau einem x-Wert gehört. Streng monotone Funktionen sind immer umkehrbar. Bei anderen, wie x², schränkt man den Definitionsbereich ein.

Wie zeichnet man eine Umkehrfunktion?#

Zeichne den Graphen von f und die Winkelhalbierende y = x. Spiegle dann einige Punkte: (a; b) wird zu (b; a). Verbinde die gespiegelten Punkte zum Graphen von f⁻¹.

Wie sehen typische Umkehrfunktionen aus?#

Die Umkehrfunktion einer linearen Funktion mit Steigung m ≠ 0 ist wieder eine lineare Funktion, also eine Gerade. Die Wurzelfunktion ist die Umkehrfunktion der Normalparabel für x ≥ 0, und der natürliche Logarithmus ln x ist die Umkehrfunktion der e-Funktion.

Was sind die Umkehrfunktionen von sin, cos und tan?#

arcsin, arccos und arctan liefern den Winkel zu einem Wert: arcsin(0,5) = 30°. Weil sin sich wiederholt, nimmt man einen eingeschränkten Bereich, für arcsin von −90° bis 90°. Auf dem Taschenrechner heißen sie sin⁻¹, cos⁻¹ und tan⁻¹.

Wie leitet man eine Umkehrfunktion ab?#

Es gilt (f⁻¹)′(x) = 1 : f′(f⁻¹(x)). Für f(x) = x³ ist f⁻¹(8) = 2 und f′(2) = 12, also hat ∛x an der Stelle 8 die Steigung 1/12.