Was ist die quadratische Ergänzung und wie funktioniert sie Schritt für Schritt?

Alles beginnt mit der 1. binomischen Formel: (x + 3)² = x² + 6x + 9. Schau genau hin: Die Zahl in der Klammer (3) ist die Hälfte der Zahl vor dem x (6), und die Zahl am Ende (9) ist diese Hälfte zum Quadrat. Allgemein gilt:

(x + d)² = x² + 2dx + d²

Die meisten quadratischen Terme sind keine vollständigen Quadrate. x² + 6x + 5 ist „fast“ (x + 3)², hat aber 5 statt 9 am Ende. Die quadratische Ergänzung repariert das: Du ergänzt das fehlende Quadrat und ziehst es gleich wieder ab, damit sich der Term nicht ändert.

x² + 6x + 5 = x² + 6x + 9 − 9 + 5 = (x + 3)² − 4

Für jeden Term in Normalform x² + px + q gilt:

x² + px + q = (x + p/2)² − (p/2)² + q

Warum heißt das „Ergänzung“? Stell dir x² als Quadrat mit Seite x vor und 6x als zwei Streifen 3 mal x an zwei Seiten. Die Figur ist fast ein großes Quadrat mit Seite x + 3, nur eine Ecke von 3 × 3 fehlt. Mit diesen 9 Kästchen ergänzt du das Quadrat. So hat al-Chwarizmi schon vor über tausend Jahren quadratische Gleichungen gelöst.

Steht der Term in der Scheitelpunktform f(x) = a(x − d)² + e, wird dreierlei leicht:

• Gleichungen lösen. Bring e auf die andere Seite, teile durch a und zieh die Wurzel (mit ±). Das klappt bei jeder quadratischen Gleichung, auch wenn sie sich nicht faktorisieren lässt. Genau so leitet man auch die pq-Formel und die Mitternachtsformel her.
• Den Scheitelpunkt ablesen. Die Parabel f(x) = a(x − d)² + e hat den Scheitelpunkt S(d; e).
• Minimum oder Maximum finden. Ein Quadrat ist nie negativ, also ist (x − d)² + e nie kleiner als e. Ist a negativ, ist die Parabel nach unten geöffnet und e der größte Wert.

Steht vor dem x² eine Zahl (ein Vorfaktor a ≠ 1), klammerst du sie zuerst aus den Termen mit x² und x aus: 2x² + 12x + 7 = 2(x² + 6x) + 7. Dann ergänzt du in der Klammer und multiplizierst wieder aus.

Kurze Probe: Multipliziere dein Ergebnis wieder aus. Kommt der Ausgangsterm heraus, stimmt die Ergänzung.

Wie lautet die Formel der quadratischen Ergänzung?#

Für die Normalform: x² + px + q = (x + p/2)² − (p/2)² + q. Ergänzt wird also immer (p/2)², das Quadrat der halben Zahl vor dem x.

Wie geht die quadratische Ergänzung mit Vorfaktor?#

Klammere den Vorfaktor aus den Termen mit x² und x aus, ergänze in der Klammer und multipliziere die abgezogene Zahl mit dem Vorfaktor. Bei 2x² + 8x + 1: 2(x² + 4x) + 1 = 2[(x + 2)² − 4] + 1 = 2(x + 2)² − 7, Scheitelpunkt S(−2; −7).

Wie kommt man mit der quadratischen Ergänzung auf die Scheitelpunktform?#

Genau so wie oben: Ergänze, fasse zusammen und schreibe das Ergebnis als f(x) = a(x − d)² + e. Aus f(x) = x² − 6x + 11 wird (x − 3)² + 2, der Scheitelpunkt ist S(3; 2).

Was hat die quadratische Ergänzung mit der pq-Formel zu tun?#

Die pq-Formel ist die quadratische Ergänzung, einmal allgemein ausgerechnet. Aus x² + px + q = 0 wird (x + p/2)² = (p/2)² − q, und Wurzelziehen ergibt x = −p/2 ± √((p/2)² − q).

Wann nimmt man die quadratische Ergänzung statt der pq-Formel?#

Zum reinen Lösen sind beide gleich gut, die pq-Formel ist oft schneller. Die quadratische Ergänzung brauchst du, wenn der Scheitelpunkt, ein Maximum oder Minimum gefragt ist, und später für Kreisgleichungen: x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0 wird zu (x − 2)² + (y + 3)² = 25, ein Kreis mit Mittelpunkt M(2; −3) und Radius 5.