Mathe
Was ist der Scheitelpunkt einer Parabel, und wie berechnet man ihn?
Kurze Antwort
Der Scheitelpunkt ist der tiefste oder höchste Punkt einer Parabel. Für f(x) = ax² + bx + c liegt er bei xₛ = −b/(2a); setze xₛ in f ein, dann hast du yₛ.
In einem Satz
Der Scheitelpunkt ist der Punkt, an dem eine Parabel umkehrt: der tiefste Punkt einer nach oben geöffneten Parabel (∪) oder der höchste Punkt einer nach unten geöffneten (∩).
Erklärt
Der Graph jeder quadratischen Funktion f(x) = ax² + bx + c ist eine Parabel, eine symmetrische, U-förmige Kurve. Der Scheitelpunkt S ist die Stelle, an der die Kurve aufhört zu fallen und anfängt zu steigen, oder umgekehrt.
Ball
Brücke
Berg
Wie die Parabel geöffnet ist, entscheidet das Vorzeichen von a, der Zahl vor x²:
- a > 0: nach oben geöffnet (∪). Der Scheitelpunkt ist ein Tiefpunkt.
- a < 0: nach unten geöffnet (∩). Der Scheitelpunkt ist ein Hochpunkt.
Die senkrechte Gerade durch den Scheitelpunkt ist die Symmetrieachse: Klappst du den Graphen an ihr um, liegen beide Äste genau aufeinander.
Die Scheitelpunktformel. Für f(x) = ax² + bx + c gilt
xₛ = −b/(2a), und yₛ = f(xₛ) bekommst du durch Einsetzen. Direkt geht auch yₛ = c − b²/(4a).
Woher kommt −b/(2a)? Suche die Stellen, an denen f(x) = c ist. Dann ist ax² + bx = 0, also x(ax + b) = 0, und damit x = 0 oder x = −b/a. Diese beiden Punkte liegen gleich hoch, also liegt der Scheitelpunkt wegen der Symmetrie genau in der Mitte: xₛ = −b/(2a). Für eine verschobene Normalparabel f(x) = x² + px + q heißt das S(−p/2 | q − (p/2)²).
Den Scheitelpunkt findest du in jeder der drei üblichen Formen:
- Allgemeine Form f(x) = ax² + bx + c: xₛ = −b/(2a) berechnen, dann yₛ = f(xₛ).
- Scheitelpunktform f(x) = a(x − d)² + e: Der Scheitelpunkt ist direkt S(d|e) und lässt sich ablesen. Vorsicht beim Vorzeichen: f(x) = (x + 4)² − 7 hat den Scheitelpunkt S(−4|−7). Aus der allgemeinen Form kommst du mit der quadratischen Ergänzung zur Scheitelpunktform.
- Faktorisierte Form (Nullstellenform) f(x) = a(x − x₁)(x − x₂): Die Parabel schneidet die x-Achse bei x₁ und x₂, und der Scheitelpunkt liegt in der Mitte: xₛ = (x₁ + x₂)/2.
Wozu das alles? Immer wenn etwas einer Parabel folgt, beantwortet der Scheitelpunkt die Frage „Was ist das Maximum (oder Minimum), und wann wird es erreicht?“. Ein Ball, der mit der Höhe h(t) = 20t − 5t² Meter nach oben geworfen wird, erreicht den Scheitelpunkt bei t = −20/(2 · (−5)) = 2 Sekunden, dann ist h = 40 − 20 = 20 m. Er steigt also nach 2 Sekunden auf 20 m und fällt dann. Außerdem liegt der Scheitelpunkt genau in der Mitte der beiden Lösungen einer quadratischen Gleichung, deshalb beginnt die Mitternachtsformel mit −b/(2a).
Beispiele
| Funktion | Form | Rechnung | Scheitelpunkt | Hoch- oder Tiefpunkt |
|---|---|---|---|---|
| f(x) = x² − 6x + 5 | allgemein | xₛ = 6/2 = 3; yₛ = 9 − 18 + 5 = −4 | S(3|−4) | Tiefpunkt |
| f(x) = 2x² + 8x + 3 | allgemein | xₛ = −8/4 = −2; yₛ = 8 − 16 + 3 = −5 | S(−2|−5) | Tiefpunkt |
| f(x) = −x² + 4x + 1 | allgemein | xₛ = −4/(−2) = 2; yₛ = −4 + 8 + 1 = 5 | S(2|5) | Hochpunkt |
| f(x) = 3(x − 1)² + 4 | Scheitelpunktform | d = 1, e = 4 | S(1|4) | Tiefpunkt |
| f(x) = −(x + 2)² + 6 | Scheitelpunktform | d = −2, e = 6 | S(−2|6) | Hochpunkt |
| f(x) = (x − 1)(x − 5) | Nullstellenform | xₛ = (1 + 5)/2 = 3; yₛ = 2 · (−2) = −4 | S(3|−4) | Tiefpunkt |
Die erste und die letzte Zeile sind dieselbe Parabel: (x − 1)(x − 5) = x² − 6x + 5, und beide Wege liefern S(3|−4).
Musteraufgabe: Bestimme den Scheitelpunkt von f(x) = 2x² − 4x + 5. Hier ist a = 2 und b = −4, also xₛ = 4/4 = 1. Dann ist yₛ = f(1) = 2 − 4 + 5 = 3. Der Scheitelpunkt ist S(1|3), und weil a = 2 positiv ist, ist er ein Tiefpunkt. Probe mit der zweiten Formel: 5 − 16/8 = 5 − 2 = 3. ✓
Häufige Fehler
- Das Minus in −b/(2a) vergessen. Bei f(x) = x² + 6x + 1 ist b = 6, also xₛ = −6/2 = −3, nicht 3.
- Das Vorzeichen in der Scheitelpunktform falsch ablesen. (x − 2)² + 5 hat S(2|5), (x + 2)² + 5 hat S(−2|5). Frag dich: Für welches x wird die Klammer null?
- Durch 2 teilen und das a vergessen. −b/(2a) heißt −b geteilt durch 2 · a. Bei f(x) = 3x² − 12x ist xₛ = 12/6 = 2, nicht 12/2 = 6.
- Negative Zahlen falsch quadrieren. Für x = −2 ist x² = 4 und 2x² = 8. Schreib die Klammer: 2 · (−2)².
- Denken, der Scheitelpunkt sei immer unten. Ist a negativ, ist er der höchste Punkt.
Schritt für Schritt
Schritt für Schritt
- a, b und c ablesenSchreib die Funktion als f(x) = ax² + bx + c, mit Vorzeichen.
- xₛ berechnenXₛ = −b/(2a). (In der Scheitelpunktform d ablesen, in der Nullstellenform die Mitte der Nullstellen nehmen.)
- yₛ berechnenXₛ in die Funktion einsetzen.
- Hoch- oder Tiefpunkt?A > 0: Tiefpunkt; a < 0: Hochpunkt.
- Mit der Symmetrie prüfenZwei x-Werte, die gleich weit von xₛ entfernt sind, müssen denselben y-Wert liefern.
Die Symmetrieachse ist dann die Gerade x = xₛ. Zum Zeichnen trägst du zuerst den Scheitelpunkt ein und legst eine Wertetabelle nach beiden Seiten an.
Übungsaufgaben
Bestimme den Scheitelpunkt
Löse jede Aufgabe und prüfe dann deine Antwort.
- Bestimme den Scheitelpunkt von f(x) = (x − 4)² + 1.
Lösung zeigen
S(4|1) - Bestimme den Scheitelpunkt von f(x) = (x + 3)² − 5.
Lösung zeigen
Die Klammer wird bei x = −3 null: S(−3|−5) - Bestimme den Scheitelpunkt von f(x) = −2(x − 1)² + 8. Hoch- oder Tiefpunkt?
Lösung zeigen
S(1|8), ein Hochpunkt (a = −2 ist negativ) - Bestimme den Scheitelpunkt von f(x) = x² + 4.
Lösung zeigen
b = 0, also xₛ = 0 und yₛ = 4: S(0|4) - Bestimme den Scheitelpunkt von f(x) = x² − 4x + 7.
Lösung zeigen
xₛ = 4/2 = 2; yₛ = 4 − 8 + 7 = 3: S(2|3) - Bestimme den Scheitelpunkt von f(x) = x² + 10x + 21.
Lösung zeigen
xₛ = −10/2 = −5; yₛ = 25 − 50 + 21 = −4: S(−5|−4) - Bestimme den Scheitelpunkt von f(x) = 2x² − 12x + 13.
Lösung zeigen
xₛ = 12/4 = 3; yₛ = 18 − 36 + 13 = −5: S(3|−5) - Bestimme den Scheitelpunkt von f(x) = −x² + 6x − 2.
Lösung zeigen
xₛ = −6/(−2) = 3; yₛ = −9 + 18 − 2 = 7: S(3|7), ein Hochpunkt - Bestimme den Scheitelpunkt von f(x) = 3x² + 6x + 1.
Lösung zeigen
xₛ = −6/6 = −1; yₛ = 3 − 6 + 1 = −2: S(−1|−2) - Bestimme den Scheitelpunkt von f(x) = x² − 5x + 4.
Lösung zeigen
xₛ = 5/2 = 2,5; yₛ = 6,25 − 12,5 + 4 = −2,25: S(2,5|−2,25) - Bestimme den Scheitelpunkt von f(x) = (x − 2)(x − 8).
Lösung zeigen
xₛ = (2 + 8)/2 = 5; yₛ = 3 · (−3) = −9: S(5|−9) - Bestimme den Scheitelpunkt von f(x) = −(x + 1)(x − 5).
Lösung zeigen
xₛ = (−1 + 5)/2 = 2; yₛ = −(3)(−3) = 9: S(2|9), ein Hochpunkt - Bring f(x) = x² + 8x + 10 mit quadratischer Ergänzung in Scheitelpunktform.
Lösung zeigen
(x + 4)² − 16 + 10 = (x + 4)² − 6, also S(−4|−6) - Eine Parabel hat den Scheitelpunkt S(2|−3) und geht durch P(0|1). Wie lautet ihre Scheitelpunktform?
Lösung zeigen
f(x) = a(x − 2)² − 3; mit P: 1 = 4a − 3, also a = 1: f(x) = (x − 2)² − 3 - Welchen größten Wert hat f(x) = −4x² + 8x + 5?
Lösung zeigen
xₛ = −8/(−8) = 1; f(1) = −4 + 8 + 5 = 9: der größte Wert ist 9, bei x = 1
Sachaufgaben
Der Scheitelpunkt im Alltag
Löse jede Aufgabe und prüfe dann deine Antwort.
- Ein Ball hat nach t Sekunden die Höhe h(t) = 20t − 5t² Meter. Wie hoch fliegt er, und wann?
Lösung zeigen
t = −20/(2 · (−5)) = 2; h(2) = 40 − 20 = 20: 20 m, nach 2 Sekunden - Aus 40 m Zaun wird ein Rechteck mit dem Flächeninhalt A(x) = x(20 − x) m² gebaut, x ist die Breite. Wie groß ist die größte Fläche?
Lösung zeigen
A(x) = −x² + 20x; xₛ = 10; A(10) = 100: 100 m² (ein Quadrat mit 10 m Seitenlänge) - Der Strahl eines Springbrunnens folgt h(t) = −5t² + 10t + 1 Meter. Wo ist sein höchster Punkt?
Lösung zeigen
t = −10/(−10) = 1; h(1) = −5 + 10 + 1: 6 m, nach 1 Sekunde - Ein Brückenbogen hat die Form f(x) = −0,02x² + 2x (in Metern), x ist der Abstand von einem Fußpunkt. Wie hoch ist der Bogen?
Lösung zeigen
xₛ = −2/(−0,04) = 50; f(50) = −0,02 · 2500 + 100 = 50: 50 m hoch, 50 m vom Fußpunkt entfernt - Zwei Zahlen ergeben zusammen 14. Wie groß kann ihr Produkt höchstens werden?
Lösung zeigen
P(x) = x(14 − x) = −x² + 14x; xₛ = 7: 49 (7 · 7) - Der Tagesgewinn eines Limonadenstands ist G(p) = −10p² + 60p − 40 Euro, wobei p der Preis pro Becher in Euro ist. Bei welchem Preis ist der Gewinn am größten?
Lösung zeigen
p = −60/(−20) = 3; G(3) = −90 + 180 − 40 = 50: 3 € pro Becher, 50 € Gewinn
Häufige Fragen
Wie lautet die Formel für den Scheitelpunkt?
Für f(x) = ax² + bx + c gilt xₛ = −b/(2a) und yₛ = f(xₛ) = c − b²/(4a). Bei einer Normalparabel x² + px + q ist S(−p/2 | q − (p/2)²).
Wie berechnet man den Scheitelpunkt mit quadratischer Ergänzung?
Schreib f(x) = x² + bx + c als (x + b/2)² − (b/2)² + c. Für x² − 6x + 5 ergibt das (x − 3)² − 4, also S(3|−4). Bei a ≠ 1 klammerst du a vorher aus.
Wie kann man den Scheitelpunkt ablesen?
Aus der Scheitelpunktform f(x) = a(x − d)² + e liest du S(d|e) direkt ab, mit umgedrehtem Vorzeichen in der Klammer. Im Graphen ist es der Punkt, an dem die Kurve umkehrt.
Wie findet man den Scheitelpunkt über die Nullstellen?
Er liegt genau in der Mitte: xₛ = (x₁ + x₂)/2. Danach setzt du xₛ in die Funktion ein, um yₛ zu bekommen.
Was heißt Scheitelpunkt auf Englisch?
Auf Englisch heißt er „vertex“, in Großbritannien oft auch „turning point“. Die Scheitelpunktform heißt „vertex form“.
Kann eine Parabel mehrere Scheitelpunkte haben?
Nein. Jede Parabel hat genau einen Scheitelpunkt und genau eine Symmetrieachse.
Kurzes Quiz
Scheitelpunkt einer Parabel
Teste dein Wissen mit 5 kurzen Fragen.
Frage 1 von 5
Welchen Scheitelpunkt hat f(x) = (x − 3)² + 2?
Üben
Probier es aus
Übe Parabeln mit unbegrenzt vielen Aufgaben
Arbeitsblätter zur Algebra
Schritt für Schritt üben im ganzen Kurs: Mathe · Klasse 10
Für Erwachsene
Verwandte Themen
Quadratische Ergänzung
Bei der quadratischen Ergänzung schreibt man x² + px + q als (x + p/2)² − (p/2)² + q. So löst man quadratische Gleichungen und findet die Scheitelpunktform einer Parabel.
Quadratische Gleichungen und die Lösungsformel
Eine quadratische Gleichung hat die Form ax² + bx + c = 0. Die Lösungsformel x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a löst jede davon, und b² − 4ac verrät, wie viele Lösungen es gibt.
Mitternachtsformel und pq-Formel
Die Mitternachtsformel x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a löst ax² + bx + c = 0; die pq-Formel x = −p/2 ± √((p/2)² − q) löst x² + px + q = 0. Beide liefern dieselben Lösungen.
Funktionen (Mathe)
Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung: Jedem x wird genau ein Funktionswert f(x) zugeordnet. Bei f(x) = 2x + 3 gehört zu x = 4 der Wert 2 · 4 + 3 = 11.
Algebra
Algebra ist Mathematik mit Buchstaben wie x oder n, die für unbekannte oder veränderliche Zahlen stehen. Wenn zum Beispiel n + 3 = 10 ist, dann ist n = 7.
Verkettete Funktionen
Bei einer Verkettung wird erst eine Funktion angewendet und dann eine zweite auf das Ergebnis. In f(g(x)), kurz (f ∘ g)(x), ist g die innere und f die äußere Funktion.