Wie lautet die Lösungsformel für quadratische Gleichungen, und wie wendet man sie an?

Eine quadratische Gleichung ist jede Gleichung, die man so schreiben kann:

ax² + bx + c = 0, wobei a nicht 0 ist.

Die höchste Potenz von x ist 2, daher der Name (lateinisch quadratus, „Quadrat“). Die Zahlen a, b und c heißen Koeffizienten. In 3x² + 2x − 8 = 0 ist a = 3, b = 2 und c = −8. Anders als lineare Gleichungen hat eine quadratische Gleichung meistens zwei Lösungen.

Warum zwei? Denk an einen Ball, den du nach oben wirfst. Seine Höhe folgt einer Parabel. Fragst du „Wann ist der Ball 15 m hoch?“, gibt es zwei Antworten: einmal beim Steigen, einmal beim Fallen. Im Koordinatensystem sind die Lösungen von ax² + bx + c = 0 die Nullstellen der Parabel y = ax² + bx + c, also die Stellen, an denen sie die x-Achse schneidet; mit Koordinaten kannst du sie ablesen.

Es gibt drei Hauptwege:

• Wurzelziehen, wenn es kein x-Glied gibt: x² = 49 ergibt x = 7 oder x = −7. Vergiss die negative Lösung nicht.
• Faktorisieren, wenn die Gleichung in zwei Klammern zerfällt: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0. Nach dem Satz vom Nullprodukt ist dann x = 2 oder x = 3. Fehlt c, klammerst du x aus: x² − 4x = x(x − 4).
• Eine Lösungsformel, die immer funktioniert, auch wenn sich nichts faktorisieren lässt. Die Mitternachtsformel (auch abc-Formel, in Österreich „große Lösungsformel“) lautet:

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a

Das ± heißt: Du rechnest zweimal, einmal mit + und einmal mit −, und bekommst x₁ und x₂. Steht die Gleichung in Normalform x² + px + q = 0 (also mit a = 1), nimmt man oft die p-q-Formel (in Österreich „kleine Lösungsformel“):

x = −p/2 ± √((p/2)² − q)

Beide Formeln liefern dieselben Lösungen. Teilst du ax² + bx + c = 0 durch a, wird aus der einen Formel die andere.

Der Term unter der Wurzel, D = b² − 4ac, heißt Diskriminante. Er sagt dir vorher, wie viele reelle Lösungen es gibt:

• D > 0: zwei verschiedene Lösungen (die Parabel schneidet die x-Achse zweimal).
• D = 0: eine doppelte Lösung (die Parabel berührt die Achse).
• D < 0: keine reelle Lösung, denn aus negativen Zahlen kann man keine reelle Quadratwurzel ziehen (die Parabel verfehlt die Achse).

Bei kleinen Zahlen lohnt sich ein Blick auf den Satz von Vieta: Bei x² + px + q = 0 multiplizieren sich die Lösungen zu q und addieren sich zu −p. Für x² + 5x + 6 = 0 sind das −2 und −3. Findest du sie nicht schnell, nimm die Formel.

Was ist die Lösungsformel für quadratische Gleichungen?#

Für ax² + bx + c = 0 gilt x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. Diese Formel heißt in Deutschland meist Mitternachtsformel oder abc-Formel, in Österreich große Lösungsformel.

Was ist die kleine Lösungsformel?#

So heißt in Österreich die p-q-Formel für die Normalform x² + px + q = 0: x = −p/2 ± √((p/2)² − q). Sie ist die große Formel für den Fall a = 1.

Wie geht die große Lösungsformel?#

Bring die Gleichung auf ax² + bx + c = 0, lies a, b und c mit Vorzeichen ab, berechne D = b² − 4ac und dann x = (−b ± √D) / 2a, einmal mit + und einmal mit −.

Warum heißt sie Mitternachtsformel?#

Der Spruch dazu: Man soll sie so gut können, dass man sie aufsagen kann, auch wenn man um Mitternacht geweckt wird.

Was sagt die Diskriminante?#

D = b² − 4ac steht unter der Wurzel. Ist D positiv, gibt es zwei reelle Lösungen, ist D null, eine doppelte, und ist D negativ, keine reelle Lösung.

Wie leitet man die Lösungsformel her?#

Mit quadratischer Ergänzung. Teile ax² + bx + c = 0 durch a: x² + (b/a)x = −c/a. Addiere (b/2a)² auf beiden Seiten: (x + b/2a)² = (b² − 4ac)/4a². Wurzelziehen ergibt x + b/2a = ±√(b² − 4ac)/2a, also x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a.

Wann faktorisiere ich und wann nehme ich die Formel?#

Faktorisieren ist schneller, wenn die Lösungen glatte Zahlen sind oder ein Glied fehlt (x² = 49, x² − 4x = 0). Siehst du die Faktoren nicht nach ein paar Sekunden, oder ist die Diskriminante keine Quadratzahl, nimm die Formel.