Mathe
Was ist eine Quadratwurzel?
Kurze Antwort
Die Quadratwurzel einer Zahl ist der Wert, der mit sich selbst malgenommen diese Zahl ergibt. Die Wurzel aus 25 ist 5, weil 5 · 5 = 25 ist. Das Zeichen ist √.
In einem Satz
Die Quadratwurzel einer Zahl ist die (nicht negative) Zahl, die mit sich selbst malgenommen diese Zahl ergibt: Die Wurzel aus 25 ist 5, weil 5 · 5 = 25 ist. Man schreibt √25 = 5, und das Wurzelziehen macht das Quadrieren rückgängig.
Erklärt
Was ist eine Quadratwurzel?
Du weißt, dass 6 · 6 = 36 ist, also ist 36 eine Quadratzahl. Rückwärts ist die Quadratwurzel aus 36 gleich 6. Wir schreiben √36 = 6 und lesen "Wurzel aus 36". Das Zeichen, das wie ein Haken aussieht, heißt Wurzelzeichen. Die Zahl darunter heißt Radikand, das Ergebnis Wurzelwert.
Stell dir einen quadratischen Teppich vor. Wenn du weißt, dass sein Flächeninhalt 49 m² beträgt, sagt dir die Quadratwurzel die Länge einer Seite: √49 = 7 m. Daher kommt der Name: Die Wurzel ist die Seite des Quadrats.
Fußmatte
Die Wurzeln der Quadratzahlen
Bei Quadratzahlen ist die Wurzel eine ganze Zahl:
| Zahl | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| √ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Dasselbe Muster gilt für Dezimalzahlen und große Zahlen: √0,04 = 0,2, √1,44 = 1,2, √400 = 20 und √10.000 = 100. Ein Trick: Bei √400 kannst du die Nullen paarweise abtrennen. √4 = 2, und aus jedem Nullenpaar wird eine Null: √400 = 20.
Wurzeln schätzen
Die meisten Zahlen sind keine Quadratzahlen, und ihre Wurzeln sind lange Dezimalzahlen, die nie enden und sich nie wiederholen. √2 = 1,41421 … zum Beispiel. Du kannst sie trotzdem mit den Quadraten, die du kennst, schätzen.
Schritt für Schritt
- Such die Nachbar-QuadratzahlenFür √50: 7² = 49 und 8² = 64. Also liegt √50 zwischen 7 und 8.
- Schau, wo die Zahl näher liegt50 liegt ganz nah an 49, also ist √50 nur knapp über 7.
- Probier eine Kommazahl7,1² = 50,41. Das ist schon zu viel, also liegt √50 zwischen 7,0 und 7,1.
- Prüf mit dem Taschenrechner√50 = 7,071 … Deine Schätzung passt.
Für √30: 5² = 25 und 6² = 36, also liegt √30 zwischen 5 und 6, etwas näher an 5. Ein Taschenrechner sagt 5,477 …
Positive und negative Lösungen
Streng genommen hat jede positive Zahl zwei Zahlen, die quadriert sie ergeben, denn (−6) · (−6) = 36 gilt auch. Das Zeichen √ meint aber immer nur die positive. Beim Lösen von x² = 36 schreibt man deshalb x = 6 oder x = −6 (oft als ±6 gezeigt).
Aus negativen Zahlen kann man keine Quadratwurzel ziehen, jedenfalls nicht mit den Zahlen, die du in der Schule kennst. √(−9) gibt es nicht, denn jede Zahl mal sich selbst ergibt etwas Positives oder null.
Rechenregeln für Wurzeln
| Regel | Beispiel |
|---|---|
| Wurzel aus einem Produkt | √(4 · 9) = √4 · √9 = 2 · 3 = 6 |
| Wurzel aus einem Quotienten | √(100 : 4) = √100 : √4 = 10 : 2 = 5 |
| Teilweise Wurzelziehen | √50 = √(25 · 2) = 5 · √2 ≈ 7,07 |
| Wurzel und Quadrat heben sich auf | (√7)² = 7 und √(7²) = 7 |
| Keine Regel für Summen | √(9 + 16) = √25 = 5, aber √9 + √16 = 7 |
Für Ältere: Eine Quadratwurzel kann man auch als Potenz schreiben, nämlich √a = a^(1/2). Mehr dazu bei den Potenzen.
Andere Wurzeln
Es gibt auch andere Wurzeln. Die dritte Wurzel (Kubikwurzel) ∛ macht das Hochnehmen mit 3 rückgängig: ∛64 = 4, weil 4 · 4 · 4 = 64. Sie verrät die Kantenlänge eines Würfels, wenn du sein Volumen kennst.
Quadratwurzeln sind wichtig für den Satz des Pythagoras, bei dem du am Ende oft eine Wurzel ziehst. Hat ein rechtwinkliges Dreieck die kurzen Seiten 3 cm und 4 cm, ist die lange Seite √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 cm.
Beispiele
- √9 = 3
- √100 = 10
- √400 = 20 (denn 20 · 20 = 400)
- √0,25 = 0,5 (denn 0,5 · 0,5 = 0,25)
- √20 ist etwa 4,47 (zwischen 4 und 5)
- √(16 · 25) = 4 · 5 = 20
- ∛125 = 5
- Ein quadratisches Beet hat 64 m². Jede Seite ist √64 = 8 m lang, der Zaun drumherum also 4 · 8 = 32 m.
Häufige Fehler
- Halbieren statt Wurzel ziehen. √16 ist 4 und nicht 8. Lösung: Prüfe, indem du dein Ergebnis mit sich selbst malnimmst.
- Denken, die Wurzel einer großen Zahl sei immer eine Dezimalzahl. √10.000 = 100 genau.
- Wurzeln wie normale Zahlen addieren. √9 + √16 = 3 + 4 = 7, aber √25 = 5. Unter dem Wurzelzeichen kannst du nicht einfach addieren.
- Bei Dezimalzahlen die Stellen falsch zählen. √0,4 ist nicht 0,2 (denn 0,2² = 0,04). √0,4 ist ungefähr 0,63.
- Bei x² = 25 die negative Lösung vergessen. Die Gleichung hat zwei Lösungen: 5 und −5.
Kurzes Quiz
Quadratwurzeln
Teste dein Wissen mit 4 kurzen Fragen.
Frage 1 von 4
Was ist √81?
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Übungsaufgaben. Die Lösungen stehen darunter.
- Was ist √121?
- Was ist √0,09?
- Zwischen welchen ganzen Zahlen liegt √75?
- Ein Quadrat hat einen Flächeninhalt von 225 cm². Wie lang ist eine Seite?
- Löse x² = 49.
Lösungen: 1) 11. 2) 0,3, denn 0,3 · 0,3 = 0,09. 3) Zwischen 8 und 9, denn 8² = 64 und 9² = 81 (genauer: etwa 8,66). 4) √225 = 15 cm. 5) x = 7 oder x = −7.
Übungen zu Quadratwurzeln und Potenzen
Schritt für Schritt üben im ganzen Kurs: Mathe · Klasse 9
Für Erwachsene
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