Mathe
Was ist der Satz des Pythagoras?
Kurze Antwort
Der Satz des Pythagoras sagt: In einem rechtwinkligen Dreieck gilt a² + b² = c², wobei c die längste Seite ist (die Hypotenuse). Bei den Katheten 3 und 4 ist sie 5.
In einem Satz
Der Satz des Pythagoras verbindet die drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks: Die beiden kürzeren Seiten zum Quadrat und addiert ergeben die längste Seite zum Quadrat.
Erklärt
Jedes rechtwinklige Dreieck hat eine besondere Seite, die Hypotenuse. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber und ist immer die längste. Die beiden kürzeren Seiten heißen Katheten. Nennen wir sie a und b und die Hypotenuse c. Dann gilt:
a² + b² = c²
Haus
Lineal
Das berühmteste Beispiel ist ein Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5. Prüf es nach: 3² + 4² = 9 + 16 = 25, und 5² = 25. ✓
Du kannst es dir mit Quadraten vorstellen. Zeichne über jede Seite des Dreiecks ein Quadrat. Der Flächeninhalt des großen Quadrats über der Hypotenuse ist so groß wie die Flächeninhalte der beiden kleineren Quadrate zusammen: 9 + 16 = 25.
Die Hypotenuse finden. Quadriere die beiden Katheten, addiere und ziehe dann die Wurzel. Eine Rampe steigt 5 m an auf einer Strecke von 12 m am Boden. Ihre Länge ist √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13 m.
Eine Kathete finden. Quadriere die beiden Seiten, die du kennst, subtrahiere und ziehe dann die Wurzel. Eine 10 m lange Leiter reicht 8 m hoch an einer Wand. Wie weit steht ihr Fuß von der Wand entfernt? √(10² − 8²) = √(100 − 64) = √36 = 6 m.
Auf einen rechten Winkel prüfen. Wenn a² + b² = c² für drei Seiten stimmt, hat das Dreieck einen rechten Winkel. Bauleute haben mit der 3-4-5-Regel, mit Seilen und Maßbändern, schon rechte Winkel abgesteckt.
Der Satz ist nach Pythagoras benannt, einem griechischen Denker, der vor etwa 2.500 Jahren lebte. Aber ältere Tontafeln aus dem alten Babylon zeigen, dass man diese besonderen Dreiecke mehr als 1.000 Jahre vor ihm kannte.
Beispiele
| a | b | c (Hypotenuse) |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 1 | 1 | √2 ≈ 1,41 |
| 7 | 24 | 25 |
Ganzzahlige Sets wie 3, 4, 5 heißen pythagoreische Tripel. Nimm eins mit einer beliebigen Zahl mal und du bekommst ein weiteres: 6, 8, 10.
Häufige Fehler
- Addieren, wo du subtrahieren müsstest. Wenn du die Hypotenuse kennst, subtrahierst du, um eine Kathete zu finden.
- Die Wurzel am Ende vergessen und 169 statt 13 angeben.
- Es bei einem Dreieck ohne rechten Winkel benutzen. Es funktioniert nur bei rechtwinkligen Dreiecken.
- Die Summe quadrieren: (3 + 4)² = 49 ist nicht 3² + 4² = 25.
Kurzes Quiz
Satz des Pythagoras
Teste dein Wissen mit 4 kurzen Fragen.
Frage 1 von 4
Ein rechtwinkliges Dreieck hat kürzere Seiten von 6 cm und 8 cm. Wie lang ist die Hypotenuse?
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