Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten?

Stell dir einen Stadtplan auf Karopapier vor. Dein Zuhause liegt bei (1; 2), die Bücherei bei (4; 6). Entlang der Kästchen gehst du 3 nach rechts und 4 nach oben, aber ein Vogel fliegt direkt hin. Wie lang ist diese gerade Linie? Genau das berechnet die Abstandsformel.

Zeichnest du den Weg nach rechts und den Weg nach oben ein, entsteht ein rechtwinkliges Dreieck. Die Strecke AB ist die längste Seite, die Hypotenuse. Die Abstandsformel ist also nichts anderes als der Satz des Pythagoras (a² + b² = c²). Für A(x₁; y₁) und B(x₂; y₂) gilt:

d(A; B) = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

Für Zuhause und Bücherei: Δx = 4 − 1 = 3 und Δy = 6 − 2 = 4, also d = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 Kästchen.

Drei Dinge, die helfen:

• Die Reihenfolge der Punkte ist egal. 3 − 7 = −4 und 7 − 3 = 4, aber quadriert ergeben beide 16.
• Ein Abstand ist nie negativ. Quadrate sind nie negativ, und man nimmt die positive Wurzel.
• Gleiches x oder gleiches y? Dann ohne Formel. Haben die Punkte dieselbe x-Koordinate, liegen sie senkrecht übereinander: Du ziehst einfach die y-Werte voneinander ab. Von (2; 3) bis (2; −4) sind es 3 − (−4) = 7 Einheiten. Bei gleichem y ziehst du die x-Werte ab.

Oft kommt keine ganze Zahl heraus. √20 ist ungefähr 4,47 und lässt sich als 2√5 schreiben (siehe Quadratwurzeln). Wird der exakte Wert verlangt, lässt du die Wurzel stehen.

Mit Vektoren sieht es so aus: Der Verbindungsvektor von A nach B hat die Koordinaten (x₂ − x₁; y₂ − y₁), und der Abstand ist sein Betrag, also seine Länge. Das ist dieselbe Rechnung.

Im Raum kommt die Differenz der z-Koordinaten als drittes Quadrat dazu: d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²). So berechnest du die Raumdiagonale eines Quaders.

Die Abstandsformel gehört zu zwei weiteren Formeln für zwei Punkte mit Koordinaten: dem Mittelpunkt ((x₁ + x₂) : 2; (y₁ + y₂) : 2), der genau in der Mitte der Strecke liegt, und der Steigung (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁), die angibt, wie steil die Verbindungsgerade ist.

Schnelle Probe: Der Abstand ist mindestens so groß wie die größere der beiden Differenzen und höchstens so groß wie ihre Summe. Von (1; 2) bis (4; 6) liegt 5 zwischen 4 und 3 + 4 = 7: passt.

Was ist der Abstand zwischen zwei Punkten?#

Es ist die Länge der Verbindungsstrecke der beiden Punkte, also die kürzeste Entfernung zwischen ihnen. Im Alltag sagt man auch Luftlinie.

Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten im Koordinatensystem?#

Mit d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²): Differenzen bilden, quadrieren, addieren, Wurzel ziehen. Haben die Punkte dasselbe x oder dasselbe y, reicht eine einfache Subtraktion.

Wie heißt der Abstand zwischen zwei Punkten?#

In der Mathematik heißt er die Länge der Strecke AB, geschrieben als |AB| oder d(A; B). Mit Vektoren ist es der Betrag des Vektors von A nach B. Fachleute sprechen auch vom euklidischen Abstand.

Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten mit Vektoren?#

Bilde den Verbindungsvektor (x₂ − x₁; y₂ − y₁; z₂ − z₁) und berechne seinen Betrag: die Wurzel aus der Summe der Quadrate seiner Koordinaten. Von (1; 2; 3) nach (3; 5; 9) ist der Vektor (2; 3; 6) und sein Betrag √49 = 7.

Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten im Raum?#

Genauso wie in der Ebene, nur mit einem dritten Quadrat für die z-Koordinate: d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²).

Wie berechnet man den Abstand eines Punktes von einer Geraden?#

In der Ebene gilt für den Punkt P(x₀; y₀) und die Gerade ax + by + c = 0: d = |ax₀ + by₀ + c| : √(a² + b²). Für (1; 2) und 3x + 4y − 1 = 0 ergibt das |3 + 8 − 1| : 5 = 2.

Wie misst man den Abstand zwischen zwei Punkten bei Google Maps?#

Am Computer klickst du mit der rechten Maustaste auf die Karte, wählst „Entfernung messen“ und klickst die Punkte an. Die Karte misst auf der gekrümmten Erdoberfläche, nicht mit der ebenen Formel; für ein kleines Gebiet ist die Formel aber eine sehr gute Näherung.