Mathe
Wie lautet die Kreisgleichung, und wie stellt man sie auf?
Kurze Antwort
Ein Kreis mit Mittelpunkt M(xₘ; yₘ) und Radius r hat die Gleichung (x − xₘ)² + (y − yₘ)² = r². Liegt der Mittelpunkt im Ursprung, ist sie einfach x² + y² = r².
In einem Satz
Die Kreisgleichung ist die Bedingung, die jeder Punkt P(x; y) auf dem Kreis erfüllt: Sein Abstand zum Mittelpunkt ist immer der Radius, und daraus folgt (x − xₘ)² + (y − yₘ)² = r².
Erklärt
Ein Kreis ist die Menge aller Punkte, die von einem festen Punkt, dem Mittelpunkt M, denselben Abstand haben, den Radius r. Im Koordinatensystem wird aus diesem Satz eine Gleichung.
Uhr
Bleistift
Lineal
Kreisgleichung (Koordinatenform) für den Kreis mit Mittelpunkt M(xₘ; yₘ) und Radius r:
(x − xₘ)² + (y − yₘ)² = r²
Woher kommt sie? Nimm einen beliebigen Punkt P(x; y) auf dem Kreis. Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse MP: Die waagerechte Kathete ist x − xₘ lang, die senkrechte y − yₘ. Nach dem Satz des Pythagoras gilt (x − xₘ)² + (y − yₘ)² = MP² = r². Das ist der Abstand zweier Punkte, quadriert.
Der wichtigste Sonderfall ist der Kreis um den Ursprung: xₘ = 0 und yₘ = 0, also
x² + y² = r²
Zum Beispiel ist x² + y² = 25 der Kreis um (0; 0) mit Radius 5. Er geht durch (5; 0), (0; 5), (−5; 0), (0; −5) und auch durch (3; 4), denn 3² + 4² = 25. Der Kreis x² + y² = 1 heißt Einheitskreis.
Die Gleichung lesen. Die Vorzeichen in den Klammern sind das Gegenteil der Mittelpunktskoordinaten: (x − 2)² bedeutet xₘ = 2, aber (x + 2)² = (x − (−2))² bedeutet xₘ = −2. Und rechts steht r², nicht r: Für den Radius ziehst du die Wurzel.
Innen, auf dem Kreis oder außen? Setze die Koordinaten eines Punktes in die linke Seite ein. Kommt genau r² heraus, liegt der Punkt auf dem Kreis; weniger heißt innerhalb, mehr heißt außerhalb.
Allgemeine Form. Multiplizierst du die Klammern aus, erhältst du die allgemeine Kreisgleichung x² + y² + ax + by + c = 0. Mittelpunkt und Radius findest du mit der quadratischen Ergänzung für x und für y. Der Mittelpunkt ist M(−a/2; −b/2) und r² = (a/2)² + (b/2)² − c. Ist diese Zahl negativ, beschreibt die Gleichung keinen Kreis.
In Vektorform schreibt man die Kreisgleichung als (x⃗ − m⃗)² = r², wobei m⃗ der Ortsvektor des Mittelpunkts ist: Der Vektor von M zu einem Kreispunkt hat immer die Länge r.
Beispiele
| Mittelpunkt | Radius | Kreisgleichung |
|---|---|---|
| (0; 0) | 3 | x² + y² = 9 |
| (2; 5) | 4 | (x − 2)² + (y − 5)² = 16 |
| (−3; 1) | 6 | (x + 3)² + (y − 1)² = 36 |
| (4; −2) | √7 | (x − 4)² + (y + 2)² = 7 |
| (0; −5) | 1 | x² + (y + 5)² = 1 |
Beispiel 1 (Mittelpunkt und ein Punkt): Gesucht ist der Kreis um M(−1; 2) durch P(5; 10). Der Radius ist der Abstand MP: r² = (5 − (−1))² + (10 − 2)² = 36 + 64 = 100. Die Gleichung lautet (x + 1)² + (y − 2)² = 100, also r = 10.
Beispiel 2 (allgemeine Form): Bestimme Mittelpunkt und Radius von x² + y² − 4x + 6y − 3 = 0. Sortieren und quadratisch ergänzen: (x² − 4x) + (y² + 6y) = 3, also (x − 2)² − 4 + (y + 3)² − 9 = 3, und damit (x − 2)² + (y + 3)² = 16. Mittelpunkt M(2; −3), Radius 4.
Häufige Fehler
- Falsche Vorzeichen beim Mittelpunkt. (x + 3)² + (y − 1)² = 36 hat M(−3; 1), nicht M(3; −1). Tipp: als (x − (−3))² schreiben.
- Den Radius nicht quadrieren. Bei Radius 6 heißt es … = 36, nicht … = 6.
- r² für den Radius halten. Bei x² + y² = 49 ist r = √49 = 7, nicht 49.
- Quadratische Ergänzung nur halb machen. x² − 4x = (x − 2)² − 4: Das „− 4“ darf nicht fehlen, sonst stimmt die Gleichung nicht mehr.
Schritt für Schritt
Schritt für Schritt
- Mittelpunkt bestimmenAus der Aufgabe ablesen, oder den Mittelpunkt der Strecke nehmen, wenn die Endpunkte eines Durchmessers gegeben sind.
- r² bestimmenDen gegebenen Radius quadrieren oder den quadrierten Abstand vom Mittelpunkt zu einem Kreispunkt berechnen.
- EinsetzenXₘ, yₘ und r² in (x − xₘ)² + (y − yₘ)² = r² einsetzen.
- ProbeEinen bekannten Kreispunkt einsetzen: Beide Seiten müssen gleich sein.
- Aus der allgemeinen FormX- und y-Terme sortieren, quadratisch ergänzen, Mittelpunkt und Radius ablesen.
Eine Tangente an einen Kreis steht im Berührpunkt senkrecht auf dem Radius. Damit findet man ihre Gleichung, wie in Aufgabe 16.
Übungsaufgaben
Kreisgleichung
Löse jede Aufgabe und prüfe dann deine Antwort.
- Stelle die Gleichung des Kreises um (0; 0) mit Radius 5 auf.
Lösung zeigen
x² + y² = 25 - Stelle die Gleichung des Kreises um M(2; 3) mit Radius 4 auf.
Lösung zeigen
(x − 2)² + (y − 3)² = 16 - Stelle die Gleichung des Kreises um M(−1; 4) mit Radius 3 auf.
Lösung zeigen
(x + 1)² + (y − 4)² = 9 - Bestimme Mittelpunkt und Radius von (x − 5)² + (y + 2)² = 49.
Lösung zeigen
M(5; −2), r = 7 - Bestimme Mittelpunkt und Radius von x² + (y − 1)² = 10.
Lösung zeigen
M(0; 1), r = √10 ≈ 3,16 - Liegt P(3; 4) auf dem Kreis x² + y² = 25?
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3² + 4² = 9 + 16 = 25: ja - Liegt P(1; 2) innerhalb, auf oder außerhalb von (x − 4)² + (y − 6)² = 16?
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(1 − 4)² + (2 − 6)² = 9 + 16 = 25 > 16: außerhalb - Ein Kreis hat den Mittelpunkt M(1; −2) und geht durch P(4; 2). Stelle seine Gleichung auf.
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r² = 3² + 4² = 25: (x − 1)² + (y + 2)² = 25 - Die Endpunkte eines Durchmessers sind A(−2; 1) und B(6; 7). Stelle die Kreisgleichung auf.
Lösung zeigen
M = Mittelpunkt von AB = (2; 4); r² = (6 − 2)² + (7 − 4)² = 16 + 9 = 25: (x − 2)² + (y − 4)² = 25 - Bestimme Mittelpunkt und Radius von x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0.
Lösung zeigen
(x − 3)² − 9 + (y + 2)² − 4 − 12 = 0, also (x − 3)² + (y + 2)² = 25: M(3; −2), r = 5 - Bestimme Mittelpunkt und Radius von x² + y² + 8x − 2y + 8 = 0.
Lösung zeigen
(x + 4)² − 16 + (y − 1)² − 1 + 8 = 0, also (x + 4)² + (y − 1)² = 9: M(−4; 1), r = 3 - Bringe (x − 2)² + (y + 5)² = 9 in die allgemeine Form.
Lösung zeigen
x² − 4x + 4 + y² + 10y + 25 − 9 = 0: x² + y² − 4x + 10y + 20 = 0 - Wo schneidet der Kreis (x − 3)² + (y − 1)² = 25 die y-Achse?
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x = 0: 9 + (y − 1)² = 25, also (y − 1)² = 16 und y − 1 = ±4: (0; 5) und (0; −3) - Beschreibt x² + y² + 2x + 4y + 10 = 0 einen Kreis?
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(x + 1)² + (y + 2)² = 1 + 4 − 10 = −5. Eine Summe von Quadraten kann nicht negativ sein: nein. - Bestimme den Kreis durch (0; 0), (6; 0) und (0; 8).
Lösung zeigen
In x² + y² + ax + by + c = 0: (0; 0) liefert c = 0; (6; 0) liefert 36 + 6a = 0, a = −6; (0; 8) liefert 64 + 8b = 0, b = −8. Also x² + y² − 6x − 8y = 0: (x − 3)² + (y − 4)² = 25 - Bestimme die Tangente an x² + y² = 25 im Punkt B(3; 4).
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Der Radius MB hat die Steigung 4/3, die Tangente also −3/4: y − 4 = −¾(x − 3), umgeformt 3x + 4y = 25
Sachaufgaben
Kreise auf der Karte
Löse jede Aufgabe und prüfe dann deine Antwort.
- Ein Funkmast bei (0; 0) versorgt alles im Umkreis von 8 km. Stelle die Gleichung des Randes auf. Hat ein Haus bei (5; 6) (in km) Empfang?
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x² + y² = 64; 5² + 6² = 61 < 64, das Haus liegt innen: ja. - Ein Rasensprenger bei (3; 2) bewässert alles bis 4 m Entfernung. Stelle die Gleichung des Randes auf. Erreicht er einen Rosenstrauch bei (6; 6)?
Lösung zeigen
(x − 3)² + (y − 2)² = 16; (6 − 3)² + (6 − 2)² = 9 + 16 = 25 > 16: nein (der Strauch ist 5 m entfernt). - Auf einem Plan in Metern hat der Rand eines runden Teichs die Gleichung x² + y² − 10x − 8y + 32 = 0. Bestimme Mittelpunkt und Radius.
Lösung zeigen
(x − 5)² + (y − 4)² = 25 + 16 − 32 = 9: M(5; 4), r = 3 m - Der Mittelpunkt eines Riesenrads liegt 20 m über dem Boden, der Radius ist 18 m. Mit dem Boden als x-Achse und M(0; 20): Wie lautet die Gleichung, und wie hoch ist die tiefste Gondel?
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x² + (y − 20)² = 324; tiefster Punkt 20 − 18 = 2 m über dem Boden. - Eine Ziege ist an einem Pflock bei (2; −1) mit einem 5 m langen Seil angebunden. Erreicht sie eine Karotte bei (5; 3)?
Lösung zeigen
(5 − 2)² + (3 + 1)² = 9 + 16 = 25 = 5²: Die Karotte liegt genau auf dem Rand, ja, gerade so.
Häufige Fragen
Wie sieht eine Kreisgleichung aus?
In Koordinatenform (x − xₘ)² + (y − yₘ)² = r², mit dem Mittelpunkt M(xₘ; yₘ) und dem Radius r. Kreise um den Ursprung haben die Gleichung x² + y² = r².
Was ist die allgemeine Kreisgleichung?
x² + y² + ax + by + c = 0, die ausmultiplizierte Koordinatenform. Mit quadratischer Ergänzung bringt man sie zurück und liest M(−a/2; −b/2) und r ab.
Wie stellt man eine Kreisgleichung aus drei Punkten auf?
Jeden Punkt in x² + y² + ax + by + c = 0 einsetzen: Das gibt ein lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten a, b und c. Lösen, dann quadratisch ergänzen. Alternativ schneiden sich die Mittelsenkrechten zweier Sehnen im Mittelpunkt.
Wie lautet die Kreisgleichung in Parameterform?
x = xₘ + r · cos t und y = yₘ + r · sin t, mit t von 0° bis 360°. Läuft t einmal herum, umrundet der Punkt einmal den Kreis.
Wie lautet die Kreisgleichung in Vektorform?
(x⃗ − m⃗)² = r² oder |x⃗ − m⃗| = r. Im Raum beschreibt dieselbe Gleichung mit drei Koordinaten eine Kugel, keinen Kreis.
Kann man aus der Kreisgleichung den Flächeninhalt berechnen?
Ja: r ablesen, dann A = πr² und u = 2πr. Für x² + y² = 25 ist r = 5, also A = 25π ≈ 78,5 Flächeneinheiten und u = 10π ≈ 31,4 Längeneinheiten.
Kurzes Quiz
Kreisgleichung
Teste dein Wissen mit 4 kurzen Fragen.
Frage 1 von 4
Welchen Mittelpunkt und Radius hat (x − 3)² + (y + 4)² = 36?
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Kreise wiederholen: Radius, Umfang und Fläche
Geometrie-Arbeitsblätter
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Für Erwachsene
Verwandte Themen
Teile des Kreises
Ein Kreis hat einen Mittelpunkt, einen Radius, einen Durchmesser und einen Umfang. Der Radius geht vom Mittelpunkt zum Rand, der Durchmesser ist doppelt so lang.
Abstand zwischen zwei Punkten
Der Abstand von A(x₁; y₁) und B(x₂; y₂) ist d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Das ist der Satz des Pythagoras im Koordinatensystem.
Satz des Pythagoras
Der Satz des Pythagoras sagt: In einem rechtwinkligen Dreieck gilt a² + b² = c², wobei c die längste Seite ist (die Hypotenuse). Bei den Katheten 3 und 4 ist sie 5.
Quadratische Ergänzung
Bei der quadratischen Ergänzung schreibt man x² + px + q als (x + p/2)² − (p/2)² + q. So löst man quadratische Gleichungen und findet die Scheitelpunktform einer Parabel.
Stufenwinkel, Wechselwinkel und Scheitelwinkel
Schneidet eine Gerade zwei Parallelen, sind Stufenwinkel (F) und Wechselwinkel (Z) gleich groß, Nachbarwinkel (C) ergeben 180°. Scheitelwinkel sind immer gleich groß.
Flächeninhalt eines Kreises
Der Flächeninhalt eines Kreises ist π mal Radius zum Quadrat: A = π · r². Bei r = 5 cm sind das etwa 78,5 Quadratzentimeter.