Mathe
Was sind Koordinaten?
Kurze Antwort
Koordinaten sind ein Zahlenpaar, das eine genaue Position in einem Gitter angibt, zum Beispiel (3; 5). Die erste Zahl sagt, wie weit nach rechts (x), die zweite, wie weit nach oben (y).
In einem Satz
Koordinaten sind zwei Zahlen in Klammern, die die genaue Lage eines Punktes in einem Koordinatensystem angeben, zum Beispiel (3; 5). Die erste Zahl (x) sagt, wie weit du nach rechts gehst, die zweite (y), wie weit nach oben.
Erklärt
Was sind Koordinaten?
Stell dir eine Schatzkarte auf kariertem Papier vor. Um einer Freundin zu sagen, wo der Schatz vergraben ist, könntest du sagen: „Geh 4 Kästchen nach rechts und 3 Kästchen nach oben.“ In der Mathematik werden daraus die Koordinaten (4; 3). Viele Schulen schreiben sie auch als (4|3), mit senkrechtem Strich. Gemeint ist dasselbe.
Karte
Schiff
Das Koordinatensystem
Ein Koordinatensystem hat zwei Zahlengeraden, die Achsen:
- die x-Achse geht nach rechts (waagerecht), man nennt sie auch Rechtsachse,
- die y-Achse geht nach oben (senkrecht), man nennt sie auch Hochachse.
Sie kreuzen sich im Ursprung, dem Punkt (0; 0). Jeder Punkt im Gitter hat eine x-Koordinate und eine y-Koordinate, immer in dieser Reihenfolge: (x; y).
Ein beliebter Merktrick: „Erst den Flur entlang, dann die Treppe hinauf.“ Du musst erst hingehen, bevor du hinaufsteigen kannst. Ein anderer: x kommt im Alphabet vor y.
Einen Punkt eintragen
Schritt für Schritt
- Starte im UrsprungLeg deinen Stift auf (0; 0), dort, wo sich die Achsen kreuzen.
- Geh nach rechts oder linksLies die erste Zahl. Bei (4; 3) gehst du 4 nach rechts. Ist die Zahl negativ, gehst du nach links.
- Geh nach oben oder untenLies die zweite Zahl. Bei (4; 3) gehst du 3 nach oben. Ist sie negativ, gehst du nach unten.
- Markiere den PunktZeichne ein kleines Kreuz genau auf den Kreuzungspunkt der Gitterlinien und schreib den Namen daneben, zum Beispiel A(4; 3).
Zum Ablesen eines Punktes gehst du umgekehrt vor: Schau senkrecht nach unten zur x-Achse und waagerecht hinüber zur y-Achse.
Die vier Quadranten
Jede Achse ist eine Zahlengerade und kann deshalb über null hinausgehen. Links vom Ursprung ist x negativ, darunter ist y negativ. Dafür brauchst du negative Zahlen. So teilt sich das Gitter in vier Bereiche, die Quadranten. Man zählt sie oben rechts beginnend gegen den Uhrzeigersinn:
| Quadrant | Lage | Vorzeichen | Beispiel |
|---|---|---|---|
| I | oben rechts | (+; +) | (3; 2) |
| II | oben links | (−; +) | (−3; 2) |
| III | unten links | (−; −) | (−3; −2) |
| IV | unten rechts | (+; −) | (3; −2) |
Punkte, die genau auf einer Achse liegen, gehören zu keinem Quadranten. Auf der x-Achse ist die y-Koordinate immer 0, auf der y-Achse ist die x-Koordinate immer 0.
Formen, Strecken und Bewegungen
Mit Koordinaten kannst du Formen genau beschreiben. Ein Quadrat könnte die Ecken (1; 1), (4; 1), (4; 4) und (1; 4) haben. Seine Seiten sind 4 − 1 = 3 Kästchen lang. Liegen zwei Punkte auf derselben waagerechten Linie, ist ihr Abstand einfach die Differenz der x-Werte.
Verschiebst du jeden Punkt um 2 nach rechts, werden daraus (3; 1), (6; 1), (6; 4), (3; 4). Das ist eine Verschiebung: Zu jedem x-Wert kommt 2 dazu. Spiegelst du an einer Achse, ist das eine Spiegelung (siehe Symmetrie). Bei einer Spiegelung an der x-Achse ändert sich nur das Vorzeichen von y: Aus (3; 2) wird (3; −2).
Für Ältere: Den Mittelpunkt zwischen zwei Punkten findest du, indem du die x-Werte und die y-Werte jeweils mittelst. Zwischen (2; 3) und (6; 7) liegt der Mittelpunkt bei ((2 + 6) : 2; (3 + 7) : 2) = (4; 5). Später zeichnest du in der Algebra Geraden wie y = 2x + 1 anhand ihrer Koordinaten.
Koordinaten im Alltag
Die Idee steckt in vielen Dingen: Auf einem Schachbrett heißt ein Feld e4, bei „Schiffe versenken“ ruft man B7, auf Stadtplänen gibt es Planquadrate, und in Tabellen heißt eine Zelle C3. Auf der ganzen Erde benutzt man Breiten- und Längengrade, siehe Breiten- und Längengrade.
Beispiele
| Punkt | Bedeutung |
|---|---|
| (2; 6) | 2 nach rechts, 6 nach oben |
| (6; 2) | 6 nach rechts, 2 nach oben (ein anderer Punkt) |
| (0; 4) | auf der y-Achse, 4 hoch |
| (−3; 1) | 3 nach links, 1 nach oben |
| (5; −2) | 5 nach rechts, 2 nach unten |
Ein Beispiel: Drei Ecken eines Rechtecks sind (1; 2), (5; 2) und (5; 6). Die vierte muss mit (1; 2) senkrecht und mit (5; 6) waagerecht auf einer Linie liegen, also ist sie (1; 6). Das Rechteck ist 5 − 1 = 4 Kästchen breit und 6 − 2 = 4 Kästchen hoch, es ist also sogar ein Quadrat.
Häufige Fehler
- Die Reihenfolge vertauschen, sodass du (3; 5) bei 5 nach rechts und 3 nach oben einträgst. Tipp: „Erst den Flur entlang, dann die Treppe hinauf.“
- In die Kästchen statt auf die Linien zeichnen. Koordinaten markieren die Stellen, an denen sich Gitterlinien kreuzen.
- Den Ursprung als 1 zählen. Fang bei 0 an zu zählen.
- Das Vorzeichen vergessen bei Punkten links oder unterhalb des Ursprungs.
- Die Achsen ungleichmäßig beschriften. Jedes Kästchen muss auf einer Achse denselben Wert haben, sonst stimmen die Abstände nicht.
Kurzes Quiz
Koordinaten
Teste dein Wissen mit 4 kurzen Fragen.
Frage 1 von 4
Bei den Koordinaten (4; 7): Welche Zahl sagt, wie weit du nach rechts gehst?
Üben
Probier es aus
Übungsaufgaben. Zeichne dir ein Koordinatensystem auf Karopapier. Die Lösungen stehen darunter.
- In welchem Quadranten liegt der Punkt (−4; 3)?
- Du startest bei (2; 1), gehst 3 nach rechts und 4 nach oben. Wo bist du?
- Ein Punkt liegt auf der y-Achse, 6 Einheiten unter dem Ursprung. Wie lauten seine Koordinaten?
- Drei Ecken eines Quadrats sind (1; 1), (5; 1) und (5; 5). Wo liegt die vierte?
- Spiegle den Punkt (3; 2) an der x-Achse.
Lösungen: 1) Im II. Quadranten (oben links). 2) Bei (5; 5). 3) (0; −6). 4) Bei (1; 5). 5) (3; −2).
Koordinaten und Geometrie üben
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Für Erwachsene
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