Was ist die Steigung einer Geraden und wie berechnet man sie?

Stell dir vor, du fährst mit dem Fahrrad einen Berg hinauf. Ein flacher Anstieg geht pro Meter nur wenig nach oben, ein steiler sehr viel. Die Steigung gibt dieser Steilheit eine Zahl. In der Mathematik heißt sie meist m.

Die Regel lautet: Höhenunterschied geteilt durch waagerechten Abstand. Für zwei Punkte P₁(x₁; y₁) und P₂(x₂; y₂) gilt:

m = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁) = Δy : Δx

Diesen Bruch nennt man auch Differenzenquotient. Zeichnest du Δx und Δy an die Gerade, entsteht ein rechtwinkliges Dreieck: das Steigungsdreieck. Zwei Punkte reichen, und es ist egal, welche du nimmst: Eine Gerade ist überall gleich steil. Genau das macht sie zur Geraden.

Es gibt vier Fälle:

• Positive Steigung: Die Gerade steigt von links nach rechts (die Funktion ist steigend).
• Negative Steigung: Die Gerade fällt von links nach rechts. Im Alltag spricht man dann von Gefälle.
• Steigung null: Die Gerade ist waagerecht, sie steigt gar nicht.
• Nicht definiert: Die Gerade ist senkrecht. Dann ist Δx = 0, und durch null darf man nicht teilen. Eine senkrechte Gerade ist auch keine Funktion.

Eine lineare Funktion schreibt man f(x) = mx + b: m ist die Steigung, b der y-Achsenabschnitt (dort schneidet der Graph die y-Achse). In manchen Bundesländern und Büchern steht n statt b, in Österreich oft k und d. Die Idee ist dieselbe. Mehr dazu bei Koordinaten und Gleichungen.

Die Steigung ist außerdem eine Änderungsrate. In einem Weg-Zeit-Diagramm ist sie die Geschwindigkeit, bei Kosten pro Eintrittskarte der Preis einer Karte. Darum steckt sie in vielen Liniendiagrammen.

Bei Straßen gibt man die Steigung in Prozent an: Steigung × 100. 10 % heißt: 10 m Höhe auf 100 m waagerechte Strecke (m = 0,1). Den Steigungswinkel α bekommst du mit tan α = m.

Steigung ablesen im Koordinatensystem: Geh vom einen Punkt waagerecht nach rechts (Δx Kästchen) und dann senkrecht bis zur Geraden (Δy Kästchen, nach unten negativ). Aus der Gleichung: Steht sie als y = mx + b da, ist m die Zahl vor dem x. Sonst erst nach y auflösen. Bei 2x + 3y = 12: 2x abziehen, durch 3 teilen, y = −⅔x + 4, also m = −⅔.

Wie berechnet man die Steigung?#

Mit zwei Punkten der Geraden: m = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁). Liegt die Funktionsgleichung schon als f(x) = mx + b vor, ist die Steigung einfach die Zahl vor dem x.

Wie zeichnet man ein Steigungsdreieck?#

Starte an einem Punkt der Geraden, geh 1 (oder mehrere) Kästchen nach rechts und dann senkrecht bis zur Geraden. Die waagerechte Seite ist Δx, die senkrechte Δy. Bei m = 2/3 gehst du 3 nach rechts und 2 nach oben.

Wie berechnet man die Steigung in Prozent?#

Höhenunterschied durch waagerechte Strecke teilen und mal 100 nehmen. Steigt eine Straße auf 400 m um 24 m, ist m = 24 : 400 = 0,06, also 6 %.

Wie berechnet man den Steigungswinkel?#

Mit dem Tangens: tan α = m, also α = tan⁻¹(m). Bei m = 1 ist α = 45°, bei 10 % (m = 0,1) ist α ≈ 5,7°. 100 % Steigung sind also 45°, nicht senkrecht.

Was ist der Unterschied zwischen Steigung und Gefälle?#

Mathematisch ist ein Gefälle einfach eine negative Steigung: Die Gerade fällt von links nach rechts. Auf Verkehrsschildern steht beides als positive Prozentzahl, das Schild zeigt, ob es bergauf oder bergab geht.

Was heißt Steigung auf Englisch?#

Slope (USA) oder gradient (Großbritannien). In Excel berechnet die Funktion STEIGUNG die Steigung der Ausgleichsgeraden durch Messwerte.