Mathe
Was ist eine Gleichung und wie löst man sie?
Kurze Antwort
Eine Gleichung sagt, dass zwei Dinge gleich sind, mit einem Gleichheitszeichen, zum Beispiel 2x + 1 = 9. Lösen heißt, den Wert des Buchstabens zu finden, der sie wahr macht, hier x = 4.
In einem Satz
Eine Gleichung besteht aus zwei Rechenausdrücken, die durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind, zum Beispiel 2x + 1 = 9. Eine Gleichung lösen heißt, den Wert der Unbekannten (hier x) zu finden, der beide Seiten gleich macht: Hier ist das x = 4.
Erklärt
Was ist eine Gleichung?
Das Gleichheitszeichen bedeutet nicht „jetzt kommt das Ergebnis“. Es bedeutet „ist dasselbe wie“. Bei 3 + 5 = 2 + 6 sind beide Seiten 8 wert, also stimmt die Gleichung.
Ein Rechenausdruck ohne Gleichheitszeichen, wie 2x + 1, heißt Term. Erst wenn zwei Terme mit „=“ verbunden werden, entsteht eine Gleichung. Der Buchstabe steht für eine unbekannte Zahl und heißt Variable.
Stell dir eine Gleichung wie eine altmodische Balkenwaage vor. Was links liegt, wiegt genau so viel wie das, was rechts liegt.
Apfel- Apfel
- Apfel
Karton
Die goldene Regel
In der Algebra ist ein Teil der Gleichung unbekannt. Nimm x + 4 = 11. Um x zu finden, ziehst du auf beiden Seiten 4 ab, damit die Waage im Gleichgewicht bleibt: x = 11 − 4 = 7.
Die goldene Regel: Was du auf einer Seite tust, tust du auch auf der anderen. Solche Schritte heißen Äquivalenzumformungen, weil die Gleichung danach immer noch dieselbe Lösung hat. Jeder Schritt benutzt die Umkehroperation, um abzuschälen, was mit dem Buchstaben gemacht wurde:
| Mit x passiert … | Du rechnest auf beiden Seiten … |
|---|---|
| + 5 | − 5 |
| − 5 | + 5 |
| · 5 | : 5 |
| : 5 | · 5 |
In vielen Schulheften notiert man den Schritt rechts hinter einem senkrechten Strich: 2x + 3 = 13 | − 3.
Gleichungen in zwei Schritten lösen
Schritt für Schritt
- Die Zahl ohne x wegschaffen2x + 3 = 13. Ziehe auf beiden Seiten 3 ab: 2x = 10.
- Den Faktor vor x wegschaffenTeile beide Seiten durch 2: x = 5.
- Die Probe machenSetze 5 in die Ausgangsgleichung ein: 2 · 5 + 3 = 13. ✓
- Die Lösung aufschreibenX = 5, oder als Lösungsmenge L = {5}.
Mache erst das Addieren oder Subtrahieren rückgängig, dann das Multiplizieren oder Dividieren. Das ist die Reihenfolge der Rechenarten rückwärts.
Variablen auf beiden Seiten
Bei 7x − 4 = 3x + 8 bringst du zuerst alle x auf eine Seite. Ziehe auf beiden Seiten 3x ab: 4x − 4 = 8. Addiere 4: 4x = 12. Teile durch 4: x = 3. Probe: 7 · 3 − 4 = 17 und 3 · 3 + 8 = 17. ✓
Gleichungen mit Klammern und Brüchen
- Klammern: 3(x − 2) = 15. Löse zuerst die Klammer auf: 3x − 6 = 15. Dann + 6: 3x = 21. Dann : 3: x = 7. (Du könntest auch zuerst beide Seiten durch 3 teilen: x − 2 = 5, also x = 7.)
- Brüche: x/4 + 3 = 8. Ziehe 3 ab: x/4 = 5. Multipliziere mit 4: x = 20.
- Negative Lösungen: 2x + 9 = 1. Ziehe 9 ab: 2x = −8. Teile durch 2: x = −4. Lösungen dürfen auch negative Zahlen sein.
Keine Lösung oder unendlich viele
Manche Gleichungen sind besonders. Bei 2x + 1 = 2x + 3 bleibt nach dem Abziehen von 2x nur 1 = 3 übrig. Das ist falsch, also gibt es keine Lösung (L = { }). Bei 2(x + 1) = 2x + 2 bleibt 2 = 2 übrig. Das stimmt immer, also ist jede Zahl eine Lösung.
Sachaufgaben als Gleichung
„Ich denke mir eine Zahl, multipliziere sie mit 5 und ziehe 6 ab. Das Ergebnis ist 29.“ Das ist 5n − 6 = 29, also 5n = 35 und n = 7.
„Lisa ist 3 Jahre älter als Tom. Zusammen sind sie 25 Jahre alt.“ Nenne Toms Alter x. Dann ist Lisa x + 3, und x + (x + 3) = 25. Also 2x + 3 = 25, 2x = 22 und x = 11. Tom ist 11, Lisa 14.
Beispiele
| Gleichung | Schritte | Lösung |
|---|---|---|
| x − 9 = 4 | + 9 | x = 13 |
| 6m = 54 | : 6 | m = 9 |
| p/3 = 5 | · 3 | p = 15 |
| 4k + 1 = 25 | − 1, dann : 4 | k = 6 |
| 2(t + 3) = 18 | : 2, dann − 3 | t = 6 |
| 10 − y = 4 | + y, dann − 4 | y = 6 |
| 5a + 7 = 2a + 19 | − 2a, dann − 7, dann : 3 | a = 4 |
Häufige Fehler
- Nur auf einer Seite etwas tun. Tipp: Schreibe die Rechenoperation in jeder Zeile hinter einen Strich, damit du sie auf beide Seiten anwendest.
- Die falsche Umkehroperation benutzen, zum Beispiel 3 abziehen, um „3x“ rückgängig zu machen. Das Malnehmen macht man durch Teilen rückgängig.
- Bei Klammern nur den ersten Teil malnehmen. 3(x − 2) ist 3x − 6, nicht 3x − 2.
- Keine Probe machen. Die Lösung einzusetzen dauert zehn Sekunden und fängt die meisten Fehler ab.
- Das Vorzeichen falsch setzen bei Gleichungen wie 10 − y = 4. Tipp: Addiere zuerst y auf beiden Seiten.
Kurzes Quiz
Gleichungen
Teste dein Wissen mit 5 kurzen Fragen.
Frage 1 von 5
Löse x + 7 = 15.
Üben
Probier es aus
Übungsaufgaben. Die Lösungen stehen darunter.
- Löse x + 12 = 30.
- Löse 5x − 3 = 22.
- Löse 3(x + 4) = 33.
- Löse 6x − 5 = 2x + 11.
- Das Doppelte einer Zahl plus 7 ergibt 31. Wie heißt die Zahl?
Lösungen: 1) x = 18. 2) 5x = 25, also x = 5. 3) x + 4 = 11, also x = 7. 4) 4x − 5 = 11, 4x = 16, also x = 4. 5) 2n + 7 = 31, 2n = 24, also n = 12.
Gleichungen und Algebra üben
Schritt für Schritt üben im ganzen Kurs: Mathe · Klasse 8
Für Erwachsene
Verwandte Themen
Algebra
Algebra ist Mathematik mit Buchstaben wie x oder n, die für unbekannte oder veränderliche Zahlen stehen. Wenn zum Beispiel n + 3 = 10 ist, dann ist n = 7.
Rechenreihenfolge (Punkt vor Strich)
Die Rechenreihenfolge legt fest, in welcher Reihenfolge man rechnet: erst Klammern, dann Potenzen, dann Punktrechnung (· und :), dann Strichrechnung (+ und −).
Zahlenfolgen
Eine Zahlenfolge ist eine Liste von Zahlen oder Figuren, die einer Regel folgt, wie 3, 7, 11, 15 (jedes Mal plus 4). Jeder Eintrag heißt Glied.
Subtraktion (Minus rechnen)
Subtraktion heißt, eine Menge von einer anderen wegzunehmen oder den Unterschied zwischen zwei Zahlen zu finden. Das Zeichen ist −, also 9 − 4 = 5.
Verkettete Funktionen
Bei einer Verkettung wird erst eine Funktion angewendet und dann eine zweite auf das Ergebnis. In f(g(x)), kurz (f ∘ g)(x), ist g die innere und f die äußere Funktion.
Ungleichungen
Eine Ungleichung vergleicht zwei Terme mit <, >, ≤ oder ≥, etwa x + 2 > 5. Man löst sie wie eine Gleichung, dreht aber das Zeichen um, wenn man mit einer negativen Zahl multipliziert oder teilt.