Was sind verkettete Funktionen und wie berechnet man f(g(x))?

Stell dir zwei Funktionsmaschinen hintereinander auf einem Fließband vor. Die erste, g, verdoppelt. Die zweite, f, addiert 3. Du legst eine 4 hinein: g macht daraus 8, und f macht aus der 8 eine 11. Das ganze Fließband ist eine neue Funktion, die Verkettung, und sie macht aus 4 die 11.

Man schreibt f(g(x)) oder (f ∘ g)(x), gesprochen „f nach g“ oder „f verkettet mit g“. Dabei heißt g die innere Funktion und f die äußere Funktion. In vielen Schulbüchern heißen sie auch u und v: f(x) = u(v(x)) mit der äußeren Funktion u und der inneren Funktion v. Wichtig ist immer: Die innere Funktion wirkt zuerst.

Es gibt zwei Arten von Aufgaben.

1. Mit einer Zahl. Rechne von innen nach außen. Ist f(x) = 2x + 1 und g(x) = x², dann heißt f(g(3)): erst g(3) = 9, dann f(9) = 19.

2. Mit einem Term. Setze g(x) für jedes x in f ein, in Klammern. f(g(x)) = f(x²) = 2x² + 1. Probe mit 3: 2 · 9 + 1 = 19, wie oben.

Die Reihenfolge zählt. g(f(x)) heißt: f zuerst. g(2x + 1) = (2x + 1)² = 4x² + 4x + 1, und g(f(3)) = 7² = 49, nicht 19. Meist sind f ∘ g und g ∘ f verschiedene Funktionen.

Achte auf den Definitionsbereich. Was aus der inneren Funktion herauskommt, muss die äußere verarbeiten können. Mit f(x) = √x und g(x) = x − 3 ist f(g(x)) = √(x − 3) nur für x ≥ 3 definiert, weil man aus negativen Zahlen keine reelle Wurzel ziehen kann.

Oft muss man eine Verkettung erkennen: h(x) = (3x + 1)⁵ ist „innen 3x + 1, außen hoch 5“. Genau das brauchst du für die Kettenregel beim Ableiten: äußere Ableitung mal innere Ableitung. Eine Funktion und ihre Umkehrfunktion sind ein besonderes Paar: f(f⁻¹(x)) = x, denn die zweite Maschine macht die erste rückgängig.

Zum Erkennen einer Verkettung fragst du: „Was passiert zuerst mit dem x?“ Bei h(x) = √(x² + 9) wird zuerst quadriert und 9 addiert, also ist g(x) = x² + 9 die innere Funktion, und dann wird die Wurzel gezogen, also ist f(x) = √x die äußere.

Was sind verkettete Funktionen?#

Das sind Funktionen, bei denen erst eine innere Funktion auf x angewendet wird und dann eine äußere Funktion auf das Ergebnis. Man schreibt f(g(x)) oder (f ∘ g)(x).

Wie erkennt man verkettete Funktionen?#

Wenn in einem Term ein ganzer Ausdruck dort steht, wo sonst nur x stünde, zum Beispiel (3x + 1)⁵, sin(2x) oder e^(x²). Der Ausdruck in der Klammer oder im Exponenten ist die innere Funktion.

Wie leitet man verkettete Funktionen ab?#

Mit der Kettenregel: f(x) = u(v(x)) hat die Ableitung f′(x) = u′(v(x)) · v′(x), also äußere Ableitung mal innere Ableitung. Für (3x + 1)⁵ ergibt das 5(3x + 1)⁴ · 3 = 15(3x + 1)⁴.

Wie integriert (leitet man auf) verkettete Funktionen?#

Ist die innere Funktion linear, hilft die lineare Substitution: Stammfunktion der äußeren Funktion, geteilt durch die innere Ableitung. Eine Stammfunktion von (3x + 1)⁵ ist (3x + 1)⁶ : 18, denn 6 · 3 = 18. Bei schwierigeren Verkettungen braucht man die Substitutionsregel.

Wie geht man bei einer Verkettung grafisch vor?#

Lies zuerst den inneren Wert ab: g(a) am Graphen von g. Suche diese Zahl dann auf der x-Achse des Graphen von f und lies f(g(a)) ab. Für den ganzen Graphen wiederholst du das für viele Werte.

Ist f(g(x)) dasselbe wie g(f(x))?#

Fast nie. Mit f(x) = x + 1 und g(x) = x² ist f(g(x)) = x² + 1, aber g(f(x)) = (x + 1)² = x² + 2x + 1.

Was haben Verkettung und Umkehrfunktion miteinander zu tun?#

Verkettet man eine Funktion mit ihrer Umkehrfunktion, kommt x heraus: f(f⁻¹(x)) = x. Und die Umkehrfunktion einer Verkettung kehrt die Reihenfolge um: (f ∘ g)⁻¹ = g⁻¹ ∘ f⁻¹, so wie man erst die Schuhe und dann die Socken auszieht.