Was ist eine Ungleichung und wie löst man sie?

Eine Gleichung sagt, dass zwei Terme gleich sind. Eine Ungleichung sagt, welcher größer ist. Ungleichungen begegnen dir täglich: „Mindestgröße 1,20 m für dieses Fahrgeschäft“, „Tempo 30“, „Kinder unter 6 Jahren frei“.

Es gibt vier wichtige Relationszeichen:

Merkhilfe: Die offene Seite des Zeichens zeigt immer zur größeren Zahl, und der Strich unter ≤ und ≥ bedeutet „oder gleich“.

Ohne Variable, wie 3 < 7, ist eine Ungleichung einfach wahr oder falsch. Mit Variable, wie x + 2 > 5, sucht man die Lösungsmenge. Die Gleichung x + 2 = 5 hat eine Lösung, x = 3. Die Ungleichung x + 2 > 5 hat unendlich viele: 3,1; 4; 10; eine Million … Darum schreibt man die Lösung selbst als Ungleichung: x > 3, oder als Menge L = {x ∈ ℝ | x > 3}, oder als Intervall ]3; ∞[.

Am Zahlenstrahl (der Zahlengeraden) zeigt man die Lösungen so:

• Offener Kreis bei < und >: Die Grenze gehört nicht dazu.
• Ausgefüllter Punkt bei ≤ und ≥: Die Grenze gehört dazu.
• Dann markiert man den Teil der Zahlengeraden, in dem die Lösungen liegen.

Lösen funktioniert fast wie bei Gleichungen, mit Äquivalenzumformungen: Auf beiden Seiten dasselbe addieren, subtrahieren, mit derselben Zahl multiplizieren oder durch sie dividieren. Es gibt aber eine wichtige Zusatzregel, das Inversionsgesetz: Multiplizierst oder dividierst du beide Seiten mit einer negativen Zahl, musst du das Relationszeichen umdrehen. Der Grund: 2 < 5 stimmt. Mal −1 ergibt −2 und −5, und am Zahlenstrahl liegt −2 *rechts* von −5, also −2 > −5. Die Reihenfolge kehrt sich um, also auch das Zeichen. Deshalb verlangen negative Zahlen hier besondere Sorgfalt.

Eine Doppelungleichung wie −2 < x ≤ 4 bedeutet: x liegt zwischen −2 und 4, größer als −2 und höchstens 4. Als Intervall: ]−2; 4].

Bei einer Doppelungleichung wie −3 < 2x + 1 ≤ 9 formst du alle drei Teile gleichzeitig um: −1 ergibt −4 < 2x ≤ 8, dann : 2 ergibt −2 < x ≤ 4.

Was ist eine Ungleichung?#

Zwei Terme, die mit <, >, ≤ oder ≥ statt mit = verbunden sind. x + 1 > 4 heißt „x plus 1 ist größer als 4“ und stimmt für alle x, die größer als 3 sind.

Wie löst man Ungleichungen?#

Wie Gleichungen: Klammern auflösen, x-Terme auf eine Seite bringen, x isolieren. Der einzige Unterschied: Bei Multiplikation oder Division mit einer negativen Zahl wird das Relationszeichen umgedreht. Zum Schluss die Lösungsmenge angeben.

Was ist bei Ungleichungen zu beachten?#

Drei Dinge: das Zeichen umdrehen, wenn du mit einer negativen Zahl multiplizierst oder teilst; die Lösung als Menge oder Intervall angeben, nicht als einzelne Zahl; und bei < und > gehört die Grenze nicht zur Lösung.

Wie löst man Ungleichungen mit Brüchen?#

Steht nur eine Zahl im Nenner, multipliziere mit dem (positiven) Hauptnenner: x/4 + 1 > 3 wird zu x + 4 > 12, also x > 8. Steht x im Nenner, weiß man nicht, ob der Nenner positiv oder negativ ist; dann braucht man eine Fallunterscheidung.

Wie löst man Ungleichungen mit Betrag?#

|x| < 3 bedeutet: x ist weniger als 3 von null entfernt, also −3 < x < 3. |x| > 3 bedeutet x < −3 oder x > 3. Für |x − 1| < 3 löst du −3 < x − 1 < 3 und erhältst −2 < x < 4.

Wie löst man Ungleichungen grafisch?#

Zeichne beide Seiten als Funktionsgraphen und lies ab, wo der eine über dem anderen liegt. Für 2x − 3 > x + 1 schneiden sich die Geraden y = 2x − 3 und y = x + 1 bei x = 4; rechts davon liegt y = 2x − 3 höher, also gilt x > 4.