Was ist eine Funktion in Mathe?

Stell dir eine Funktionsmaschine vor. Du wirfst eine Zahl hinein, die Maschine wendet ihre Regel an, und eine Zahl kommt heraus. Lautet die Regel „verdopple und addiere 3“, wird aus 4 die 11 und aus 10 die 23. Wirfst du morgen wieder 4 hinein, kommt wieder 11 heraus. Genau diese Verlässlichkeit macht eine Funktion aus.

In der Mathematik schreibt man die Regel als Funktionsgleichung: f(x) = 2x + 3 (gelesen „f von x gleich 2x plus 3“). Der Ausdruck 2x + 3 heißt Funktionsterm, x ist die Variable (das Argument), und f(x) ist der Funktionswert. Also f(4) = 2 · 4 + 3 = 11. Achtung: f(x) heißt nicht f mal x. Oft schreibt man auch y = 2x + 3 oder f: x ↦ 2x + 3.

Die wichtigste Regel: Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung, jedem x wird genau ein y zugeordnet. Zwei verschiedene x dürfen denselben Wert haben (bei f(x) = x² liefern 3 und −3 beide 9), aber ein x darf nie zwei Werte bekommen. Denk an einen Getränkeautomaten: Jede Taste liefert ein Getränk. Gäbe Taste B4 mal Wasser und mal Saft, wäre der Automat kaputt, und die „Funktion“ auch.

Eine Funktion kann man auf vier Arten darstellen:

• Funktionsgleichung: f(x) = 2x + 3
• Wertetabelle: x-Werte in einer Zeile, Funktionswerte in der anderen
• Zahlenpaare: (0; 3), (1; 5), (2; 7)
• Graph: Jedes Paar wird als Punkt mit Koordinaten eingezeichnet, x nach rechts, y nach oben

Am Graphen hilft der Senkrechten-Test: Schneidet irgendeine senkrechte Gerade den Graphen mehr als einmal, ist es keine Funktion. Ein Kreis fällt durch, eine nicht senkrechte Gerade besteht.

Die Definitionsmenge D enthält alle x, die man einsetzen darf. Die Wertemenge W enthält alle Funktionswerte, die herauskommen. Bei f(x) = 1/x ist D = ℝ ohne 0 (durch 0 teilt man nicht). Bei f(x) = x² ist W: y ≥ 0, denn ein Quadrat ist nie negativ.

Zuerst lernt man lineare Funktionen f(x) = mx + b kennen, deren Graphen Geraden sind; m ist die Steigung und b der y-Achsenabschnitt. Danach kommen quadratische Funktionen (x², Graph: Parabel), Potenzfunktionen (x³, x⁴, …), Exponentialfunktionen (2ˣ) und trigonometrische Funktionen (sin x). Auch Zahlenfolgen sind Funktionen: Die Bildungsvorschrift ordnet jeder Stelle n ein Glied zu.

Funktion zeichnen: Lege eine Wertetabelle an (zum Beispiel x = −2 bis 3), trage die Punkte ins Koordinatensystem ein und verbinde sie. Bei einer linearen Funktion reichen zwei Punkte und ein Lineal.

Was ist eine Funktion in Mathe, einfach erklärt?#

Eine Regel, die zu jeder Eingabezahl genau eine Ausgabezahl liefert. „Plus 5“ ist eine Funktion: Aus 2 wird 7, aus 10 wird 15, und dieselbe Eingabe ergibt immer dasselbe.

Wie zeichnet man eine Funktion?#

Mit einer Wertetabelle: Setze mehrere x-Werte ein, berechne die Funktionswerte, trage die Punkte (x; f(x)) ins Koordinatensystem ein und verbinde sie zu einer glatten Linie. Bei linearen Funktionen genügen zwei Punkte.

Was ist eine lineare Funktion?#

Eine Funktion der Form f(x) = mx + b. Ihr Graph ist eine Gerade mit der Steigung m, die die y-Achse bei b schneidet. Beispiel: f(x) = 2x + 1 steigt pro Schritt nach rechts um 2.

Wie heißen Funktionen mit x hoch 3?#

Funktionen wie f(x) = x³ heißen Potenzfunktionen dritten Grades oder kubische Funktionen. Ihr Graph steigt von links unten nach rechts oben und geht durch den Ursprung. Ganzrationale Funktionen mit höchster Potenz x³ heißen ebenfalls Funktionen dritten Grades.

Was ist eine Funktionenschar?#

Eine Familie von Funktionen mit einem zusätzlichen Parameter, zum Beispiel fₐ(x) = ax². Für jeden Wert von a erhält man eine eigene Funktion: f₁(x) = x², f₂(x) = 2x² und so weiter. Das ist Stoff der Oberstufe.

Was ist der Unterschied zwischen Funktion und Gleichung?#

Eine Gleichung wie 2x + 3 = 11 hat meist bestimmte Lösungen (hier x = 4). Eine Funktion wie f(x) = 2x + 3 ordnet jedem x einen Wert zu. Die Gleichung f(x) = 11 fragt: An welcher Stelle hat die Funktion den Wert 11?