Wie berechnet man die Nullstellen und den y-Achsenabschnitt einer Funktion?

Zeichne einen Graphen in ein Koordinatensystem. Auf seinem Weg schneidet er meistens beide Achsen. Diese Schnittpunkte mit den Achsen trägst du beim Skizzieren oft als Erstes ein.

Alles beruht auf einer Tatsache: Jeder Punkt auf der y-Achse hat x = 0, jeder Punkt auf der x-Achse hat y = 0. Also:

• y-Achsenabschnitt: Setze x = 0 ein und berechne f(0). Der Schnittpunkt ist Sᵧ(0|f(0)).
• Nullstellen: Setze f(x) = 0 und löse nach x auf. Jede Lösung gibt einen Schnittpunkt N(x|0).

Lineare Funktionen. Bei f(x) = mx + b ist b der y-Achsenabschnitt und m die Steigung. (Manche Bücher schreiben f(x) = mx + n oder mx + t; gemeint ist dasselbe.) Die Nullstelle bekommst du aus mx + b = 0: x = −b/m, falls m ≠ 0. Bei f(x) = 2x − 6 ist der y-Achsenabschnitt −6, also Sᵧ(0|−6), und die Nullstelle x = 6/2 = 3, also N(3|0).

Steht eine Gerade in der Form Ax + By = C, deckst du jeweils eine Variable ab. Bei 2x + 3y = 12: Mit x = 0 ist 3y = 12, also (0|4); mit y = 0 ist 2x = 12, also (6|0). Zwei Sonderfälle: Eine waagerechte Gerade wie y = 4 hat keine Nullstelle, und eine senkrechte Gerade wie x = 3 schneidet die y-Achse nie (sie ist auch kein Funktionsgraph).

Quadratische Funktionen. Bei f(x) = ax² + bx + c ist der y-Achsenabschnitt immer c. Die Nullstellen sind die Lösungen von ax² + bx + c = 0. Du findest sie durch Ausklammern, Wurzelziehen, Faktorisieren oder mit der pq-Formel oder Mitternachtsformel. Eine Parabel hat zwei, eine oder keine Nullstelle. In der Scheitelpunktform setzt du null und ziehst die Wurzel: Bei f(x) = (x − 1)² − 9 ist (x − 1)² = 9, also x − 1 = ±3 und x = 4 oder x = −2. Fehlt c, klammerst du aus: x² − 4x = x(x − 4), Nullstellen 0 und 4.

Andere Funktionen. Die Regel bleibt gleich. Bei einer gebrochenrationalen Funktion wie f(x) = (x − 2)/(x + 1) liegt die Nullstelle dort, wo der Zähler null wird (x = 2), solange der Nenner dort nicht null ist. Bei ganzrationalen Funktionen höheren Grades wie x³ − 4x klammerst du aus: x(x² − 4) = 0 ergibt 0, 2 und −2. Eine Funktion kann viele Nullstellen haben, aber höchstens einen y-Achsenabschnitt, denn zu x = 0 gehört nur ein y-Wert.

Was sie bedeuten. In Sachaufgaben ist der y-Achsenabschnitt meist der Startwert: die Grundgebühr eines Taxis, das Anfangsguthaben, der volle Akku. Die Nullstelle zeigt oft, wann etwas aufgebraucht ist oder landet: der leere Tank, der Ball auf dem Boden.

Wie berechnet man den y-Achsenabschnitt?#

Setze x = 0 in die Funktion ein: Der y-Achsenabschnitt ist f(0). Bei einer linearen Funktion f(x) = mx + b kannst du ihn direkt als b ablesen, bei einer Parabel ax² + bx + c als c.

Wie liest man den y-Achsenabschnitt ab?#

Im Graphen ist es die Höhe, in der die Kurve die y-Achse kreuzt. In der Funktionsgleichung ist es die Zahl ohne x, wenn die Gleichung nach y aufgelöst ist.

Wie berechnet man Nullstellen einer quadratischen Funktion?#

Setze f(x) = 0. Fehlt c, klammere x aus; fehlt b, ziehe die Wurzel; sonst bring die Gleichung in Normalform und nimm die pq-Formel (oder die Mitternachtsformel). Die Diskriminante sagt dir vorher, ob es zwei, eine oder keine Nullstelle gibt.

Was bedeutet „Nullstellen berechnen“?#

Es bedeutet, alle x-Werte zu finden, für die der Funktionswert null ist. Das sind die Stellen, an denen der Graph die x-Achse schneidet oder berührt.

Wie bestimmt man den y-Achsenabschnitt aus zwei Punkten?#

Berechne die Steigung m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). Setz dann einen der Punkte in y = mx + b ein und löse nach b auf (Punktprobe).

Wie heißt y-Achsenabschnitt auf Englisch?#

Auf Englisch heißt er „y-intercept“, die Nullstellen heißen „roots“ oder „zeros“, und der Schnittpunkt mit der x-Achse „x-intercept“.