Wie funktionieren die Mitternachtsformel und die pq-Formel, und welche ist besser?

Jede quadratische Gleichung lässt sich als ax² + bx + c = 0 schreiben (mit a ≠ 0). Dafür gibt es die Mitternachtsformel, auch abc-Formel genannt, in Österreich die „große Lösungsformel“:

x₁,₂ = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a

Steht vor x² keine Zahl (also a = 1), hat die Gleichung die Normalform x² + px + q = 0. Dafür gibt es die pq-Formel, in Österreich die „kleine Lösungsformel“:

x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q)

Das ± bedeutet: Du rechnest zweimal, einmal mit Plus und einmal mit Minus, und bekommst x₁ und x₂. Auf der Seite zu quadratischen Gleichungen siehst du, wann Faktorisieren oder Wurzelziehen schneller ist; hier geht es um die beiden Formeln selbst.

Wie hängen die beiden zusammen? Teilst du ax² + bx + c = 0 durch a, erhältst du die Normalform mit p = b/a und q = c/a. Setzt du das in die pq-Formel ein, kommt genau die Mitternachtsformel heraus. Es ist also dieselbe Formel in zwei Schreibweisen.

Die Diskriminante. Der Term unter der Wurzel heißt Diskriminante: bei der Mitternachtsformel D = b² − 4ac, bei der pq-Formel D = (p/2)² − q. Er entscheidet, wie viele reelle Lösungen es gibt:

• D > 0: zwei verschiedene Lösungen. Die Parabel schneidet die x-Achse zweimal. Ist D eine Quadratzahl (1, 4, 9, 16 …) und sind a, b, c ganze Zahlen, sind die Lösungen ganze Zahlen oder Brüche; sonst bleibt eine Wurzel stehen, zum Beispiel 2 ± √3.
• D = 0: genau eine (doppelte) Lösung, x = −b/(2a) bzw. x = −p/2. Die Parabel berührt die x-Achse in ihrem Scheitelpunkt.
• D < 0: keine reelle Lösung, denn aus einer negativen Zahl kann man keine reelle Quadratwurzel ziehen. Die Parabel trifft die x-Achse nicht.

Warum −b/(2a) bzw. −p/2 vorne steht. Schreib die Mitternachtsformel als x = −b/(2a) ± √D/(2a). Der erste Teil ist die x-Koordinate des Scheitelpunkts, die Mitte der Parabel. Der zweite Teil ist der Abstand jeder Lösung von dieser Mitte. Deshalb liegen die beiden Nullstellen immer symmetrisch zum Scheitelpunkt.

Herleitung. Beide Formeln entstehen durch quadratische Ergänzung. Aus x² + px + q = 0 wird x² + px + (p/2)² = (p/2)² − q, also (x + p/2)² = (p/2)² − q. Wurzelziehen mit ± und Umstellen ergibt x = −p/2 ± √((p/2)² − q).

Satz von Vieta. Für die Lösungen gilt x₁ + x₂ = −b/a und x₁ · x₂ = c/a, in der Normalform also x₁ + x₂ = −p und x₁ · x₂ = q. Damit kannst du jedes Ergebnis schnell prüfen.

Was ist der Unterschied zwischen Mitternachtsformel und pq-Formel?#

Die Mitternachtsformel funktioniert direkt für ax² + bx + c = 0. Die pq-Formel braucht die Normalform x² + px + q = 0, also a = 1. Teilst du durch a, wird aus der einen die andere; die Lösungen sind immer dieselben.

Was ist besser: pq-Formel oder Mitternachtsformel?#

Keine ist „besser“. Ist a = 1, ist die pq-Formel meist kürzer. Ist a eine andere Zahl, vor allem wenn beim Teilen Brüche entstehen, ist die Mitternachtsformel bequemer. An vielen Schulen lernt man je nach Bundesland nur eine davon; nimm die, die du sicher kannst.

Was sind a, b und c bei der Mitternachtsformel?#

a ist die Zahl vor x², b die Zahl vor x und c die Zahl ohne x, jeweils mit Vorzeichen. Bei 3x² − 5x + 2 = 0 ist a = 3, b = −5 und c = 2.

Was sind p und q bei der pq-Formel?#

In der Normalform x² + px + q = 0 ist p die Zahl vor x und q die Zahl ohne x, mit Vorzeichen. Bei x² − 6x + 5 = 0 ist p = −6 und q = 5, also x = 3 ± √(9 − 5) = 3 ± 2.

Wie rechnet man die pq-Formel ohne Taschenrechner?#

Wähle Aufgaben, bei denen (p/2)² − q eine Quadratzahl ist, und rechne mit Brüchen statt Dezimalzahlen. Bei x² + 5x + 4 = 0 ist (5/2)² − 4 = 25/4 − 16/4 = 9/4, und √(9/4) = 3/2. Also x = −5/2 ± 3/2, das ergibt −1 und −4.

Wie heißt die Mitternachtsformel auf Englisch?#

Auf Englisch heißt sie „quadratic formula“, die Diskriminante „discriminant“. In Brasilien sagt man „fórmula de Bhaskara“, in Italien „formula risolutiva“.