Mathe
Was sind Kubikzahlen und Kubikwurzeln, und wie berechnet man eine Kubikwurzel?
Kurze Antwort
Eine Kubikzahl entsteht, wenn man eine Zahl dreimal mit sich selbst malnimmt, etwa 4³ = 4 · 4 · 4 = 64. Die Kubikwurzel macht das rückgängig, also ∛64 = 4.
In einem Satz
Eine Kubikzahl ist das Ergebnis, wenn man eine ganze Zahl dreimal mit sich selbst malnimmt, und die Kubikwurzel führt zurück zur Ausgangszahl.
Erklärt
Bau einen Würfel aus Bausteinen. Ist er 2 Steine lang, 2 breit und 2 hoch, brauchst du 2 · 2 · 2 = 8 Steine. Ein Würfel mit 3 Steinen Kantenlänge braucht 3 · 3 · 3 = 27. Daher kommt der Name: Kubikzahlen (von lateinisch cubus, Würfel) sind die Anzahlen von Steinen, die genau einen Würfel ergeben, so wie Quadratzahlen genau ein Quadrat ergeben.
Bauklötze
Karton
Lineal
Man schreibt die dritte Potenz mit einer kleinen 3 als Hochzahl: n³ = n · n · n, gelesen „n hoch 3“. Also ist 5³ = 5 · 5 · 5 = 125. Das ist auch das Volumen eines Würfels mit der Kantenlänge n: Ein Würfel mit 5 cm Kantenlänge hat 125 cm³.
Die Kubikwurzel (auch dritte Wurzel) geht den umgekehrten Weg. Sie beantwortet die Frage: „Welche Zahl hoch 3 ergibt diese Zahl?“ Ihr Zeichen ist das Wurzelzeichen mit einer kleinen 3, dem Wurzelexponenten: ∛.
Wenn n³ = x ist, dann ist ∛x = n. Zum Beispiel ist 4³ = 64, also ∛64 = 4.
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| n³ | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 | 1.000 |
| n | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| n³ | 1.331 | 1.728 | 2.197 | 2.744 | 3.375 | 4.096 | 4.913 | 5.832 | 6.859 | 8.000 |
Ein paar Dinge unterscheiden Kubikzahlen von Quadratzahlen:
- Negative Zahlen. Drei Minuszeichen ergeben zusammen ein Minus, also (−3)³ = −27. Die Gleichung x³ = −27 hat deshalb die Lösung x = −3, während x² = −27 keine Lösung hat. Achtung: In vielen deutschen Schulbüchern ist die Wurzel nur für Zahlen ab 0 definiert. Dann schreibt man nicht ∛(−27), sondern sagt: x³ = −27 hat die Lösung x = −∛27 = −3.
- Nur eine Lösung. x² = 25 hat zwei Lösungen, 5 und −5, aber x³ = 125 nur eine, nämlich 5.
- Brüche und Dezimalzahlen. (1/2)³ = 1/8 und 0,2³ = 0,008. Eine Zahl zwischen 0 und 1 wird beim Hochnehmen mit 3 kleiner.
Die meisten Zahlen sind keine Kubikzahlen, ihre Kubikwurzel geht also nicht glatt auf: ∛3 ≈ 1,442 und ∛50 ≈ 3,684. Abschätzen geht immer: 50 liegt zwischen 27 (3³) und 64 (4³), also liegt ∛50 zwischen 3 und 4. Kubikzahlen sind ein Spezialfall der Potenzen, und die Kubikwurzel ist die Schwester der Quadratwurzel.
Beispiele
- 7³ = 7 · 7 · 7 = 49 · 7 = 343
- (−4)³ = (−4) · (−4) · (−4) = 16 · (−4) = −64
- ∛216 = 6, weil 6 · 6 · 6 = 216
- ∛1.000 = 10 und ∛1.000.000 = 100
- (2/3)³ = (2 · 2 · 2) : (3 · 3 · 3) = 8/27
- Zwei schöne Muster: 1 = 1³, 3 + 5 = 8 = 2³, 7 + 9 + 11 = 27 = 3³ (Gruppen ungerader Zahlen), und 1³ + 2³ + 3³ = 36 = (1 + 2 + 3)².
Häufige Fehler
- Mal 3 statt hoch 3. 4³ ist 4 · 4 · 4 = 64, nicht 4 · 3 = 12.
- Nach zwei Faktoren aufhören. 5 · 5 = 25 ist 5², nicht 5³. Tipp: alle drei Fünfen hinschreiben.
- Denken, x³ = −8 habe keine Lösung. Die Lösung ist −2, denn (−2)³ = −8.
- Eine Summe stückweise hoch 3 nehmen. (2 + 3)³ = 5³ = 125, aber 2³ + 3³ = 8 + 27 = 35. Erst addieren, dann potenzieren.
Schritt für Schritt
Schritt für Schritt
- Auf die letzte Ziffer schauenJede Ziffer von 0 bis 9 hat hoch 3 eine andere Endziffer: 1→1, 2→8, 3→7, 4→4, 5→5, 6→6, 7→3, 8→2, 9→9, 0→0. Die Endziffer einer Kubikzahl verrät also die Endziffer ihrer Wurzel.
- Die letzten drei Ziffern abdeckenSchau, was übrig bleibt. Bei 13.824 bleibt 13.
- Die Zehnerziffer findenSuche die größte Kubikzahl, die nicht größer ist als der Rest: 2³ = 8 ≤ 13 < 27, also ist die Zehnerziffer 2.
- Zusammensetzen13.824 endet auf 4, also endet die Wurzel auf 4: ∛13.824 = 24.
- Probe24 · 24 · 24 = 576 · 24 = 13.824.
Dieser Trick klappt nur bei Kubikzahlen (bis 6 Stellen). Bei anderen Zahlen schätzt du zwischen zwei Kubikzahlen ab oder nimmst den Taschenrechner: Drücke die Taste ∛ (oft über SHIFT) oder die Taste für die x-te Wurzel, oder rechne die Zahl hoch (1 : 3). In einer Tabellenkalkulation macht =POTENZ(A1;1/3) dasselbe.
Übungsaufgaben
Kubikzahlen und Kubikwurzeln
Löse jede Aufgabe und prüfe dann deine Antwort.
- Berechne 3³.
Lösung zeigen
3 · 3 · 3 = 27 - Berechne 6³.
Lösung zeigen
6 · 6 · 6 = 36 · 6 = 216 - Berechne 10³.
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1.000 - Berechne ∛8.
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2 · 2 · 2 = 8, also 2 - Berechne ∛343.
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7 · 7 · 7 = 343, also 7 - Berechne ∛729.
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9 · 9 · 9 = 729, also 9 - Berechne (−5)³.
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(−5) · (−5) · (−5) = 25 · (−5) = −125 - Löse x³ = −64.
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(−4)³ = −64, also x = −4 - Berechne 0,2³.
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0,2 · 0,2 · 0,2 = 0,008 - Berechne (2/3)³.
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8 : 27 = 8/27 - Ist 100 eine Kubikzahl?
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4³ = 64 und 5³ = 125, also nein. - Zwischen welchen zwei ganzen Zahlen liegt ∛50?
Lösung zeigen
3³ = 27 und 4³ = 64, also zwischen 3 und 4 (etwa 3,68). - Berechne ∛1.728.
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12 · 12 · 12 = 1.728, also 12 - Berechne ∛4.096.
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16 · 16 · 16 = 4.096, also 16 - Berechne ∛13.824 ohne Taschenrechner.
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Endet auf 4, also endet die Wurzel auf 4; 13 liegt zwischen 2³ und 3³, also 24. - Was ist größer, 2³ + 3³ oder (2 + 3)³?
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8 + 27 = 35 und 5³ = 125, also ist (2 + 3)³ größer.
Sachaufgaben
Würfel im Alltag
Löse jede Aufgabe und prüfe dann deine Antwort.
- Eine würfelförmige Schachtel hat ein Volumen von 1.000 cm³. Wie lang ist jede Kante?
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∛1.000 = 10 cm - Ein großer Würfel wird aus kleinen Würfeln gebaut, 3 entlang jeder Kante. Wie viele kleine Würfel braucht man?
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3³ = 27 - Ein würfelförmiger Wassertank hat 2 m Kantenlänge. Wie viele Liter passen hinein? (1 m³ = 1.000 Liter)
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2³ = 8 m³, also 8.000 Liter - Ein Eiswürfel hat ein Volumen von 27 cm³. Wie lang ist jede Kante?
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∛27 = 3 cm - Ein Holzwürfel mit 5 cm Kantenlänge wird außen angemalt und dann in 1-cm-Würfel zersägt. Wie viele kleine Würfel haben gar keine Farbe?
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Die ungefärbten bilden innen einen 3 · 3 · 3-Würfel: 27 - Die Kantenlänge eines Würfels verdoppelt sich von 3 cm auf 6 cm. Wie viel Mal größer wird das Volumen?
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216 : 27 = 8-mal (2³ = 8)
Häufige Fragen
Was sind die Kubikzahlen bis 10?
1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729 und 1.000. Die Tabellen oben gehen bis 20³ = 8.000.
Was ist die Kubikwurzel aus 8, 27, 64 und 125?
∛8 = 2, ∛27 = 3, ∛64 = 4 und ∛125 = 5. Jede davon hoch 3 ergibt wieder die Zahl.
Wie funktionieren Kubikwurzeln?
Die Kubikwurzel sucht die Zahl, die dreimal mit sich selbst malgenommen die gegebene Zahl ergibt. Sie ist die Umkehrung von „hoch 3“: ∛(5³) = 5.
Wie berechnet man Kubikwurzeln im Kopf?
Bei Kubikzahlen mit dem Endziffern-Trick: Die Endziffer verrät die Einerziffer der Wurzel, die Zahl ohne die letzten drei Ziffern die Zehnerziffer. Sonst zwischen zwei Kubikzahlen abschätzen.
Wie gibt man die Kubikwurzel in den Taschenrechner ein?
Viele Schulrechner haben eine Taste ∛, oft als Zweitfunktion über SHIFT. Ohne diese Taste tippst du die Zahl, dann die Potenztaste und (1 : 3).
Was ist die Kubikwurzel aus 9 und aus 1?
∛1 = 1, denn 1³ = 1. ∛9 geht nicht glatt auf: ∛9 ≈ 2,080, denn 9 liegt zwischen 2³ = 8 und 3³ = 27, ganz nah an 8.
Welche Zahlen sind Quadratzahl und Kubikzahl zugleich?
1, 64, 729 und 4.096. Es sind die sechsten Potenzen 1⁶, 2⁶, 3⁶ und 4⁶. Zum Beispiel ist 64 = 8² = 4³.
Kurzes Quiz
Kubikzahlen und Kubikwurzel
Teste dein Wissen mit 4 kurzen Fragen.
Frage 1 von 4
Wie viel ist 4³?
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Arbeitsblätter zu Potenzen und Wurzeln
Schritt für Schritt üben im ganzen Kurs: Mathe · Klasse 8
Für Erwachsene
Verwandte Themen
Quadratzahlen
Eine Quadratzahl entsteht, wenn du eine ganze Zahl mit sich selbst malnimmst, wie 4 · 4 = 16. Die ersten Quadratzahlen sind 1, 4, 9, 16, 25 und 36.
Quadratwurzeln
Die Quadratwurzel einer Zahl ist der Wert, der mit sich selbst malgenommen diese Zahl ergibt. Die Wurzel aus 25 ist 5, weil 5 · 5 = 25 ist. Das Zeichen ist √.
Potenzen
Eine Potenz hat eine kleine hochgestellte Zahl (den Exponenten), die zeigt, wie oft man eine Zahl mit sich selbst malnimmt. Also ist 2⁴ gleich 2 · 2 · 2 · 2 = 16.
Volumen
Das Volumen ist der Raum, den ein 3D-Körper einnimmt, gemessen in Kubikeinheiten wie cm³ oder m³. Ein Quader mit 4 cm, 3 cm und 2 cm Kantenlänge hat ein Volumen von 24 cm³.
ggT und kgV
Der ggT ist die größte Zahl, die in zwei Zahlen aufgeht. Das kgV ist die kleinste Zahl, in der beide aufgehen. Bei 12 und 18 ist der ggT 6 und das kgV 36.
Logarithmen
Ein Logarithmus beantwortet die Frage „Welcher Exponent?“. log₂ 8 = 3, weil 2³ = 8. Logarithmen machen Potenzen rückgängig, und ihre Gesetze machen aus Malnehmen Addieren.