Mathe
Was sind Potenzen und Exponenten?
Kurze Antwort
Eine Potenz hat eine kleine hochgestellte Zahl (den Exponenten), die zeigt, wie oft man eine Zahl mit sich selbst malnimmt. Also ist 2⁴ gleich 2 · 2 · 2 · 2 = 16.
In einem Satz
Eine Potenz ist eine Kurzschreibweise für das wiederholte Malnehmen derselben Zahl: Der Exponent (die Hochzahl) gibt an, wie oft die Basis (die Grundzahl) mit sich selbst multipliziert wird, also ist 5³ = 5 · 5 · 5 = 125.
Erklärt
Was ist eine Potenz?
3 · 3 · 3 · 3 · 3 zu schreiben ist mühsam. Stattdessen schreiben wir 3⁵ und lesen "drei hoch fünf". Die drei Teile haben Namen:
| Begriff | In 3⁵ | Bedeutung |
|---|---|---|
| Basis (Grundzahl) | 3 | die Zahl, die malgenommen wird |
| Exponent (Hochzahl) | 5 | wie oft die Basis als Faktor vorkommt |
| Potenz | 3⁵ | der ganze Ausdruck |
| Potenzwert | 243 | das Ergebnis |
Im Englischen sagt man in den USA exponent, in Großbritannien meist index (Mehrzahl indices), und power für die ganze Potenz.
- 4² = 4 · 4 = 16 ("vier hoch zwei" oder "vier zum Quadrat", siehe Quadratzahlen)
- 4³ = 4 · 4 · 4 = 64 ("vier hoch drei")
- 4⁴ = 4 · 4 · 4 · 4 = 256 ("vier hoch vier")
Die Umkehrung des Quadrierens ist das Wurzelziehen: Weil 4² = 16 ist, ist √16 = 4. Mehr dazu bei den Quadratwurzeln.
Rakete
Planet
Potenzen wachsen schnell
Falte ein Blatt Papier in der Mitte, dann ist es 2 Lagen dick. Falte noch einmal: 4. Nach 10 Faltungen wären es 2¹⁰ = 1.024 Lagen. Bei einem Blatt von 0,1 mm Dicke ist der Stapel dann schon gut 10 cm hoch. Dieses Verdoppeln ist auch der Grund, warum Computer in Zweierpotenzen zählen (1 Kilobyte waren traditionell 2¹⁰ Byte).
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2ⁿ | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1.024 |
Zehnerpotenzen
Zehnerpotenzen hängen mit dem Stellenwert zusammen. Der Exponent zählt die Nullen: 10² = 100, 10³ = 1.000, 10⁶ = 1.000.000 (eine Million). Mit negativen Exponenten werden die Zahlen klein: 10⁻¹ = 0,1 und 10⁻³ = 0,001. So schreibt man sehr große und sehr kleine Zahlen kurz, siehe wissenschaftliche Schreibweise.
Die Potenzgesetze
Die Gesetze gelten, wenn die Basis gleich ist (oder beim letzten Gesetz der Exponent):
| Regel | Beispiel |
|---|---|
| Malnehmen: Exponenten addieren | 2³ · 2⁴ = 2⁷ |
| Teilen: Exponenten subtrahieren | 5⁶ : 5² = 5⁴ |
| Potenz einer Potenz: Exponenten multiplizieren | (3²)³ = 3⁶ |
| Gleicher Exponent: Basen multiplizieren | 2³ · 5³ = 10³ = 1.000 |
| Exponent null | 9⁰ = 1 |
| Negativer Exponent: Kehrwert | 2⁻³ = 1/2³ = 1/8 |
Warum stimmt das erste Gesetz? Schreib es aus: 2³ · 2⁴ = (2 · 2 · 2) · (2 · 2 · 2 · 2). Das sind 3 + 4 = 7 Zweien, also 2⁷.
Warum ist 9⁰ = 1? Sieh dir das Muster an: 9³ = 729, 9² = 81, 9¹ = 9. Bei jedem Schritt teilst du durch 9. Ein Schritt weiter ergibt 9 : 9 = 1. Noch ein Schritt ergibt 9⁻¹ = 1/9. (Nur 0⁰ ist in der Schulmathematik nicht festgelegt.)
Potenzen in der Rechenreihenfolge
Potenzen kommen früh in der Rechenreihenfolge: Klammern zuerst, dann Potenzen, dann Punkt- vor Strichrechnung. In 2 + 3² rechnest du zuerst die Potenz, das gibt 2 + 9 = 11. Auf dem Taschenrechner findest du für Potenzen meist eine Taste wie x^y oder ^.
Beispiele
- 6² = 36
- 2³ = 8
- 1⁵⁰ = 1 (eins mal eins bleibt immer eins)
- (−2)³ = −8, aber (−2)⁴ = 16
- 3 · 10⁵ = 300.000
- x² · x³ = x⁵
- 2⁸ : 2⁵ = 2³ = 8
Schritt für Schritt: Vereinfache (2⁴ · 2²) : 2³.
Schritt für Schritt
- Klammer zuerst2⁴ · 2² = 2⁴⁺² = 2⁶.
- Dann teilen2⁶ : 2³ = 2⁶⁻³ = 2³.
- Ausrechnen2³ = 2 · 2 · 2 = 8.
Das Schachbrett: Eine alte Geschichte erzählt von Reiskörnern auf einem Schachbrett: 1 Korn auf dem ersten Feld, 2 auf dem zweiten, 4 auf dem dritten und so weiter. Auf dem 64. Feld lägen 2⁶³ Körner, das sind etwa 9,2 · 10¹⁸. Das wäre weit mehr Reis, als heute auf der ganzen Welt in hundert Jahren geerntet wird.
Häufige Fehler
- Die Basis mit dem Exponenten malnehmen. 3⁴ ist 81 und nicht 12.
- Exponenten bei verschiedenen Basen addieren. 2³ · 5² lässt sich nicht zu einer Potenz zusammenfassen. Rechne aus: 8 · 25 = 200.
- Beim Malnehmen die Exponenten multiplizieren. 2³ · 2⁴ ist 2⁷, nicht 2¹².
- Eine Summe gliedweise quadrieren. (2 + 3)² = 5² = 25, aber 2² + 3² = 13. Das ist nicht dasselbe.
- Bei negativen Zahlen die Klammern vergessen. −3² bedeutet −(3²) = −9, aber (−3)² = 9.
- Denken, ein negativer Exponent mache die Zahl negativ. 2⁻¹ ist 1/2, also positiv.
Kurzes Quiz
Potenzen
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Frage 1 von 5
Was ist 2⁵?
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Übungsaufgaben. Die Lösungen stehen darunter.
- Berechne 3⁴.
- Vereinfache 2⁵ · 2³ und rechne aus.
- Schreibe 10⁻² als Dezimalzahl.
- Vereinfache (5²)³ und rechne aus.
- Berechne 2 + 3 · 2².
Lösungen: 1) 3 · 3 · 3 · 3 = 81. 2) 2⁸ = 256. 3) 0,01. 4) 5⁶ = 15.625. 5) Zuerst die Potenz: 2² = 4, dann 3 · 4 = 12, dann 2 + 12 = 14.
Übungen zu Potenzen
Schritt für Schritt üben im ganzen Kurs: Mathe · Klasse 9
Für Erwachsene
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