Mathe
Was sind Potenzen und Exponenten?
Kurze Antwort
Eine Potenz hat eine kleine hochgestellte Zahl (den Exponenten), die zeigt, wie oft man eine Zahl mit sich selbst malnimmt. Also ist 2⁴ gleich 2 · 2 · 2 · 2 = 16.
In einem Satz
Eine Potenz sagt dir, wie viele Exemplare einer Zahl du malnehmen musst, also ist 5³ = 5 · 5 · 5 = 125.
Erklärt
3 · 3 · 3 · 3 · 3 zu schreiben ist mühsam. Stattdessen schreiben wir 3⁵. Die große Zahl, 3, ist die Basis (Grundzahl). Die kleine hochgestellte Zahl, 5, ist der Exponent (Hochzahl). Das Ganze, 3⁵, heißt Potenz. Im Englischen sagt man in den USA exponent, in Großbritannien meist index (Mehrzahl indices), und power für die ganze Potenz.
- 4² = 4 · 4 = 16 ("vier hoch zwei" oder "vier zum Quadrat", siehe Quadratzahlen)
- 4³ = 4 · 4 · 4 = 64 ("vier hoch drei")
- 4⁴ = 256 ("vier hoch vier")
Rakete
Planet
Potenzen wachsen unglaublich schnell. Falte ein Blatt Papier in der Mitte, dann ist es 2 Lagen dick. Falte noch einmal: 4. Nach 10 Faltungen wären es 2¹⁰ = 1.024 Lagen. Dieses Verdoppeln ist der Grund, warum Computer in Zweierpotenzen zählen (1 Kilobyte waren traditionell 2¹⁰ Byte).
Zehnerpotenzen hängen mit dem Stellenwert zusammen: 10² = 100, 10³ = 1.000, 10⁶ = 1.000.000.
Potenzgesetze (für dieselbe Basis):
| Regel | Beispiel |
|---|---|
| Malnehmen: Exponenten addieren | 2³ · 2⁴ = 2⁷ |
| Teilen: Exponenten subtrahieren | 5⁶ : 5² = 5⁴ |
| Potenz einer Potenz: Exponenten multiplizieren | (3²)³ = 3⁶ |
| Exponent null | 9⁰ = 1 |
| Negativer Exponent: Kehrwert | 2⁻³ = 1/2³ = 1/8 |
Warum ist 9⁰ = 1? Sieh dir das Muster an: 9³ = 729, 9² = 81, 9¹ = 9. Bei jedem Schritt teilst du durch 9. Ein Schritt weiter ergibt 9 : 9 = 1.
Potenzen kommen früh in der Rechenreihenfolge: In 2 + 3² rechnest du zuerst die Potenz, das gibt 2 + 9 = 11.
Beispiele
- 6² = 36
- 2³ = 8
- 1⁵⁰ = 1
- (−2)³ = −8
- 3 · 10⁵ = 300.000
- x² · x³ = x⁵
Häufige Fehler
- Die Basis mit dem Exponenten malnehmen. 3⁴ ist 81 und nicht 12.
- Exponenten bei verschiedenen Basen addieren. 2³ · 5² lässt sich nicht zu einer Potenz zusammenfassen.
- Bei negativen Zahlen die Klammern vergessen. −3² bedeutet −(3²) = −9, aber (−3)² = 9. Klammern sind wichtig.
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