Mathe
Wie vereinfacht man Wurzelterme?
Kurze Antwort
Ein Wurzelterm enthält Wurzeln wie √2 oder ∛5, die nicht aufgehen. Man lässt sie als Wurzel stehen, damit alles exakt bleibt, und vereinfacht mit √(a · b) = √a · √b: √12 = 2√3.
In einem Satz
Ein Wurzelterm enthält Wurzeln wie √2, die nicht aufgehen; man lässt sie als Wurzel stehen, damit das Ergebnis exakt bleibt.
Erklärt
Manche Quadratwurzeln gehen auf: √9 = 3 und √25 = 5. Die meisten nicht. √2 = 1,41421356…, und die Ziffern laufen endlos weiter, ohne sich zu wiederholen: √2 ist eine irrationale Zahl. Wenn man solche Zahlen mit dem Wurzelzeichen schreibt, statt sie zu runden, rechnet man mit Wurzeltermen. In ∛5 heißt die Zahl unter der Wurzel (5) Radikand und die kleine Zahl (3) Wurzelexponent. Steht keiner da, ist es eine Quadratwurzel.
Im Englischen heißen solche nicht aufgehenden Wurzeln surds (Großbritannien) oder radicals (USA). Die Regeln sind überall dieselben.
Lineal
Bleistift
Tafel
Warum nicht einfach den Taschenrechner nehmen? Weil eine Dezimalzahl nur ein Näherungswert ist, die Wurzel aber exakt. Hat ein Quadrat die Seitenlänge 1 m, dann ist die Diagonale nach dem Satz des Pythagoras √(1² + 1²) = √2 m lang. 1,41 m ist fast richtig, √2 m ist genau richtig, und zwar bis zum Ende der Rechnung. Wurzeln tauchen in Geometrie und Trigonometrie ständig auf: sin 60° ist genau √3/2.
Die wichtigste Regel: Wurzeln lassen sich bei Produkten und Quotienten aufteilen (für a, b ≥ 0):
√(a · b) = √a · √b und √(a : b) = √a : √b
Zum Vereinfachen (man sagt auch teilweise Wurzel ziehen) suchst du die größte Quadratzahl, die im Radikanden steckt, und ziehst ihre Wurzel heraus. √50 = √(25 · 2) = √25 · √2 = 5√2. Siehst du keine Quadratzahl, hilft die Primfaktorzerlegung: 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3, und jedes Paar gleicher Primfaktoren kommt als ein Faktor heraus, also √72 = 2 · 3 · √2 = 6√2.
Zusammenfassen (addieren und subtrahieren) kann man nur gleichartige Wurzeln, also solche mit demselben Radikanden, so wie man 3x + 5x zusammenfassen kann, aber nicht 3x + 5y. Also 3√2 + 5√2 = 8√2, aber √2 + √3 bleibt stehen. Oft muss man erst vereinfachen, um das zu sehen: √18 + √8 = 3√2 + 2√2 = 5√2.
Zum Schluss schafft man Wurzeln meist aus dem Nenner: Man macht den Nenner rational, indem man mit der Wurzel erweitert, denn √a · √a = a. Bei 6/√3 erweiterst du mit √3 und erhältst 6√3/3 = 2√3.
Wurzeln sind außerdem Potenzen mit Bruch-Exponenten: √a = a^½ und ∛a = a^⅓. Darum gelten die Potenzgesetze auch für Wurzeln.
Beispiele
| Term | Rechnung | Vereinfacht |
|---|---|---|
| √12 | √4 · √3 | 2√3 |
| √50 | √25 · √2 | 5√2 |
| √72 | √36 · √2 | 6√2 |
| √2 · √8 | √16 | 4 |
| 3√5 + 2√5 | gleichartige Wurzeln | 5√5 |
| √18 + √8 | 3√2 + 2√2 | 5√2 |
| 6/√3 | 6√3/3 | 2√3 |
| √(9x²), x ≥ 0 | √9 · √(x²) | 3x |
| √(a³), a ≥ 0 | √(a²) · √a | a√a |
Häufige Fehler
- Unter der Wurzel addieren. √9 + √16 = 3 + 4 = 7, aber √25 = 5. √a + √b ist also nicht √(a + b). Aufteilen darf man nur bei Produkten und Quotienten.
- Nicht die größte Quadratzahl herausziehen. √72 = 2√18 stimmt, ist aber nicht fertig, denn √18 = 3√2. Mit der größten Quadratzahl (36) kommst du in einem Schritt auf 6√2.
- Vorfaktor und Radikand verwechseln. 3√2 heißt 3 · √2 ≈ 4,24, nicht √32. Um die 3 unter die Wurzel zu ziehen, musst du sie quadrieren: 3√2 = √(9 · 2) = √18.
- Vergessen, dass √a · √a = a ist. √7 · √7 = 7, nicht 49. Genau das braucht man beim Rationalmachen des Nenners.
Schritt für Schritt
Schritt für Schritt
- Quadratzahlen bereithalten4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144. Nach diesen Faktoren suchst du.
- Größte Quadratzahl im Radikanden findenBei √80 stecken 4 und 16 in 80; die größte Quadratzahl ist 16, also 80 = 16 · 5.
- Wurzel aufteilen√80 = √16 · √5.
- Wurzel aus der Quadratzahl ziehen√16 = 4, also √80 = 4√5. Prüfe, ob unter der Wurzel kein Quadratfaktor mehr steckt.
- AufräumenFasse gleichartige Wurzeln zusammen, und mach einen Nenner mit Wurzel rational.
Bei einem Nenner wie 3 − √2 erweiterst du mit 3 + √2, damit die dritte binomische Formel greift: (3 − √2)(3 + √2) = 9 − 2 = 7, und die Wurzel ist weg. Klammern mit Wurzeln löst du überhaupt am besten mit den binomischen Formeln auf, zum Beispiel (1 + √2)² = 1 + 2√2 + 2.
Übungsaufgaben
Wurzelterme vereinfachen
Löse jede Aufgabe und prüfe dann deine Antwort.
- Vereinfache √20.
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√4 · √5 = 2√5 - Vereinfache √45.
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√9 · √5 = 3√5 - Vereinfache √98.
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√49 · √2 = 7√2 - Vereinfache √75.
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√25 · √3 = 5√3 - Berechne √3 · √5.
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√15 - Berechne √6 · √6.
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6 - Berechne 2√3 · 4√2.
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(2 · 4) · √(3 · 2) = 8√6 - Berechne √50 : √2.
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√(50 : 2) = √25 = 5 - Fasse zusammen: 4√7 − √7.
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3√7 - Fasse zusammen: √12 + √27.
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2√3 + 3√3 = 5√3 - Fasse zusammen: √80 − √20.
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4√5 − 2√5 = 2√5 - Mach den Nenner rational: 10/√5.
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10√5/5 = 2√5 - Mach den Nenner rational: 3/√6.
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3√6/6 = √6/2 - Multipliziere aus: (2 + √3)(2 − √3).
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3. binomische Formel: 4 − 3 = 1 - Multipliziere aus: (1 + √2)².
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1. binomische Formel: 1 + 2√2 + 2 = 3 + 2√2 - Mach den Nenner rational: 4/(3 − √5).
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Mit (3 + √5) erweitern: 4(3 + √5)/(9 − 5) = 3 + √5
Sachaufgaben
Wurzeln im Alltag
Löse jede Aufgabe und prüfe dann deine Antwort.
- Eine quadratische Fliese hat 1 m Seitenlänge. Wie lang ist ihre Diagonale genau?
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√(1² + 1²) = √2 m (etwa 1,41 m) - Ein quadratischer Teppich hat 50 cm² Fläche. Wie lang ist eine Seite genau?
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√50 = 5√2 cm (etwa 7,07 cm) - Ein rechtwinkliges Dreieck hat Katheten von 2 cm und 4 cm. Gib die Hypotenuse als Wurzelterm an.
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√(4 + 16) = √20 = 2√5 cm (etwa 4,47 cm) - Ein Rechteck ist √8 cm lang und √18 cm breit. Berechne Flächeninhalt und Umfang.
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Fläche = √144 = 12 cm²; Umfang = 2(2√2 + 3√2) = 10√2 cm - Ein gleichseitiges Dreieck hat 6 cm Seitenlänge. Berechne die Höhe exakt.
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Die halbe Grundseite ist 3 cm, also h = √(36 − 9) = √27 = 3√3 cm (etwa 5,20 cm)
Häufige Fragen
Wie vereinfacht man Wurzelterme?
Zerlege den Radikanden so, dass eine möglichst große Quadratzahl als Faktor auftaucht, und zieh deren Wurzel heraus: √50 = √(25 · 2) = 5√2. Danach fasst du gleichartige Wurzeln zusammen und machst Nenner rational.
Wie vereinfacht man Wurzelterme mit Variablen?
Genauso wie mit Zahlen: Quadrate der Variablen kommen heraus. Für x ≥ 0 ist √(9x²) = 3x und √(x³) = √(x² · x) = x√x. Ohne die Bedingung x ≥ 0 gilt √(x²) = |x|, darum steht in Aufgaben meist „x ≥ 0“ dabei.
Wie multipliziert und dividiert man Wurzelterme?
Vorfaktoren mit Vorfaktoren, Radikanden mit Radikanden: 2√3 · 4√2 = 8√6 und √50 : √2 = √25 = 5. Am Ende vereinfachst du das Ergebnis.
Wie fasst man Wurzelterme zusammen?
Nur gleichartige Wurzeln mit demselben Radikanden: √12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3. Verschiedene Wurzeln wie √2 + √3 lassen sich nicht zusammenfassen.
Wie formt man Wurzelterme mit Klammern um?
Wie bei normalen Termen: ausmultiplizieren und die binomischen Formeln nutzen. (2 + √3)(2 − √3) = 4 − 3 = 1 und (1 + √2)² = 3 + 2√2.
Warum macht man den Nenner rational?
So hat jedes Ergebnis eine eindeutige, übersichtliche Form, und Brüche lassen sich leichter vergleichen und addieren. Man erweitert mit der Wurzel oder, bei Summen, mit dem passenden Term für die dritte binomische Formel.
Kurzes Quiz
Wurzelterme
Teste dein Wissen mit 5 kurzen Fragen.
Frage 1 von 5
Welche dieser Wurzeln geht nicht auf?
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Verwandte Themen
Quadratwurzeln
Die Quadratwurzel einer Zahl ist der Wert, der mit sich selbst malgenommen diese Zahl ergibt. Die Wurzel aus 25 ist 5, weil 5 · 5 = 25 ist. Das Zeichen ist √.
Potenzen
Eine Potenz hat eine kleine hochgestellte Zahl (den Exponenten), die zeigt, wie oft man eine Zahl mit sich selbst malnimmt. Also ist 2⁴ gleich 2 · 2 · 2 · 2 = 16.
Primfaktorzerlegung
Bei der Primfaktorzerlegung schreibt man eine Zahl als Produkt von Primzahlen. Zum Beispiel ist 60 = 2 · 2 · 3 · 5, kurz 2² · 3 · 5.
Satz des Pythagoras
Der Satz des Pythagoras sagt: In einem rechtwinkligen Dreieck gilt a² + b² = c², wobei c die längste Seite ist (die Hypotenuse). Bei den Katheten 3 und 4 ist sie 5.
Kubikzahlen und Kubikwurzel
Eine Kubikzahl entsteht, wenn man eine Zahl dreimal mit sich selbst malnimmt, etwa 4³ = 4 · 4 · 4 = 64. Die Kubikwurzel macht das rückgängig, also ∛64 = 4.
ggT und kgV
Der ggT ist die größte Zahl, die in zwei Zahlen aufgeht. Das kgV ist die kleinste Zahl, in der beide aufgehen. Bei 12 und 18 ist der ggT 6 und das kgV 36.