Mathe
Was ist die Primfaktorzerlegung?
Kurze Antwort
Bei der Primfaktorzerlegung schreibt man eine Zahl als Produkt von Primzahlen. Zum Beispiel ist 60 = 2 · 2 · 3 · 5, kurz 2² · 3 · 5.
In einem Satz
Die Primfaktorzerlegung schreibt eine Zahl als Produkt aus Primzahlen, und diese Zerlegung gibt es für jede Zahl nur auf eine Weise.
Erklärt
Eine Primzahl ist eine Zahl, die genau zwei Teiler hat: 1 und sich selbst. Das sind 2, 3, 5, 7, 11, 13 und so weiter, siehe Primzahlen. Jede andere Zahl größer als 1 lässt sich in Primzahlen zerlegen. Die Primzahlen sind sozusagen die Bausteine der natürlichen Zahlen.
Die Zerlegung geht so:
- Teile die Zahl durch die kleinste Primzahl, die passt (oft 2).
- Wiederhole das mit dem Ergebnis.
- Mache weiter, bis nur noch Primzahlen übrig sind.
Beispiel 60:
- 60 : 2 = 30
- 30 : 2 = 15
- 15 : 3 = 5
- 5 : 5 = 1
Also 60 = 2 · 2 · 3 · 5. Mit Potenzen: 60 = 2² · 3 · 5.
Oder mit dem Faktorbaum: 60 teilst du in 6 · 10. Dann 6 in 2 · 3 und 10 in 2 · 5. Die Enden des Baumes sind Primzahlen: 2, 3, 2, 5.
Baum
Bleistift
Heft
Die Zerlegung ist eindeutig: Egal, wie du anfängst, am Ende bekommst du dieselben Primfaktoren. Zum Beispiel 36 = 4 · 9 = 2² · 3², aber auch 36 = 6 · 6 = (2 · 3) · (2 · 3) = 2² · 3².
Wozu braucht man das? Mit der Primfaktorzerlegung findest du den ggT und das kgV, siehe ggT und kgV, kannst Brüche kürzen und bestimmst, ob eine Zahl ein Quadrat ist. Hilfreich ist auch das Wissen über Teiler und Vielfache.
Beispiele
| Zahl | Zerlegung | Potenzschreibweise |
|---|---|---|
| 12 | 2 · 2 · 3 | 2² · 3 |
| 18 | 2 · 3 · 3 | 2 · 3² |
| 36 | 2 · 2 · 3 · 3 | 2² · 3² |
| 60 | 2 · 2 · 3 · 5 | 2² · 3 · 5 |
| 100 | 2 · 2 · 5 · 5 | 2² · 5² |
| 13 | 13 | 13 (Primzahl) |
Häufige Fehler
- Bei Nicht-Primzahlen aufhören. In 2 · 6 ist die 6 noch keine Primzahl.
- Die 1 als Primzahl nehmen. Die 1 ist keine Primzahl.
- Einen Faktor vergessen. Probe: Multipliziere alle Faktoren, du musst die Ausgangszahl erhalten.
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Frage 1 von 4
Wie lautet die Primfaktorzerlegung von 12?
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Verwandte Themen
Primzahlen
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die genau zwei Teiler hat: 1 und sich selbst. Die ersten Primzahlen sind 2, 3, 5, 7, 11 und 13.
Teiler und Vielfache
Teiler sind Zahlen, die genau in eine Zahl hineinpassen (die Teiler von 12 sind 1, 2, 3, 4, 6 und 12). Vielfache sind die Zahlen ihrer Einmaleins-Reihe (12, 24, 36 …).
ggT und kgV
Der ggT ist die größte Zahl, die in zwei Zahlen aufgeht. Das kgV ist die kleinste Zahl, in der beide aufgehen. Bei 12 und 18 ist der ggT 6 und das kgV 36.
Potenzen
Eine Potenz hat eine kleine hochgestellte Zahl (den Exponenten), die zeigt, wie oft man eine Zahl mit sich selbst malnimmt. Also ist 2⁴ gleich 2 · 2 · 2 · 2 = 16.
Wissenschaftliche Schreibweise
In der wissenschaftlichen Schreibweise schreibt man sehr große oder sehr kleine Zahlen als Zahl von 1 bis 10 mal einer Zehnerpotenz. Zum Beispiel ist 3.500.000 gleich 3,5 · 10⁶.
Quadratwurzeln
Die Quadratwurzel einer Zahl ist der Wert, der mit sich selbst malgenommen diese Zahl ergibt. Die Wurzel aus 25 ist 5, weil 5 · 5 = 25 ist. Das Zeichen ist √.