Wie lauten die Teilbarkeitsregeln für 2 bis 12?

Du hast 234 Kekse und willst sie in Schachteln zu je 9 packen, ohne dass einer übrig bleibt. Du könntest dividieren, aber es geht schneller: Bilde die Quersumme. 2 + 3 + 4 = 9, und 9 ist durch 9 teilbar, also auch 234. (Das ergibt 26 Schachteln.) Diese Abkürzung ist eine Teilbarkeitsregel.

„Teilbar durch“ heißt „geht ohne Rest auf“. 234 ist durch 9 teilbar, weil 234 : 9 = 26 genau aufgeht. Durch 5 ist 234 nicht teilbar, denn 234 : 5 = 46 Rest 4. Man sagt auch: 9 ist ein Teiler von 234, und 234 ist ein Vielfaches von 9.

Die Regeln lassen sich in drei Gruppen einteilen, so merkt man sie leichter:

• Endstellenregeln: auf die letzten Ziffern schauen. Für 2, 5 und 10 reicht die letzte Ziffer, weil 10 durch alle drei teilbar ist. Für 4 und 25 braucht man die letzten zwei Ziffern, weil 100 durch 4 und 25 teilbar ist. Für 8 die letzten drei, weil 1000 durch 8 teilbar ist.
• Quersummenregeln. Für 3 und 9 bildet man die Quersumme. Das klappt, weil 10, 100, 1000 … jeweils ein Vielfaches von 9 plus 1 sind (9, 99, 999). Eine Zahl und ihre Quersumme lassen deshalb beim Teilen durch 3 oder 9 denselben Rest.
• Zusammengesetzte Regeln. 6 = 2 · 3, also prüft man 2 und 3. 12 = 3 · 4, also prüft man 3 und 4. Das funktioniert nur, wenn die beiden Zahlen keinen gemeinsamen Teiler außer 1 haben.

Dazu kommen zwei besondere Regeln: die für 11 (alternierende Quersumme: Ziffern abwechselnd abziehen und addieren) und die für 7 (letzte Ziffer verdoppeln und vom Rest abziehen). Sie brauchen etwas Übung, ersparen aber viele schriftliche Divisionen.

Teilbarkeitsregeln helfen bei Teilern und Vielfachen, beim Kürzen von Brüchen und beim Erkennen von Primzahlen: Eine Zahl, die durch 2, 3, 5, 7 oder 11 teilbar ist (und nicht selbst diese Zahl ist), kann keine Primzahl sein.

Wenn du alle Teiler einer Zahl suchst, gehe die Regeln in dieser Reihenfolge durch und notiere jede, die passt. So startest du am schnellsten mit der Teilermenge oder der Primfaktorzerlegung.

Wie lauten die Teilbarkeitsregeln?#

Eine Zahl ist teilbar durch 2, wenn sie auf eine gerade Ziffer endet; durch 3, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist; durch 4, wenn die letzten zwei Ziffern durch 4 teilbar sind; durch 5, wenn sie auf 0 oder 5 endet; durch 6, wenn sie durch 2 und 3 teilbar ist; durch 8, wenn die letzten drei Ziffern durch 8 teilbar sind; durch 9, wenn die Quersumme durch 9 teilbar ist; durch 10, wenn sie auf 0 endet.

Wie viele Teilbarkeitsregeln gibt es?#

Eine feste Anzahl gibt es nicht: Für jede Zahl lässt sich ein Test finden. In der Schule lernt man meist die Regeln für 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 und 10, oft auch für 11, 12 und 25. Durch 1 ist jede Zahl teilbar, dafür braucht man keine Regel.

Gibt es eine Teilbarkeitsregel für 7?#

Ja. Streiche die letzte Ziffer, verdopple sie und ziehe sie von der Zahl ab, die übrig bleibt. Ist das Ergebnis durch 7 teilbar (auch 0), dann ist es die Zahl auch. Für 203: 20 − 6 = 14, also ist 203 durch 7 teilbar.

Wie funktioniert die alternierende Quersumme für 11?#

Von rechts beginnend zieht man die Ziffern abwechselnd ab und addiert sie. Ist das Ergebnis 0 oder ein Vielfaches von 11, ist die Zahl durch 11 teilbar. Für 2728: 8 − 2 + 7 − 2 = 11, also ja.

Warum funktioniert die Quersummenregel für 3?#

Jede Stelle ist ein Vielfaches von 3 plus 1: 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1 und so weiter. Also ist 471 = 4 · 99 + 7 · 9 + (4 + 7 + 1). Die ersten beiden Teile sind durch 3 teilbar, darum ist 471 genau dann durch 3 teilbar, wenn 4 + 7 + 1 es ist.

Wie merkt man sich die Teilbarkeitsregeln am besten?#

In Gruppen: letzte Ziffer für 2, 5 und 10; letzte zwei Ziffern für 4 und 25; letzte drei Ziffern für 8; Quersumme für 3 und 9; Kombinationen für 6 und 12. Ein Plakat mit einem Beispiel pro Regel hilft sehr.