Was ist ein lineares Gleichungssystem und wie löst man es?

Eine einzelne Gleichung mit zwei Variablen, etwa x + y = 10, hat unendlich viele Lösungen: 1 und 9, 4 und 6, 2,5 und 7,5. Kommt ein zweiter Hinweis dazu, x − y = 4, passt nur noch ein Paar zu beiden: x = 7 und y = 3. Das ist die ganze Idee. Jede Gleichung ist ein Hinweis, und du brauchst so viele Hinweise wie Unbekannte.

Im Heft nummeriert man die Gleichungen meist mit I und II. Sind alle Gleichungen linear (kein x², kein xy), spricht man von einem linearen Gleichungssystem, kurz LGS.

In der Schule lernst du drei rechnerische Verfahren und ein zeichnerisches:

Einsetzungsverfahren. Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen und in die andere einsetzen. Mit y = 3x und x + y = 8: x + 3x = 8, also 4x = 8, x = 2 und y = 6.

Gleichsetzungsverfahren. Beide Gleichungen nach derselben Variablen auflösen und die Terme gleichsetzen. Mit y = 3x − 1 und y = x + 5: 3x − 1 = x + 5, also 2x = 6, x = 3 und y = 8.

Additionsverfahren. Die Gleichungen addieren oder subtrahieren, sodass eine Variable wegfällt. Mit 2a + b = 130 und a + b = 80 (Preise in Cent): I − II ergibt a = 50, dann b = 30. Ein Apfel kostet 0,50 €, eine Banane 0,30 €. Passen die Koeffizienten nicht, multiplizierst du vorher eine ganze Gleichung.

Grafisch lösen. Jede lineare Gleichung ist eine Gerade. Die Lösung ist der Schnittpunkt. y = x + 1 und y = −x + 5 schneiden sich in S(2|3). Das ist anschaulich, aber oft ungenau abzulesen.

Wie viele Lösungen? Schneiden sich die Geraden, gibt es genau eine Lösung. Sind sie parallel, gibt es keine. Sind sie identisch, gibt es unendlich viele. Als Grundlage brauchst du sichere Umformungen von Gleichungen und Koordinaten.

Das sind die Schritte des Additionsverfahrens. Beim Einsetzungs- und Gleichsetzungsverfahren ersetzt du die Schritte 2 und 3 durch "auflösen und einsetzen" bzw. "auflösen und gleichsetzen".

Was ist ein lineares Gleichungssystem?#

Mehrere lineare Gleichungen mit denselben Variablen, die gleichzeitig gelten sollen. Bei zwei Gleichungen mit x und y ist die Lösung ein Zahlenpaar, grafisch der Schnittpunkt zweier Geraden.

Wie löst man Gleichungssysteme am schnellsten?#

Steht schon "y = …" da, nimm das Einsetzungs- oder Gleichsetzungsverfahren. Stehen beide Gleichungen in der Form ax + by = c, ist das Additionsverfahren meist am schnellsten.

Wie viele Lösungen kann ein Gleichungssystem haben?#

Ein LGS mit zwei Variablen hat genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen, je nachdem, ob sich die Geraden schneiden, parallel sind oder aufeinanderliegen.

Wie löst man Gleichungssysteme grafisch?#

Forme beide Gleichungen in die Form y = mx + b um, zeichne die Geraden und lies den Schnittpunkt ab. In GeoGebra gibst du beide Gleichungen ein und lässt den Schnittpunkt anzeigen.

Wie löst man Gleichungssysteme mit 3 Variablen?#

Du brauchst drei Gleichungen. Eliminiere mit dem Additionsverfahren zweimal dieselbe Variable, dann bleibt ein System mit zwei Variablen. In der Oberstufe lernst du dafür das Gauß-Verfahren.

Darf ich einen Rechner benutzen?#

Viele Taschenrechner und Online-Rechner lösen Gleichungssysteme. Zur Kontrolle ist das gut, in Klassenarbeiten wird aber meist der Rechenweg verlangt.