Mathe
Was ist eine Matrix, und wie multipliziert man Matrizen?
Kurze Antwort
Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema aus Zeilen und Spalten. Man addiert Eintrag für Eintrag und multipliziert Zeile mal Spalte, aber nur, wenn die Formate passen.
In einem Satz
Eine Matrix ist ein rechteckiges Schema aus Zahlen in Zeilen und Spalten; man schreibt sie in große runde Klammern und benennt sie mit einem Großbuchstaben.
Erklärt
Eine Matrix speichert viele Zahlen auf einmal. Eine Bundesliga-Tabelle oder die Pixel eines Bildes sind Zahlenschemata. Im Schulbuch stehen Matrizen in großen Klammern; hier schreiben wir sie in eine Zeile, Zeile für Zeile, mit einem Semikolon zwischen den Zeilen: [1 2 3; 4 5 6] heißt, die erste Zeile ist 1 2 3, die zweite 4 5 6.
Das Format einer Matrix ist Zeilen × Spalten. [1 2 3; 4 5 6] hat 2 Zeilen und 3 Spalten, ist also eine 2 × 3-Matrix („zwei-Kreuz-drei“). Jede Zahl ist ein Eintrag (Element). Der Eintrag in Zeile i und Spalte j heißt aᵢⱼ; hier ist a₂₁ = 4 und a₁₃ = 3.
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Wichtige Sonderfälle:
- Zeilenmatrix: eine Zeile, z. B. [3 1 4]. Spaltenmatrix (wie ein Spaltenvektor): eine Spalte, z. B. [2; 5].
- Quadratische Matrix: gleich viele Zeilen wie Spalten (2 × 2, 3 × 3 …).
- Nullmatrix: alle Einträge sind 0.
- Einheitsmatrix E (oft auch I): Einsen auf der Hauptdiagonale, sonst Nullen, z. B. [1 0; 0 1]. Sie wirkt wie die Zahl 1: A · E = E · A = A.
Matrizen addieren. Addieren (und subtrahieren) kann man nur Matrizen mit gleichem Format, und zwar Eintrag für Eintrag: [1 2; 3 4] + [5 0; −1 2] = [6 2; 2 6]. Mit einer Zahl multiplizieren heißt, jeden Eintrag zu multiplizieren: 3 · [2 −1; 0 4] = [6 −3; 0 12].
Zwei Matrizen multiplizieren funktioniert anders. Für einen Eintrag von A · B nimmt man eine Zeile von A und eine Spalte von B, multipliziert die Zahlen paarweise und addiert. Zeile 1 mal Spalte 1 ergibt den Eintrag in Zeile 1, Spalte 1 und so weiter. Darum geht es nur, wenn A so viele Spalten hat wie B Zeilen. Eine 2 × 3-Matrix mal eine 3 × 4-Matrix geht (die inneren Zahlen 3 und 3 passen), und das Ergebnis ist eine 2 × 4-Matrix (die äußeren Zahlen). In der Schule ordnet man die Rechnung oft im Falk-Schema an: B steht rechts oben, A links unten, und jeder Ergebniseintrag steht dort, wo sich seine Zeile und seine Spalte kreuzen.
Die Reihenfolge ist wichtig: Meist ist A · B ≠ B · A, die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ. Sie ist aber assoziativ: (A · B) · C = A · (B · C).
Für eine 2 × 2-Matrix [a b; c d] ist die Determinante ad − bc. Ist sie nicht null, hat die Matrix eine Inverse A⁻¹ mit A · A⁻¹ = E:
A⁻¹ = (1 : (ad − bc)) · [d −b; −c a]
Man vertauscht a und d, ändert die Vorzeichen von b und c und teilt durch die Determinante. Mit der Inversen löst man lineare Gleichungssysteme in Matrizenschreibweise A · x = b. Matrizen bewegen auch Figuren: [0 −1; 1 0] dreht jeden Punkt um 90° gegen den Uhrzeigersinn, daher der Zusammenhang mit Abbildungen und Vektoren. Computergrafik und künstliche Intelligenz rechnen mit riesigen Mengen von Matrizenprodukten.
Beispiele
Beispiel: A = [1 2; 3 4] mal B = [5 6; 7 8]. Beide sind 2 × 2, also ist A · B auch 2 × 2.
| Eintrag von A · B | Zeile von A mal Spalte von B | Wert |
|---|---|---|
| Zeile 1, Spalte 1 | 1 · 5 + 2 · 7 | 19 |
| Zeile 1, Spalte 2 | 1 · 6 + 2 · 8 | 22 |
| Zeile 2, Spalte 1 | 3 · 5 + 4 · 7 | 43 |
| Zeile 2, Spalte 2 | 3 · 6 + 4 · 8 | 50 |
Also ist A · B = [19 22; 43 50]. Andersherum ist B · A = [23 34; 31 46], also etwas anderes.
Weitere Beispiele:
- 2 × 2 mal 2 × 1: [2 1; 0 3] · [4; 5] = [2 · 4 + 1 · 5; 0 · 4 + 3 · 5] = [13; 15].
- 3 × 3 mal 3 × 1: [1 0 2; 0 1 0; 3 0 1] · [1; 2; 3] = [1 + 0 + 6; 0 + 2 + 0; 3 + 0 + 3] = [7; 2; 6].
- Determinante: [5 2; 3 4] hat die Determinante 5 · 4 − 2 · 3 = 14.
Häufige Fehler
- Eintrag mal Eintrag rechnen. [1 2; 3 4] · [5 6; 7 8] ist nicht [5 12; 21 32]. Richtig: immer Zeile mal Spalte, dann addieren.
- Die Reihenfolge vertauschen. A · B und B · A sind meist verschieden. Halte die Reihenfolge aus der Aufgabe ein.
- Multiplizieren, obwohl die Formate nicht passen. Schreib die Formate nebeneinander, (3 × 2)(3 × 2): Die inneren Zahlen 2 und 3 sind verschieden, das Produkt gibt es nicht.
- Vorzeichenfehler bei der Inversen. Bei [a b; c d] werden a und d vertauscht, b und c bekommen nur ein anderes Vorzeichen. Danach durch ad − bc teilen, nicht durch ad + bc.
Schritt für Schritt
Schritt für Schritt
- Formate prüfenSchreib (2 × 3)(3 × 2). Sind die inneren Zahlen gleich, kann man multiplizieren; die äußeren geben das Format des Ergebnisses.
- Ergebnis vorbereitenZeichne eine leere Matrix in diesem Format oder ein Falk-Schema.
- Zeile mal SpalteFür den Eintrag in Zeile i, Spalte j nimmst du Zeile i der ersten und Spalte j der zweiten Matrix.
- Multiplizieren und addierenErste mal erste Zahl, zweite mal zweite usw., dann alles addieren.
- Vervollständigen und prüfenFülle alle Einträge aus, rechne einen noch einmal nach und achte auf Minuszeichen.
Zum Kontrollieren: Viele Taschenrechner und Matrizenrechner im Netz können Matrizen multiplizieren, in Python mit NumPy macht das A @ B. In der Klausur musst du die Rechnung aber zeigen.
Übungsaufgaben
Übungen zu Matrizen
Löse jede Aufgabe und prüfe dann deine Antwort.
- Welches Format hat [1 2 3; 4 5 6]?
Lösung zeigen
2 Zeilen und 3 Spalten: 2 × 3 - Wie groß ist a₂₁ in A = [4 7; −2 5]?
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Zeile 2, Spalte 1: −2 - Berechne [1 2; 3 4] + [5 0; −1 2].
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Eintrag für Eintrag addieren: [6 2; 2 6] - Berechne [7 3; 5 −1] − [2 4; 5 −3].
Lösung zeigen
7 − 2, 3 − 4, 5 − 5, −1 − (−3): [5 −1; 0 2] - Berechne 3 · [2 −1; 0 4].
Lösung zeigen
Jeden Eintrag mal 3: [6 −3; 0 12] - Kann man eine 2 × 3-Matrix und eine 3 × 2-Matrix addieren?
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Nein: Addieren geht nur bei gleichem Format. - Berechne [2 1; 0 3] · [4; 5].
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[2 · 4 + 1 · 5; 0 · 4 + 3 · 5] = [13; 15] - Berechne [1 2; 3 4] · [2 0; 1 3].
Lösung zeigen
[1 · 2 + 2 · 1, 1 · 0 + 2 · 3; 3 · 2 + 4 · 1, 3 · 0 + 4 · 3] = [4 6; 10 12] - Berechne [2 0; 1 3] · [1 2; 3 4]. Kommt dasselbe heraus wie in Aufgabe 8?
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[2 + 0, 4 + 0; 1 + 9, 2 + 12] = [2 4; 10 14]: nein, in Aufgabe 8 kam [4 6; 10 12] heraus, die Reihenfolge zählt. - A ist 2 × 3, B ist 3 × 4. Welches Format hat A · B?
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Die inneren Zahlen passen (3 und 3): 2 × 4 - A ist 3 × 2, B ist 3 × 2. Gibt es A · B?
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A hat 2 Spalten, B hat 3 Zeilen: nein. - Berechne [1 2 3] · [4; 5; 6].
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1 · 4 + 2 · 5 + 3 · 6 = 4 + 10 + 18 = [32] - Berechne die Determinante von [5 2; 3 4].
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5 · 4 − 2 · 3 = 20 − 6 = 14 - Berechne die Determinante von [3 6; 1 2]. Ist die Matrix invertierbar?
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3 · 2 − 6 · 1 = 0, also nicht invertierbar. - Bestimme die Inverse von [4 7; 2 6].
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Determinante = 24 − 14 = 10. Inverse = (1/10) · [6 −7; −2 4] = [0,6 −0,7; −0,2 0,4] - Berechne [1 0; 0 1] · [3 −2; 5 7].
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Die Einheitsmatrix ändert nichts: [3 −2; 5 7]
Sachaufgaben
Matrizen im Alltag
Löse jede Aufgabe und prüfe dann deine Antwort.
- Ein Café verkauft Saft für 2 € und Brötchen für 5 €. Am Montag gingen 3 Säfte und 2 Brötchen weg, am Dienstag 1 Saft und 4 Brötchen. Berechne mit [3 2; 1 4] · [2; 5] die Tageseinnahmen.
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[3 · 2 + 2 · 5; 1 · 2 + 4 · 5] = [16; 22]: Montag 16 €, Dienstag 22 € - Eine Liga gibt 3 Punkte für einen Sieg, 1 für ein Unentschieden, 0 für eine Niederlage. Team A hat 5 Siege, 2 Unentschieden, 1 Niederlage; Team B 4 Siege, 4 Unentschieden, 0 Niederlagen. Berechne [5 2 1; 4 4 0] · [3; 1; 0].
Lösung zeigen
[15 + 2 + 0; 12 + 4 + 0] = [17; 16]: A hat 17 Punkte, B 16 - Die Matrix [0 −1; 1 0] dreht Punkte um 90° gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung. Wohin kommt P(3|1)?
Lösung zeigen
[0 · 3 + (−1) · 1; 1 · 3 + 0 · 1] = [−1; 3]: P′(−1|3) - Die Matrix [1 0; 0 −1] spiegelt an der x-Achse. Wohin kommt Q(4|2)?
Lösung zeigen
[1 · 4 + 0 · 2; 0 · 4 + (−1) · 2] = [4; −2]: Q′(4|−2) - Löse das Gleichungssystem 2x + y = 5, x + 3y = 10 mit Matrizen.
Lösung zeigen
A = [2 1; 1 3], Determinante 6 − 1 = 5, A⁻¹ = (1/5) · [3 −1; −1 2]. Dann [x; y] = (1/5) · [3 · 5 − 1 · 10; −1 · 5 + 2 · 10] = (1/5) · [5; 15]: x = 1, y = 3
Häufige Fragen
Was ist eine Matrix einfach erklärt?
Ein rechteckiges Zahlenschema aus Zeilen und Spalten, in Klammern geschrieben. Eine 2 × 3-Matrix hat 2 Zeilen und 3 Spalten.
Wie funktioniert die Matrizenmultiplikation?
Jeder Eintrag des Ergebnisses ist „Zeile der ersten Matrix mal Spalte der zweiten“: paarweise multiplizieren und addieren. Das geht nur, wenn die erste Matrix so viele Spalten hat wie die zweite Zeilen.
Ist die Matrizenmultiplikation kommutativ oder assoziativ?
Sie ist assoziativ, (A · B) · C = A · (B · C), aber nicht kommutativ: A · B und B · A sind meist verschieden, und manchmal existiert nur eines der beiden Produkte.
Was ist das Falk-Schema?
Eine übersichtliche Anordnung zum Multiplizieren: Die zweite Matrix steht rechts oben, die erste links unten. Jeder Eintrag des Ergebnisses steht im Kreuzungspunkt seiner Zeile und Spalte, so verrutscht man nicht.
Wie multipliziert man 3 × 3-Matrizen?
Genauso wie 2 × 2: Jeder der 9 Einträge ist Zeile mal Spalte, mit drei Produkten, die addiert werden. Zum Beispiel ergibt die Zeile [1 0 2] mit der Spalte [1; 2; 3] den Wert 1 + 0 + 6 = 7.
Wie addiert man Matrizen?
Nur bei gleichem Format: Man addiert die Einträge, die an derselben Stelle stehen. [1 2; 3 4] + [5 0; −1 2] = [6 2; 2 6].
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Frage 1 von 5
Eine Matrix hat 3 Zeilen und 2 Spalten. Welches Format hat sie?
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