Was ist ein Vektor in Mathe, und wie addiert man Vektoren?

Manche Größen beschreibt eine einzige Zahl: eine Masse von 5 kg, eine Temperatur von 18 °C, eine Zeit von 3 Minuten. Das sind Skalare. Andere ergeben ohne Richtung keinen Sinn. „Gehe 3 km“ sagt nicht, wo du ankommst; „gehe 3 km nach Osten“ schon. Solche Größen sind Vektoren: Verschiebung, Geschwindigkeit, Beschleunigung und Kraft. Deshalb rechnet die Physik ständig mit ihnen.

Ein Vektor wird als Pfeil gezeichnet. Wichtig sind drei Dinge:

• der Betrag: die Länge des Pfeils, geschrieben |v|;
• die Richtung: die Gerade, auf der der Pfeil liegt;
• die Orientierung: in welche der beiden Richtungen die Pfeilspitze zeigt.

Alle Pfeile mit gleicher Länge, Richtung und Orientierung stellen denselben Vektor dar, egal wo sie liegen. Darum beschreibt ein Vektor eine Verschiebung, wie bei den Abbildungen. Im Koordinatensystem schreibt man ihn als Spaltenvektor: oben die Verschiebung nach rechts, unten die nach oben (negativ heißt links oder unten). Auf dieser Seite schreiben wir ihn platzsparend in einer Zeile, zum Beispiel (3; 4) für „3 nach rechts, 4 nach oben“. Den Verbindungsvektor von A(1|2) nach B(4|6) erhält man mit der Regel „Spitze minus Fuß“: (4 − 1; 6 − 2) = (3; 4).

Gerechnet wird Koordinate für Koordinate:

• Addieren: (3; 4) + (1; −2) = (4; 2). In der Zeichnung hängt man die Pfeile aneinander; der Summenvektor zeigt vom Anfang des ersten zum Ende des letzten Pfeils.
• Subtrahieren: (3; 4) − (1; −2) = (2; 6). Einen Vektor b abzuziehen heißt, seinen Gegenvektor −b zu addieren: gleicher Betrag, entgegengesetzte Orientierung.
• Mit einer Zahl multiplizieren (S-Multiplikation): 2 · (3; 4) = (6; 8). Der Pfeil wird doppelt so lang. Eine negative Zahl dreht ihn um.
• Betrag: Für (x; y) gilt |v| = √(x² + y²), direkt aus dem Satz des Pythagoras. Der Betrag von (3; 4) ist √(9 + 16) = 5.

Zwei Vektoren sind kollinear (parallel), wenn einer ein Vielfaches des anderen ist: (6; 9) = 3 · (2; 3). Drei Punkte A, B, C liegen auf einer Geraden, wenn AB und BC kollinear sind. Zwei Vektoren sind orthogonal (senkrecht), wenn ihr Skalarprodukt null ist: Für (a; b) und (c; d) gilt dann a · c + b · d = 0.

Ein Einheitsvektor hat den Betrag 1: Man teilt einen Vektor durch seinen Betrag. Der Ortsvektor eines Punktes A zeigt vom Ursprung O nach A. Mit OA = a und OB = b gilt AB = b − a, und der Mittelpunkt der Strecke AB hat den Ortsvektor ½(a + b). In der Oberstufe rechnet man meist im Raum: Dann hat ein Vektor drei Koordinaten (x; y; z), und |v| = √(x² + y² + z²). Die Regeln bleiben genau dieselben.

Wie funktionieren Vektoren?#

Ein Vektor beschreibt eine Verschiebung: wie weit und in welche Richtung. Man rechnet mit seinen Koordinaten, und alle gleich langen, gleich gerichteten Pfeile sind derselbe Vektor.

Wie addiert und subtrahiert man Vektoren?#

Koordinatenweise: (2; 5) + (3; −1) = (5; 4) und (2; 5) − (3; −1) = (−1; 6). Zeichnerisch hängt man die Pfeile aneinander; beim Subtrahieren nimmt man den Gegenvektor.

Wie multipliziert man Vektoren?#

Mit einer Zahl multipliziert man jede Koordinate: 3 · (1; 2) = (3; 6). Das Skalarprodukt zweier Vektoren ergibt dagegen eine Zahl: Für (a; b) und (c; d) ist es a · c + b · d. Im Raum gibt es zusätzlich das Kreuzprodukt.

Was bedeutet orthogonal bei Vektoren?#

Orthogonale Vektoren stehen senkrecht aufeinander. Man erkennt es daran, dass ihr Skalarprodukt 0 ist, wie bei (2; 3) und (3; −2): 6 − 6 = 0.

Was bedeutet kollinear und komplanar?#

Kollinear heißt, ein Vektor ist ein Vielfaches des anderen, die Pfeile sind parallel. Komplanar heißt, drei Vektoren im Raum lassen sich in einer Ebene darstellen; dann ist einer eine Kombination der beiden anderen.

Wie werden Vektoren dargestellt?#

Als Pfeil, mit einem kleinen Pfeil über dem Buchstaben (zum Beispiel v oder AB mit Pfeil), und rechnerisch als Spaltenvektor mit den Koordinaten untereinander.

Was hat „Vektorenschutz“ mit Vektoren zu tun?#

Nur das Wort. In der Medizin ist ein Vektor ein Lebewesen, das Krankheitserreger überträgt, etwa eine Zecke oder eine Mücke. Kleidung mit Vektorenschutz soll solche Insekten und Zecken abhalten.