Mathe
Was ist Trigonometrie?
Kurze Antwort
Die Trigonometrie verbindet Winkel und Seiten im rechtwinkligen Dreieck mit Sinus, Kosinus und Tangens. Damit berechnest du fehlende Seiten oder Winkel.
In einem Satz
Trigonometrie nutzt die festen Verhältnisse der Seiten im rechtwinkligen Dreieck, um unbekannte Längen und Winkel zu berechnen.
Erklärt
Wenn zwei Dreiecke denselben Winkel und einen rechten Winkel haben, sind sie ähnlich. Die Verhältnisse ihrer Seiten sind gleich, egal wie groß die Dreiecke sind. Genau diese Verhältnisse haben Namen.
Im rechtwinkligen Dreieck gibt es drei Seiten, die du von einem Winkel α aus so benennst:
- Hypotenuse: die längste Seite, gegenüber dem rechten Winkel.
- Gegenkathete: die Seite, die dem Winkel α gegenüberliegt.
- Ankathete: die Seite, die am Winkel α anliegt (und nicht die Hypotenuse ist).
Die drei Verhältnisse:
- Sinus: sin α = Gegenkathete : Hypotenuse
- Kosinus: cos α = Ankathete : Hypotenuse
- Tangens: tan α = Gegenkathete : Ankathete
Im Englischen gibt es die Merkhilfe SOH-CAH-TOA. Auch im Deutschen kann man sich merken: Gegen durch Hypo, An durch Hypo, Gegen durch An.
Beispiel: Eine 5 m lange Leiter lehnt unter 60° an einer Wand. Gesucht ist die Höhe (die Gegenkathete). Die Leiter ist die Hypotenuse. Also: sin 60° = h : 5, also h = 5 · sin 60° ≈ 5 · 0,866 = 4,33 m.
Ist ein Winkel gesucht, benutzt du die Umkehrfunktion auf dem Taschenrechner (sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹). Stelle vorher sicher, dass der Rechner auf DEG (Grad) steht. Gut zu wissen: tan 45° = 1, weil beide Katheten gleich lang sind. Für die Seiten allein reicht oft der Satz des Pythagoras. Zu Winkeln siehe Winkel.
Lineal
Berg
Bleistift
Beispiele
| Gegeben | Gesucht | Formel |
|---|---|---|
| Winkel und Hypotenuse | Gegenkathete | sin α = G : H |
| Winkel und Hypotenuse | Ankathete | cos α = A : H |
| Winkel und Ankathete | Gegenkathete | tan α = G : A |
| zwei Seiten | Winkel | sin⁻¹, cos⁻¹ oder tan⁻¹ |
| α = 45° | tan α | 1 |
Häufige Fehler
- Katheten vertauschen. Gegen- und Ankathete hängen vom gewählten Winkel ab.
- Falsche Rechnereinstellung. DEG für Grad, nicht RAD.
- Trigonometrie in nicht rechtwinkligen Dreiecken benutzen. Dafür braucht man Sinussatz und Kosinussatz.
Kurzes Quiz
Trigonometrie
Teste dein Wissen mit 4 kurzen Fragen.
Frage 1 von 4
Was ist der Sinus eines Winkels im rechtwinkligen Dreieck?
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