Mathe
Was besagen der Sinussatz und der Kosinussatz, und wann nimmt man welchen?
Kurze Antwort
Der Sinussatz a/sin α = b/sin β = c/sin γ und der Kosinussatz a² = b² + c² − 2bc·cos α liefern fehlende Seiten und Winkel in jedem Dreieck, nicht nur im rechtwinkligen.
In einem Satz
Sinussatz und Kosinussatz sind Formeln, mit denen man fehlende Seiten und Winkel in jedem Dreieck berechnen kann, auch wenn es keinen rechten Winkel hat.
Erklärt
Sinus, Kosinus und Tangens als Seitenverhältnisse und der Satz des Pythagoras funktionieren nur im rechtwinkligen Dreieck (siehe Trigonometrie). Echte Dreiecke, etwa die Kurse zweier Schiffe, ein Dachstuhl oder ein Feld mit drei Zäunen, haben aber fast nie einen rechten Winkel. Dafür gibt es den Sinussatz und den Kosinussatz. Beide gehören zur Trigonometrie im allgemeinen Dreieck.
Schiff
Berg
Lineal
Zuerst die Bezeichnungen, wie in deutschen Schulbüchern üblich: Die Seiten heißen a, b, c, die Winkel α, β, γ. Die Seite a liegt dem Winkel α gegenüber, b liegt β gegenüber und c liegt γ gegenüber. Alle Formeln auf dieser Seite hängen an diesen Paaren.
Der Sinussatz besagt: In jedem Dreieck ergibt jede Seite geteilt durch den Sinus ihres Gegenwinkels dieselbe Zahl:
a ÷ sin α = b ÷ sin β = c ÷ sin γ
Sucht man einen Winkel, dreht man ihn am besten um: sin α ÷ a = sin β ÷ b = sin γ ÷ c. Man verwendet immer nur zwei der drei Teile, und man braucht zum Start ein vollständiges Paar (eine Seite und ihren Gegenwinkel).
Der Kosinussatz ist der Satz des Pythagoras mit einem Korrekturglied für Winkel, die nicht 90° groß sind:
a² = b² + c² − 2bc · cos α
Nach dem Winkel umgestellt:
cos α = (b² + c² − a²) ÷ (2bc)
Ist α = 90°, gilt cos α = 0, und es bleibt a² = b² + c², der Satz des Pythagoras. Ist α stumpf, ist cos α negativ und a wird länger, als Pythagoras vorhersagen würde. Das passt: Ein weiter geöffneter Winkel schiebt die gegenüberliegende Seite nach außen.
Welcher Satz?
- Zwei Winkel und eine Seite, oder zwei Seiten und ein Winkel, der nicht eingeschlossen ist (ein vollständiges Paar plus eine weitere Angabe) → Sinussatz.
- Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel (SWS) → Kosinussatz für die dritte Seite.
- Drei Seiten (SSS) → Kosinussatz für einen Winkel.
Eine verwandte Formel liefert den Flächeninhalt ohne Höhe: Fläche = ½ · a · b · sin γ, mit zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel.
Beispiele
Beispiel 1 (Sinussatz, Seite). α = 40°, β = 60°, a = 10 cm. Gesucht ist b. b ÷ sin 60° = 10 ÷ sin 40°, also b = 10 · sin 60° ÷ sin 40° = 8,660 ÷ 0,6428 ≈ 13,47 cm (auf 2 Nachkommastellen).
Beispiel 2 (Sinussatz, Winkel). a = 8 cm, α = 50°, b = 6 cm. Gesucht ist β. sin β = 6 · sin 50° ÷ 8 ≈ 0,5745, also β ≈ 35,1° (auf 1 Nachkommastelle). Der andere Winkel mit diesem Sinus, 144,9°, ist hier unmöglich, denn 50° + 144,9° ist mehr als 180°.
Beispiel 3 (Kosinussatz, Seite). b = 5 cm, c = 7 cm, α = 60°. Gesucht ist a. a² = 25 + 49 − 2 · 5 · 7 · cos 60° = 74 − 35 = 39, also a = √39 ≈ 6,24 cm.
Beispiel 4 (Kosinussatz, Winkel). Seiten 3, 5 und 7. Gesucht ist der größte Winkel (gegenüber von 7). cos γ = (3² + 5² − 7²) ÷ (2 · 3 · 5) = −15 ÷ 30 = −0,5, also γ = 120°.
Häufige Fehler
- Falsche Paare. Seite a gehört zum Winkel α, der ihr gegenüberliegt. Abhilfe: Erst die Skizze beschriften, dann die Formel aufschreiben.
- Taschenrechner im Bogenmaß. sin 30 im Bogenmaß ist etwa −0,988, nicht 0,5. Abhilfe: Auf „D“ bzw. „DEG“ im Display achten.
- Kosinussatz in falscher Reihenfolge rechnen. b² + c² − 2bc · cos α ist nicht (b² + c² − 2bc) · cos α. Abhilfe: Erst 2bc · cos α berechnen, dann abziehen.
- Die zweite Lösung übersehen. Beim Winkel über den Sinussatz haben θ und 180° − θ denselben Sinus. Abhilfe: Prüfen, ob 180° − θ ebenfalls ins Dreieck passt.
Schritt für Schritt
Schritt für Schritt
- Skizzieren und beschriftenDreieck zeichnen, Winkel α, β, γ und die Gegenseiten a, b, c eintragen.
- Gegebenes notierenBekannte Seiten und Winkel aufschreiben und markieren, was gesucht ist.
- Satz wählenVollständiges Paar Seite–Gegenwinkel: Sinussatz. SWS oder SSS: Kosinussatz.
- Einsetzen und lösenWerte einsetzen, umstellen, für Winkel sin⁻¹ bzw. cos⁻¹ verwenden.
- PrüfenDer längsten Seite liegt der größte Winkel gegenüber, und die Winkelsumme ist 180°.
Der mehrdeutige Fall. Kennt man zwei Seiten und einen Winkel, der nicht eingeschlossen ist und der kürzeren Seite gegenüberliegt, kann es zwei Dreiecke geben. Mit a = 6, b = 8 und α = 40° ist sin β = 8 · sin 40° ÷ 6 ≈ 0,857, also β ≈ 59,0° oder β ≈ 121,0°. Beides geht, denn 40° + 121,0° ist immer noch weniger als 180°.
Übungsaufgaben
Sinussatz und Kosinussatz
Löse jede Aufgabe und prüfe dann deine Antwort.
- α = 30°, β = 45°, a = 5 cm. Berechne b.
Lösung zeigen
b = 5 · sin 45° ÷ sin 30° ≈ 7,07 cm - α = 35°, β = 75°, c = 12 cm. Berechne a.
Lösung zeigen
γ = 180° − 35° − 75° = 70°; a = 12 · sin 35° ÷ sin 70° ≈ 7,32 cm - a = 8 cm, α = 50°, b = 6 cm. Berechne β.
Lösung zeigen
sin β = 6 · sin 50° ÷ 8 ≈ 0,5745, also β ≈ 35,1° - b = 5 cm, c = 7 cm, α = 60°. Berechne a.
Lösung zeigen
a² = 25 + 49 − 35 = 39, also a ≈ 6,24 cm - b = 8 cm, c = 11 cm, α = 120°. Berechne a.
Lösung zeigen
cos 120° = −0,5, also a² = 64 + 121 + 88 = 273; a ≈ 16,52 cm - a = 9 cm, b = 12 cm, γ = 50°. Berechne c.
Lösung zeigen
c² = 81 + 144 − 216 · cos 50° ≈ 86,16, also c ≈ 9,28 cm - Ein Dreieck hat die Seiten a = 7, b = 5, c = 8. Berechne α.
Lösung zeigen
cos α = (25 + 64 − 49) ÷ 80 = 0,5, also α = 60° - Ein Dreieck hat die Seiten 3, 5 und 7. Berechne den größten Winkel.
Lösung zeigen
cos γ = (9 + 25 − 49) ÷ 30 = −0,5, also 120° - Ein Dreieck hat die Seiten 5, 12 und 13. Berechne mit dem Kosinussatz den Winkel gegenüber von 13.
Lösung zeigen
cos γ = (25 + 144 − 169) ÷ 120 = 0, also 90° (rechtwinklig) - Berechne den Flächeninhalt eines Dreiecks mit a = 6 cm, b = 9 cm und γ = 30°.
Lösung zeigen
½ · 6 · 9 · sin 30° = 13,5 cm² - Berechne den Flächeninhalt eines Dreiecks mit a = 10 cm, b = 12 cm und γ = 75°.
Lösung zeigen
½ · 10 · 12 · sin 75° ≈ 57,96 cm² - Von einem Dreieck kennst du alle drei Seiten. Welcher Satz liefert einen Winkel?
Lösung zeigen
Der Kosinussatz, umgestellt: cos α = (b² + c² − a²) ÷ (2bc) - a = 6 cm, b = 8 cm, α = 40°. Bestimme beide möglichen Werte für β.
Lösung zeigen
sin β ≈ 0,857, also β ≈ 59,0° oder 121,0° (zwei Dreiecke) - Im Dreieck ABC ist α = 40° und a = 10 cm. Kann β = 150° sein?
Lösung zeigen
40° + 150° = 190° > 180°, also nein
Sachaufgaben
Sinussatz und Kosinussatz im Alltag
Löse jede Aufgabe und prüfe dann deine Antwort.
- Zwei Schiffe verlassen einen Hafen. Eines fährt 12 km, das andere 15 km, und ihre Kurse schließen einen Winkel von 70° ein. Wie weit sind sie voneinander entfernt?
Lösung zeigen
d² = 144 + 225 − 360 · cos 70° ≈ 245,87, also d ≈ 15,68 km - Von einem Punkt auf ebenem Boden sieht man die Spitze eines Baumes unter einem Höhenwinkel von 30°. Geht man 20 m näher heran, sind es 45°. Wie hoch ist der Baum?
Lösung zeigen
Der Winkel an der Spitze ist 45° − 30° = 15°; Entfernung vom näheren Punkt = 20 · sin 30° ÷ sin 15° ≈ 38,64 m; Höhe = 38,64 · sin 45° ≈ 27,32 m - Ein dreieckiges Beet hat zwei Seiten von 8 m und 10 m, die einen Winkel von 65° einschließen. Berechne seinen Flächeninhalt.
Lösung zeigen
½ · 8 · 10 · sin 65° ≈ 36,25 m² - Ein Grundstück hat die Seiten 40 m, 50 m und 60 m. Berechne den größten Winkel.
Lösung zeigen
cos θ = (1600 + 2500 − 3600) ÷ 4000 = 0,125, also θ ≈ 82,8° - Zwei 5 m lange Dachsparren treffen sich oben am First, ihre unteren Enden sind 8 m voneinander entfernt. Berechne den Winkel am First.
Lösung zeigen
cos θ = (25 + 25 − 64) ÷ 50 = −0,28, also θ ≈ 106,3°
Häufige Fragen
Gilt der Sinussatz für alle Dreiecke?
Ja, für jedes Dreieck, auch für rechtwinklige. Ist ein Winkel 90°, gilt sin 90° = 1, und der Sinussatz wird zu den bekannten Seitenverhältnissen im rechtwinkligen Dreieck, die dort meist schneller sind.
Gilt der Kosinussatz für alle Dreiecke?
Ja. Im rechtwinkligen Dreieck fällt das Glied 2bc · cos α weg, und er wird zum Satz des Pythagoras. Deshalb nennt man ihn auch eine Verallgemeinerung des Pythagoras.
Was ist der Unterschied zwischen Sinussatz und Kosinussatz?
Der Sinussatz verknüpft Seiten mit den Sinuswerten ihrer Gegenwinkel und braucht ein vollständiges Paar. Der Kosinussatz verknüpft alle drei Seiten mit einem Winkel und hilft bei SWS und SSS.
Was ist der Unterschied zwischen Sinus und Sinussatz?
Der Sinus ist eine Winkelfunktion, im rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis Gegenkathete ÷ Hypotenuse. Der Sinussatz ist eine Aussage über beliebige Dreiecke, die diese Funktion benutzt.
Wie wird der Kosinussatz hergeleitet?
Fällt man die Höhe h von C auf die Seite c, teilt sie c in die Stücke x und c − x. Dann gilt b² = h² + x² und a² = h² + (c − x)². Zieht man ab und setzt x = b · cos α ein, erhält man a² = b² + c² − 2bc · cos α.
Wie wird der Sinussatz hergeleitet?
Mit derselben Höhe h gilt in den beiden rechtwinkligen Teildreiecken h = b · sin α und h = a · sin β. Also b · sin α = a · sin β, und das ist a ÷ sin α = b ÷ sin β.
Kurzes Quiz
Sinussatz und Kosinussatz
Teste dein Wissen mit 4 kurzen Fragen.
Frage 1 von 4
Du kennst zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel. Welcher Satz liefert die dritte Seite?
Üben
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Übungsblätter zu Geometrie und Trigonometrie
Schritt für Schritt üben im ganzen Kurs: Mathe · Klasse 11
Für Erwachsene
Verwandte Themen
Trigonometrie
Die Trigonometrie verbindet Winkel und Seiten im rechtwinkligen Dreieck mit Sinus, Kosinus und Tangens. Damit berechnest du fehlende Seiten oder Winkel.
Satz des Pythagoras
Der Satz des Pythagoras sagt: In einem rechtwinkligen Dreieck gilt a² + b² = c², wobei c die längste Seite ist (die Hypotenuse). Bei den Katheten 3 und 4 ist sie 5.
Winkel
Ein Winkel beschreibt, wie weit sich zwei Linien, die sich in einem Punkt treffen, auseinanderdrehen. Er wird in Grad (°) gemessen: ein rechter Winkel hat 90°, eine ganze Drehung 360°.
Stufenwinkel, Wechselwinkel und Scheitelwinkel
Schneidet eine Gerade zwei Parallelen, sind Stufenwinkel (F) und Wechselwinkel (Z) gleich groß, Nachbarwinkel (C) ergeben 180°. Scheitelwinkel sind immer gleich groß.
Flächeninhalt eines Kreises
Der Flächeninhalt eines Kreises ist π mal Radius zum Quadrat: A = π · r². Bei r = 5 cm sind das etwa 78,5 Quadratzentimeter.
Flächeninhalt eines Trapezes
Addiere die beiden parallelen Seiten, nimm die Hälfte und multipliziere mit der Höhe: A = (a + c) : 2 · h. Bei a = 6 cm, c = 4 cm und h = 3 cm ist A = 15 cm².