Mathe
Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Trapezes?
Kurze Antwort
Addiere die beiden parallelen Seiten, nimm die Hälfte und multipliziere mit der Höhe: A = (a + c) : 2 · h. Bei a = 6 cm, c = 4 cm und h = 3 cm ist A = 15 cm².
In einem Satz
Den Flächeninhalt eines Trapezes berechnest du, indem du die beiden parallelen Seiten addierst, die Summe halbierst und mit der Höhe multiplizierst.
Erklärt
Ein Trapez ist ein Viereck mit (mindestens) zwei parallelen Seiten. In der Schule heißen sie meist a (unten, die Grundseite) und c (oben). Die beiden anderen Seiten b und d sind die Schenkel. Die Höhe h ist der senkrechte Abstand zwischen a und c.
Eimer
Lineal
Bleistift
Die Formel lautet
A = (a + c) : 2 · h, auch geschrieben als A = ½ · (a + c) · h
Weil a, c und h Längen sind, hat der Flächeninhalt eine Flächeneinheit: cm², m², mm².
Woher kommt die Formel? Nimm zwei gleiche Trapeze und drehe eines um 180°. Legst du sie aneinander, entsteht ein Parallelogramm mit der Grundseite a + c und der Höhe h. Seine Fläche ist (a + c) · h. Ein Trapez ist genau die Hälfte davon.
Noch anschaulicher ist die Mittellinie m. Sie verbindet die Mitten der beiden Schenkel und ist genau so lang wie der Durchschnitt der parallelen Seiten: m = (a + c) : 2. Damit wird die Formel ganz kurz: A = m · h, wie beim Rechteck Länge mal Breite. Sind a und c gleich lang, ist das Trapez ein Parallelogramm mit A = a · h. Schrumpft c auf null, wird es ein Dreieck mit A = a · h : 2, siehe Flächeninhalt eines Dreiecks.
Besondere Trapeze, für die dieselbe Formel gilt:
- Rechtwinkliges Trapez: Ein Schenkel steht senkrecht auf a und c. Dieser Schenkel ist die Höhe.
- Gleichschenkliges Trapez: Die Schenkel b und d sind gleich lang, das Trapez ist achsensymmetrisch. Fehlt die Höhe, findest du sie mit dem Satz des Pythagoras.
- Allgemeines Trapez: verschieden lange Schenkel, keine rechten Winkel.
Mehr über Flächen allgemein steht bei Flächeninhalt.
Beispiele
| a | c | h | m = (a + c) : 2 | A = m · h |
|---|---|---|---|---|
| 6 cm | 4 cm | 3 cm | 5 cm | 15 cm² |
| 9 m | 5 m | 4 m | 7 m | 28 m² |
| 8 cm | 3 cm | 5 cm | 5,5 cm | 27,5 cm² |
| 14 mm | 10 mm | 7 mm | 12 mm | 84 mm² |
| 4,5 m | 2,5 m | 2 m | 3,5 m | 7 m² |
Beispiel ohne gegebene Höhe: Ein gleichschenkliges Trapez hat a = 10 cm, c = 4 cm und Schenkel von 5 cm. Die Grundseite steht links und rechts je (10 − 4) : 2 = 3 cm über. An jedem Ende entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse 5 cm und Kathete 3 cm, also h = √(5² − 3²) = √16 = 4 cm. Dann A = (10 + 4) : 2 · 4 = 28 cm².
Häufige Fehler
- Den Schenkel als Höhe nehmen. Die Höhe steht senkrecht auf den parallelen Seiten. Achte auf die gestrichelte Linie mit dem Zeichen für den rechten Winkel.
- Das Halbieren vergessen. (a + c) · h ist die Fläche von zwei Trapezen. Immer : 2 rechnen.
- Die falschen Seiten addieren. In die Klammer gehören nur die parallelen Seiten a und c, nicht die Schenkel.
- Einheiten mischen. Stehen a und c in m und h in cm, rechne erst um. Und schreibe cm², nicht cm.
Schritt für Schritt
Schritt für Schritt
- Parallele Seiten findenDas sind a und c. Welche du a nennst, ist egal.
- Höhe bestimmenDer senkrechte Abstand von a und c. Fehlt sie: beim rechtwinkligen Trapez den senkrechten Schenkel nehmen, beim gleichschenkligen Trapez Pythagoras.
- Mittellinie ausrechnenM = (a + c) : 2.
- Mit der Höhe multiplizierenA = m · h.
- Einheit prüfenCm², m² oder mm². Probe: A liegt zwischen c · h und a · h.
Umgekehrt: Kennst du den Flächeninhalt, stellst du die Formel um. h = 2 · A : (a + c), und eine fehlende parallele Seite ist c = 2 · A : h − a.
Übungsaufgaben
Flächeninhalt des Trapezes berechnen
Löse jede Aufgabe und prüfe dann deine Antwort.
- a = 5 cm, c = 3 cm, h = 4 cm.
Lösung zeigen
(5 + 3) : 2 · 4 = 4 · 4 = 16 cm² - a = 8 cm, c = 6 cm, h = 5 cm.
Lösung zeigen
14 : 2 · 5 = 7 · 5 = 35 cm² - a = 10 m, c = 4 m, h = 6 m.
Lösung zeigen
14 : 2 · 6 = 7 · 6 = 42 m² - a = 12 cm, c = 7 cm, h = 8 cm.
Lösung zeigen
19 : 2 · 8 = 9,5 · 8 = 76 cm² - a = 5,5 cm, c = 2,5 cm, h = 3 cm.
Lösung zeigen
8 : 2 · 3 = 12 cm² - a = 9 cm, c = 6 cm, h = 7 cm.
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15 : 2 · 7 = 7,5 · 7 = 52,5 cm² - Ein rechtwinkliges Trapez hat a = 9 cm, c = 5 cm und einen senkrechten Schenkel von 6 cm. Berechne A.
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Der Schenkel ist die Höhe: 14 : 2 · 6 = 42 cm² - a = 1,8 m, c = 1,2 m, h = 50 cm. Gib A in m² an.
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h = 0,5 m; 3 : 2 · 0,5 = 0,75 m² - Ein Trapez hat A = 60 cm², a = 13 cm und c = 7 cm. Berechne h.
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60 = 20 : 2 · h = 10 · h, also h = 6 cm - Ein Trapez hat A = 45 m², h = 5 m und a = 10 m. Wie lang ist c?
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45 = (10 + c) : 2 · 5, also 10 + c = 18 und c = 8 m - Ein Trapez hat A = 24 cm² und h = 4 cm. Wie groß ist a + c?
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a + c = 2 · 24 : 4 = 12 cm - Ein gleichschenkliges Trapez hat a = 12 cm, c = 6 cm und Schenkel von 5 cm. Berechne A.
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Überstand (12 − 6) : 2 = 3 cm; h = √(25 − 9) = 4 cm; A = 9 · 4 = 36 cm² - Ein gleichschenkliges Trapez hat a = 26 cm, c = 10 cm und Schenkel von 17 cm. Berechne A.
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Überstand 8 cm; h = √(289 − 64) = √225 = 15 cm; A = 18 · 15 = 270 cm² - Ein rechtwinkliges Trapez hat a = 7 cm, c = 4 cm und h = 4 cm. Berechne Umfang und Flächeninhalt.
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Schräger Schenkel = √(3² + 4²) = 5 cm; u = 7 + 4 + 4 + 5 = 20 cm; A = 5,5 · 4 = 22 cm² - Zeige: Wenn a = c ist, ergibt die Formel a · h.
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(a + a) : 2 · h = 2a : 2 · h = a · h, der Flächeninhalt eines Parallelogramms
Sachaufgaben
Trapeze im Alltag
Löse jede Aufgabe und prüfe dann deine Antwort.
- Ein Beet hat die Form eines Trapezes mit den parallelen Seiten 5 m und 3 m im Abstand von 2 m. Ein Sack Erde reicht für 2 m². Wie viele Säcke braucht man?
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A = 8 : 2 · 2 = 8 m²; 8 : 2 = 4 Säcke - Eine Dachfläche ist ein Trapez mit a = 12 m, c = 8 m und h = 3 m. Wie groß ist sie?
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20 : 2 · 3 = 30 m² - Ein Feld hat die Form eines Trapezes mit den parallelen Seiten 120 m und 80 m im Abstand von 50 m. Wie groß ist es?
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200 : 2 · 50 = 5000 m² (ein halber Hektar) - Der Querschnitt eines Grabens ist ein Trapez: oben 3 m breit, unten 1,4 m, 1,2 m tief. Wie groß ist die Querschnittsfläche?
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4,4 : 2 · 1,2 = 2,64 m² - Ein Trog ist ein Prisma von 100 cm Länge. Seine Stirnfläche ist ein Trapez mit a = 30 cm, c = 20 cm und h = 10 cm. Wie viel Wasser passt hinein?
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Stirnfläche = 50 : 2 · 10 = 250 cm²; V = 250 · 100 = 25 000 cm³ = 25 Liter - Eine Wand ist ein Trapez: unten 4 m, oben 6 m breit, 2,5 m hoch. Ein Liter Farbe reicht für 10 m². Wie viel Farbe braucht man?
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A = 10 : 2 · 2,5 = 12,5 m²; 12,5 : 10 = 1,25 Liter
Häufige Fragen
Wie lautet die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes?
A = (a + c) : 2 · h, wobei a und c die parallelen Seiten sind und h die Höhe. Mit der Mittellinie m = (a + c) : 2 heißt sie kurz A = m · h.
Wie berechnet man den Flächeninhalt eines gleichschenkligen Trapezes?
Mit derselben Formel. Ist die Höhe nicht gegeben, berechnest du zuerst den Überstand (a − c) : 2 und dann mit Pythagoras h = √(Schenkel² − Überstand²).
Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Trapezes ohne Höhe?
Du musst die Höhe zuerst bestimmen: beim gleichschenkligen Trapez mit Pythagoras, beim rechtwinkligen Trapez ist es der senkrechte Schenkel. Sind bei einem allgemeinen Trapez alle vier Seiten bekannt, zerlegt man es in ein Parallelogramm und ein Dreieck; das ist aufwendiger.
Wie kann man die Trapezformel herleiten?
Zwei gleiche Trapeze, eines um 180° gedreht, ergeben ein Parallelogramm mit Grundseite a + c und Höhe h. Oder du zerlegst das Trapez mit einer Diagonale in zwei Dreiecke mit derselben Höhe h: a · h : 2 + c · h : 2 = (a + c) : 2 · h.
Was hat ein Trapez mit rechtem Winkel für einen Flächeninhalt?
Beim rechtwinkligen Trapez ist der senkrechte Schenkel die Höhe. Mit a = 9 cm, c = 5 cm und diesem Schenkel 6 cm: A = 14 : 2 · 6 = 42 cm².
Was ist der Unterschied zwischen Flächeninhalt und Umfang beim Trapez?
Der Flächeninhalt (in cm²) braucht a, c und h. Der Umfang (in cm) ist die Summe aller vier Seiten, u = a + b + c + d; dafür brauchst du die Schenkel, nicht die Höhe.
Kurzes Quiz
Flächeninhalt eines Trapezes
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Frage 1 von 5
Wie lautet die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes mit den parallelen Seiten a und c und der Höhe h?
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Für Erwachsene
Verwandte Themen
Flächeninhalt
Der Flächeninhalt ist die Größe der ebenen Fläche innerhalb einer Form, gemessen in Quadrateinheiten wie cm² oder m². Ein Rechteck mit 4 cm und 3 cm hat 4 · 3 = 12 cm².
Vierecke
Ein Viereck ist jede ebene Figur mit vier geraden Seiten. Quadrat, Rechteck, Raute, Parallelogramm, Trapez und Drachenviereck sind Vierecke, ihre Winkel ergeben zusammen 360 Grad.
Flächeninhalt eines Dreiecks
Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist die Hälfte von Grundseite mal Höhe: A = ½ · g · h. Bei g = 8 cm und h = 5 cm sind das 20 Quadratzentimeter.
Umfang
Der Umfang ist die gesamte Strecke einmal um den Rand einer ebenen Figur. Bei einem Rechteck mit 5 cm Länge und 3 cm Breite sind das 5 + 3 + 5 + 3 = 16 cm.
Stufenwinkel, Wechselwinkel und Scheitelwinkel
Schneidet eine Gerade zwei Parallelen, sind Stufenwinkel (F) und Wechselwinkel (Z) gleich groß, Nachbarwinkel (C) ergeben 180°. Scheitelwinkel sind immer gleich groß.
Flächeninhalt eines Kreises
Der Flächeninhalt eines Kreises ist π mal Radius zum Quadrat: A = π · r². Bei r = 5 cm sind das etwa 78,5 Quadratzentimeter.