Mathe
Wie berechnet man das Volumen von Kegel und Kugel?
Kurze Antwort
Das Volumen eines Kegels ist V = ⅓πr²h, das einer Kugel V = ⁴⁄₃πr³. Dabei ist r der Radius und h die Höhe. Das Ergebnis hat eine Volumeneinheit wie cm³.
In einem Satz
Ein Kegel füllt ein Drittel des Zylinders, in den er genau hineinpasst, deshalb gilt V = ⅓πr²h; das Volumen einer Kugel ist V = ⁴⁄₃πr³.
Erklärt
Das Volumen gibt an, wie viel Raum ein Körper einnimmt. Man misst es in Volumeneinheiten wie cm³ oder m³ (siehe Volumen). Beim Zylinder ist es einfach: Grundfläche mal Höhe, also πr²h. Kegel und Kugel sind etwas kniffliger, aber für beide gibt es eine kurze Formel.
Eis
Ball
Globus
Volumen des Kegels: V = ⅓ · π · r² · h
Dabei ist r der Radius der kreisförmigen Grundfläche und h die Höhe, also der senkrechte Abstand von der Spitze zur Grundfläche. Die Formel heißt: Berechne den Flächeninhalt des Kreises unten, πr², multipliziere ihn mit der Höhe und teile durch 3. Warum ein Drittel? Füllt man einen Kegel mit Wasser und gießt es in einen Zylinder mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe, braucht man genau drei Kegelfüllungen. Bei der Pyramide ist es genauso: V = ⅓ · G · h.
Volumen der Kugel: V = ⁴⁄₃ · π · r³
Hier ist r der Radius, der Abstand vom Mittelpunkt zur Oberfläche. Der griechische Mathematiker Archimedes fand heraus, dass eine Kugel genau zwei Drittel des Zylinders ausfüllt, der sie umschließt (Radius r, Höhe 2r). Dieser Zylinder hat das Volumen πr² · 2r = 2πr³, und zwei Drittel davon sind ⁴⁄₃πr³. Eine Halbkugel hat die Hälfte: ⅔πr³.
Es gibt einen schönen Zusammenhang zwischen den drei Körpern. Nimm einen Kegel, eine Kugel und einen Zylinder, alle mit Radius r und Höhe 2r. Ihre Volumen sind ⅔πr³, ⁴⁄₃πr³ und 2πr³, sie stehen also im Verhältnis 1 : 2 : 3.
Zwei Dinge solltest du beachten. Beide Formeln brauchen den Radius: Ist der Durchmesser gegeben, halbiere ihn zuerst. Und weil der Radius bei der Kugel hoch drei genommen wird, verändert schon ein kleiner Unterschied in r das Volumen stark: Verdoppelt sich der Radius, wird das Volumen 2³ = 8-mal so groß. Du kannst das Ergebnis exakt mit π angeben (36π cm³) oder mit dem Taschenrechner runden (113,1 cm³).
Beispiele
| Körper | Rechnung | Volumen |
|---|---|---|
| Kegel, r = 3 cm, h = 10 cm | ⅓ · π · 9 · 10 | 30π ≈ 94,2 cm³ |
| Kegel, d = 8 cm, h = 6 cm | r = 4; ⅓ · π · 16 · 6 | 32π ≈ 100,5 cm³ |
| Kugel, r = 5 cm | ⁴⁄₃ · π · 125 | ⁵⁰⁰⁄₃π ≈ 523,6 cm³ |
| Kugel, d = 6 cm | r = 3; ⁴⁄₃ · π · 27 | 36π ≈ 113,1 cm³ |
| Halbkugel, r = 6 cm | ⅔ · π · 216 | 144π ≈ 452,4 cm³ |
Beispiel mit der Mantellinie: Ein Kegel hat den Radius 5 cm und die Mantellinie s = 13 cm (die schräge Seite, nicht die Höhe). Radius, Höhe und Mantellinie bilden ein rechtwinkliges Dreieck, also gilt nach dem Satz des Pythagoras h = √(13² − 5²) = √144 = 12 cm. Dann ist V = ⅓ · π · 25 · 12 = 100π ≈ 314,2 cm³.
Häufige Fehler
- Durchmesser statt Radius einsetzen. Lösung: Durchmesser halbieren. Ein Ball mit d = 10 cm hat r = 5 cm.
- Die Mantellinie als Höhe nehmen. Lösung: Die Höhe steht senkrecht auf der Grundfläche. Mit Pythagoras: h = √(s² − r²).
- Das ⅓ beim Kegel vergessen (dann hat man das Zylindervolumen) oder bei der Kugel ⁴⁄₃πr² schreiben. Lösung: Bei der Kugel steht der Radius hoch drei, r³.
- Falsche Einheit. Ein Volumen hat cm³ oder m³, nicht cm². Und 1 cm³ = 1 ml.
Schritt für Schritt
Schritt für Schritt
- Radius bestimmenIst der Durchmesser gegeben, teile ihn durch 2.
- Höhe bestimmen (nur beim Kegel)Nimm die senkrechte Höhe. Kennst du nur die Mantellinie s, rechne h = √(s² − r²).
- Formel wählenKegel: V = ⅓πr²h. Kugel: V = ⁴⁄₃πr³. Halbkugel: V = ⅔πr³.
- Einsetzen und rechnenZuerst den Radius quadrieren oder hoch drei nehmen, dann multiplizieren. Lass π stehen, wenn du ein exaktes Ergebnis willst.
- Runden und Einheit dazuschreibenRunde wie verlangt (oft auf eine Nachkommastelle) und schreibe cm³ oder m³.
Rückwärts rechnen: Um den Radius einer Kugel aus dem Volumen zu bestimmen, stellst du nach r³ um, r³ = 3V : (4π), und ziehst die dritte Wurzel. Beim Kegel nach h umgestellt: h = 3V : (πr²).
Übungsaufgaben
Volumen von Kegel und Kugel
Löse jede Aufgabe und prüfe dann deine Antwort.
- Berechne das Volumen eines Kegels mit r = 3 cm und h = 7 cm.
Lösung zeigen
⅓ · π · 9 · 7 = 21π ≈ 66,0 cm³ - Berechne das Volumen eines Kegels mit r = 6 cm und h = 5 cm.
Lösung zeigen
⅓ · π · 36 · 5 = 60π ≈ 188,5 cm³ - Ein Kegel hat den Durchmesser 10 cm und die Höhe 9 cm. Berechne sein Volumen.
Lösung zeigen
r = 5; ⅓ · π · 25 · 9 = 75π ≈ 235,6 cm³ - Berechne das Volumen einer Kugel mit r = 3 cm.
Lösung zeigen
⁴⁄₃ · π · 27 = 36π ≈ 113,1 cm³ - Berechne das Volumen einer Kugel mit r = 6 cm.
Lösung zeigen
⁴⁄₃ · π · 216 = 288π ≈ 904,8 cm³ - Eine Kugel hat den Durchmesser 10 cm. Berechne ihr Volumen.
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r = 5; ⁴⁄₃ · π · 125 ≈ 523,6 cm³ - Berechne das Volumen einer Kugel mit r = 1,5 m.
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⁴⁄₃ · π · 3,375 = 4,5π ≈ 14,1 m³ - Berechne das Volumen einer Halbkugel mit r = 3 cm.
Lösung zeigen
⅔ · π · 27 = 18π ≈ 56,5 cm³ - Gib das Volumen eines Kegels mit r = 2 cm und h = 9 cm exakt mit π an.
Lösung zeigen
⅓ · π · 4 · 9 = 12π cm³ - Ein Kegel hat r = 8 cm und die Mantellinie s = 10 cm. Berechne sein Volumen.
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h = √(100 − 64) = 6; ⅓ · π · 64 · 6 = 128π ≈ 402,1 cm³ - Eine Kugel hat das Volumen 36π cm³. Wie groß ist ihr Radius?
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⁴⁄₃r³ = 36, also r³ = 27 und r = 3 cm - Ein Kegel hat das Volumen 50π cm³ und den Radius 5 cm. Wie hoch ist er?
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⅓ · 25 · h = 50, also 25h = 150 und h = 6 cm - Was ist größer: ein Kegel mit r = 3 cm und h = 12 cm oder eine Kugel mit r = 3 cm?
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Kegel: ⅓ · π · 9 · 12 = 36π. Kugel: 36π. Beide sind gleich groß. - Ein Eis besteht aus einem Kegel (r = 3 cm, h = 10 cm) mit einer Halbkugel (r = 3 cm) obendrauf. Berechne das Gesamtvolumen.
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30π + 18π = 48π ≈ 150,8 cm³ - Von einem Kegel mit r = 6 cm und h = 12 cm wird die Spitze abgeschnitten, ein kleiner Kegel mit r = 3 cm und h = 6 cm. Wie groß ist das Volumen des Kegelstumpfs?
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144π − 18π = 126π ≈ 395,8 cm³
Sachaufgaben
Kegel und Kugeln im Alltag
Löse jede Aufgabe und prüfe dann deine Antwort.
- Ein Fußball hat etwa 22 cm Durchmesser. Wie groß ist ungefähr sein Volumen?
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r = 11; ⁴⁄₃ · π · 1331 ≈ 5575 cm³ (etwa 5,6 Liter) - Ein kegelförmiger Papierbecher hat r = 4 cm und h = 9 cm. Wie viel Wasser passt hinein?
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⅓ · π · 16 · 9 = 48π ≈ 150,8 cm³, also etwa 151 ml - Ein Sandhaufen ist ein Kegel mit r = 2 m und h = 1,5 m. Wie groß ist sein Volumen?
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⅓ · π · 4 · 1,5 = 2π ≈ 6,3 m³ - Eine Metallkugel mit r = 6 cm wird eingeschmolzen und zu Kegeln mit r = 3 cm und h = 4 cm gegossen. Wie viele Kegel entstehen?
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Kugel 288π, jeder Kegel 12π: 288 : 12 = 24 Kegel - Eine halbkugelförmige Schüssel hat r = 12 cm. Wie viele Liter passen hinein?
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⅔ · π · 1728 = 1152π ≈ 3619 cm³ ≈ 3,6 Liter - Ein hohler Ball (Kugelschale) hat außen r = 5 cm und innen r = 4 cm. Wie viel Gummi steckt darin?
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⁴⁄₃π(125 − 64) = ⁴⁄₃π · 61 ≈ 255,5 cm³
Häufige Fragen
Was ist die Formel für das Volumen eines Kegels?
V = ⅓ · G · h = ⅓πr²h. G = πr² ist die Grundfläche, h die Höhe. Der Kegel hat also ein Drittel des Volumens eines Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe.
Was ist die Formel für das Volumen einer Kugel?
V = ⁴⁄₃πr³. Mit dem Durchmesser d geht es auch direkt: V = πd³ : 6. Eine Kugel mit 5 cm Durchmesser hat also 125π : 6 ≈ 65,4 cm³.
Wie stellt man die Kegelformel nach h um?
Aus V = ⅓πr²h wird 3V = πr²h und dann h = 3V : (πr²). Beispiel: V = 50π cm³ und r = 5 cm ergeben h = 150π : 25π = 6 cm.
Wie kommt man auf die Kegelformel (Herleitung)?
Ein Kegel füllt genau ein Drittel des Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe; das kann man mit Wasser zeigen. In der Schule wird es oft mit dem Prinzip von Cavalieri begründet, später mit Integralen.
Wie berechnet man das Volumen eines Kegelstumpfs?
Man rechnet das Volumen des ganzen Kegels aus und zieht den abgeschnittenen kleinen Kegel ab. Es gibt auch eine Formel: V = ⅓πh(R² + Rr + r²), mit den Radien R und r der beiden Kreisflächen und der Höhe h des Stumpfs.
Wie berechnet man das Volumen einer Kugelschale?
Man zieht die innere Kugel von der äußeren ab: V = ⁴⁄₃π(R³ − r³). Für R = 5 cm und r = 4 cm sind das etwa 255,5 cm³.
Wie groß ist das Volumen einer Halbkugel?
Die Hälfte der Kugel: V = ⅔πr³. Eine Halbkugel mit r = 3 cm hat 18π ≈ 56,5 cm³.
Kurzes Quiz
Volumen von Kegel und Kugel
Teste dein Wissen mit 4 kurzen Fragen.
Frage 1 von 4
Ein Kegel hat den Radius 3 cm und die Höhe 4 cm. Wie groß ist sein Volumen?
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Übe das Volumen von Zylinder, Kegel und Kugel
Arbeitsblätter zur Geometrie
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Für Erwachsene
Verwandte Themen
Volumen
Das Volumen ist der Raum, den ein 3D-Körper einnimmt, gemessen in Kubikeinheiten wie cm³ oder m³. Ein Quader mit 4 cm, 3 cm und 2 cm Kantenlänge hat ein Volumen von 24 cm³.
3D-Körper
3D-Körper sind feste Formen mit Länge, Breite und Höhe, zum Beispiel Würfel, Kugel, Zylinder und Pyramide. Sie haben Flächen, Kanten und Ecken.
Flächeninhalt eines Kreises
Der Flächeninhalt eines Kreises ist π mal Radius zum Quadrat: A = π · r². Bei r = 5 cm sind das etwa 78,5 Quadratzentimeter.
Oberflächeninhalt
Der Oberflächeninhalt ist die Summe der Flächen aller Außenflächen eines Körpers. Bei einem Würfel mit der Kantenlänge a sind es 6 · a², denn er hat sechs gleich große Quadrate.
Stufenwinkel, Wechselwinkel und Scheitelwinkel
Schneidet eine Gerade zwei Parallelen, sind Stufenwinkel (F) und Wechselwinkel (Z) gleich groß, Nachbarwinkel (C) ergeben 180°. Scheitelwinkel sind immer gleich groß.
Flächeninhalt eines Trapezes
Addiere die beiden parallelen Seiten, nimm die Hälfte und multipliziere mit der Höhe: A = (a + c) : 2 · h. Bei a = 6 cm, c = 4 cm und h = 3 cm ist A = 15 cm².