Mathe
Was sind kongruente Dreiecke, und wie zeigt man, dass zwei Dreiecke kongruent sind?
Kurze Antwort
Kongruente Dreiecke sind deckungsgleich: gleiche Form und gleiche Größe, alle entsprechenden Seiten und Winkel gleich. Man zeigt es mit den Kongruenzsätzen SSS, SWS, WSW und SsW.
In einem Satz
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie genaue Kopien voneinander sind: Jede Seite und jeder Winkel des einen stimmt mit einer Seite und einem Winkel des anderen überein.
Erklärt
Schneide ein Dreieck aus Papier aus und benutze es als Schablone für ein zweites. Die beiden Stücke passen genau aufeinander, auch wenn du eines vorher drehen oder umdrehen musst. Sie sind kongruent, man sagt auch deckungsgleich: gleiche Form und gleiche Größe. Verschiebung, Drehung und Spiegelung ändern weder Längen noch Winkel. Deshalb liefern diese Abbildungen immer eine kongruente Kopie.
Schere
Lineal
Bleistift
Man schreibt △ABC ≅ △DEF: „Dreieck ABC ist kongruent zu Dreieck DEF“. Die Reihenfolge der Buchstaben sagt, was zusammengehört: A zu D, B zu E, C zu F. Also gilt AB = DE, BC = EF und AC = DF, und die Winkel bei A und D, B und E, C und F sind gleich groß.
Ein Dreieck hat sechs Stücke (drei Seiten, drei Winkel), aber man muss nicht alle prüfen. Drei gut gewählte Angaben reichen. Das sind die Kongruenzsätze:
- SSS: Die Dreiecke stimmen in allen drei Seiten überein.
- SWS: Sie stimmen in zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel überein.
- WSW: Sie stimmen in einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln überein. Weil die Winkelsumme 180° ist, reichen auch eine Seite und zwei beliebige gleich liegende Winkel (oft SWW genannt).
- SsW: Sie stimmen in zwei Seiten und dem Winkel überein, der der größeren dieser Seiten gegenüberliegt.
Ein wichtiger Sonderfall von SsW: Zwei rechtwinklige Dreiecke mit gleicher Hypotenuse und einer gleichen Kathete sind kongruent, denn der rechte Winkel liegt immer der längsten Seite gegenüber.
Zwei Kombinationen reichen nicht. WWW zeigt nur, dass die Dreiecke ähnlich sind: gleiche Form, aber vielleicht andere Größe. Und sSW, also zwei Seiten und ein Winkel, der der kleineren Seite gegenüberliegt, kann zwei verschiedene Dreiecke ergeben.
Weiß man, dass zwei Dreiecke kongruent sind, sind auch alle anderen entsprechenden Stücke gleich. So nutzt man Kongruenz in Beweisen, zum Beispiel um zu zeigen, dass die Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck gleich groß sind.
Beispiele
| In beiden Dreiecken gegeben | Kongruenzsatz | Kongruent? |
|---|---|---|
| Seiten 5, 7 und 8 cm | SSS | ja |
| Seiten 6 und 9 cm mit eingeschlossenem Winkel 50° | SWS | ja |
| Winkel 40° und 70° an einer 10 cm langen Seite | WSW | ja |
| Winkel 30°, 60° und 90°, Hypotenusen 10 cm und 12 cm | keiner | nein (nur ähnlich) |
| rechter Winkel, Hypotenuse 13 cm, eine Kathete 5 cm | SsW | ja (die andere Kathete ist in beiden 12 cm) |
Ein Beweis. Im Drachenviereck ABCD gilt AB = AD und CB = CD. Ist △ABC ≅ △ADC? AB = AD (gegeben), CB = CD (gegeben), und AC gehört zu beiden Dreiecken. Drei gleiche Seiten: SSS, also ja. Deshalb sind auch die Winkel bei B und D gleich groß.
Häufige Fehler
- WWW verwenden. Gleiche Winkel zeigen nur Ähnlichkeit. Abhilfe: Es muss mindestens eine gleich lange Seite dabei sein.
- SWS mit dem falschen Winkel. Der Winkel muss zwischen den beiden Seiten liegen. Sonst prüfe, ob SsW gilt: Der Winkel muss der größeren Seite gegenüberliegen.
- Buchstaben in falscher Reihenfolge. △ABC ≅ △DEF heißt A↔D, B↔E, C↔F. Abhilfe: Erst die Ecken mit gleichen Winkeln zuordnen, dann aufschreiben.
- „Geschenkte“ Angaben übersehen. Eine gemeinsame Seite, Scheitelwinkel und Winkel an Parallelen (Stufen- und Wechselwinkel) sind gleich, ohne dass es dasteht. Danach zuerst suchen.
Schritt für Schritt
Schritt für Schritt
- Figur markierenGleich lange Seiten und gleich große Winkel aus der Aufgabe mit gleichen Zeichen markieren.
- Geschenkte Angaben suchenGemeinsame Seite, Scheitelwinkel, Stufen- oder Wechselwinkel, rechter Winkel.
- Kongruenzsatz wählenSSS, SWS, WSW oder SsW? Bei SWS prüfen, ob der Winkel wirklich eingeschlossen ist.
- AufschreibenDie Dreiecke mit entsprechenden Ecken in gleicher Reihenfolge nennen, jede Angabe begründen und den Satz angeben.
- FolgernAlle anderen entsprechenden Seiten und Winkel sind jetzt ebenfalls gleich.
Übungsaufgaben
Kongruente Dreiecke
Löse jede Aufgabe und prüfe dann deine Antwort.
- Zwei gleichseitige Dreiecke haben Seiten von 5 cm. Sind sie kongruent?
Lösung zeigen
Alle drei Seiten stimmen überein: ja (SSS) - Zwei Dreiecke haben die Seiten 4 cm, 6 cm und 7 cm. Kongruent? Welcher Satz?
Lösung zeigen
Ja, SSS - Zwei Dreiecke haben die Seiten 5 cm und 8 cm mit eingeschlossenem Winkel 40°. Kongruent? Welcher Satz?
Lösung zeigen
Ja, SWS - Zwei Dreiecke haben die Winkel 50° und 60° an einer 9 cm langen Seite. Kongruent? Welcher Satz?
Lösung zeigen
Ja, WSW - Zwei Dreiecke haben die Winkel 35°, 65° und 80°. Über die Seiten weiß man nichts. Sind sie kongruent?
Lösung zeigen
Nicht unbedingt: WWW zeigt nur Ähnlichkeit. - Zwei Dreiecke haben die Winkel 40° und 75° und eine 6 cm lange Seite gegenüber dem 40°-Winkel. Kongruent?
Lösung zeigen
Ja (SWW, also WSW): Der dritte Winkel ist in beiden 65°. - Zwei rechtwinklige Dreiecke haben eine 10 cm lange Hypotenuse und eine 6 cm lange Kathete. Sind sie kongruent? Wie lang ist die andere Kathete?
Lösung zeigen
Ja, SsW. Die andere Kathete ist √(10² − 6²) = √64 = 8 cm lang, in beiden. - △ABC ≅ △PQR, AB = 7 cm und β = 48°. Bestimme PQ und den Winkel bei Q.
Lösung zeigen
PQ = 7 cm, Winkel bei Q = 48° - △ABC ≅ △XYZ, α = 52° und β = 61°. Bestimme den Winkel bei Z.
Lösung zeigen
γ = 180° − 52° − 61° = 67°, und Z entspricht C: 67° - △KLM ≅ △RST, KL = 3x + 1 und RS = 13. Bestimme x.
Lösung zeigen
3x + 1 = 13, also 3x = 12: x = 4 - △ABC ≅ △DEF mit AB = 5 cm, BC = 6 cm und DF = 4 cm. Bestimme den Umfang von △DEF.
Lösung zeigen
DE = 5, EF = 6, DF = 4: 15 cm - Zwei Dreiecke haben die Seiten 7 cm und 5 cm und einen 30°-Winkel gegenüber der 5-cm-Seite. Müssen sie kongruent sein?
Lösung zeigen
Nein: Der Winkel liegt der kleineren Seite gegenüber (sSW). Zwei verschiedene Dreiecke passen (der Winkel gegenüber der 7-cm-Seite kann etwa 44,4° oder etwa 135,6° groß sein). - Im Drachenviereck ABCD gilt AB = AD und CB = CD. Welcher Satz zeigt △ABC ≅ △ADC?
Lösung zeigen
AB = AD, CB = CD, AC gemeinsam: SSS - Die Strecken AB und CD schneiden sich in M, mit AM = MB und CM = MD. Warum ist △AMC ≅ △BMD?
Lösung zeigen
AM = MB, CM = MD, und die Winkel bei M sind Scheitelwinkel: SWS - Im Dreieck ABC gilt AB = AC, und M ist der Mittelpunkt von BC. Zeige, dass β = γ ist.
Lösung zeigen
AB = AC, BM = CM und AM gemeinsam, also △ABM ≅ △ACM (SSS). Entsprechende Winkel sind gleich: β = γ
Sachaufgaben
Kongruente Dreiecke im Alltag
Löse jede Aufgabe und prüfe dann deine Antwort.
- Zwei Dachbinder bestehen jeweils aus Balken von 3 m, 3 m und 5 m. Haben die Dreiecke dieselbe Form und Größe?
Lösung zeigen
Ja, SSS. Drei feste Seiten legen ein Dreieck vollständig fest: Darum machen Dreiecke Brücken und Dächer stabil. - Um die Breite AB eines Teichs zu bestimmen, gehst du von A zu einem Punkt C und dieselbe Strecke weiter bis D, dann von B über C bis E mit CE = BC. Du misst DE = 42 m. Wie breit ist der Teich?
Lösung zeigen
AC = CD, BC = CE, und die Winkel bei C sind Scheitelwinkel, also △ABC ≅ △DEC (SWS): AB = DE = 42 m - Zwei rechtwinklige Stützen unter einer Rampe haben jeweils eine 2,5 m lange schräge Kante (Hypotenuse) und eine Höhe von 0,7 m. Wie lang ist jeweils die Grundseite? Sind sie kongruent?
Lösung zeigen
Grundseite = √(2,5² − 0,7²) = √5,76 = 2,4 m; kongruent nach SsW - Zwei dreieckige Wimpel werden mit Seiten von 20 cm und 30 cm zugeschnitten, die einen 40°-Winkel einschließen. Ist die dritte Seite gleich lang?
Lösung zeigen
Ja: Die Wimpel sind nach SWS kongruent, also sind alle entsprechenden Stücke gleich. - Gestell 1 hat die Winkel 50° und 60° an einem 8 m langen Balken. Gestell 2 hat die Winkel 60° und 70° an einem 8 m langen Balken. Kongruent?
Lösung zeigen
Beide haben die Winkel 50°, 60°, 70°, aber der 8-m-Balken liegt in Gestell 1 dem 70°-Winkel gegenüber und in Gestell 2 dem 50°-Winkel: nein
Häufige Fragen
Was sind kongruente Dreiecke?
Dreiecke mit gleicher Form und gleicher Größe. Man kann sie so aufeinanderlegen, dass sie sich genau decken, nachdem man eines verschoben, gedreht oder umgeklappt hat.
Welche Kongruenzsätze gibt es?
SSS, SWS, WSW (mit SWW) und SsW. Ein einziger davon reicht, um die Kongruenz zu zeigen.
Wie erkennt man kongruente Dreiecke?
Man sucht drei passende Angaben: drei gleiche Seiten, zwei Seiten mit dem eingeschlossenen Winkel, eine Seite mit zwei Winkeln oder zwei Seiten mit dem Gegenwinkel der größeren. Gemeinsame Seiten und Scheitelwinkel helfen oft.
Warum ist WWW kein Kongruenzsatz?
Weil Dreiecke mit gleichen Winkeln verschieden groß sein können. Ein kleines und ein großes gleichseitiges Dreieck haben beide drei 60°-Winkel, sind aber nicht kongruent, sondern nur ähnlich.
Was ist der Unterschied zwischen kongruent und ähnlich?
Kongruente Dreiecke haben dieselbe Form und dieselbe Größe, ähnliche nur dieselbe Form. Kongruente Dreiecke sind ähnlich mit dem Faktor k = 1.
Was bedeutet „kongruent“?
Das Wort kommt vom lateinischen „congruere“, übereinstimmen. In der Geometrie heißt es „deckungsgleich“; das Zeichen ist ≅.
Kurzes Quiz
Kongruente Dreiecke
Teste dein Wissen mit 4 kurzen Fragen.
Frage 1 von 4
Zwei Dreiecke stimmen in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel überein. Welcher Kongruenzsatz gilt?
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Übungsblätter zur Geometrie
Schritt für Schritt üben im ganzen Kurs: Mathe · Klasse 9
Für Erwachsene
Verwandte Themen
Arten von Dreiecken
Dreiecke werden nach ihren Seiten (gleichseitig, gleichschenklig, ungleichseitig) oder nach ihren Winkeln (spitzwinklig, rechtwinklig, stumpfwinklig) benannt. Die Winkelsumme beträgt immer 180 Grad.
Ähnliche Dreiecke
Ähnliche Dreiecke haben dieselbe Form, aber nicht unbedingt dieselbe Größe. Ihre Winkel sind gleich, und ihre Seitenlängen stehen im selben Verhältnis, dem Ähnlichkeitsfaktor k.
Spiegelung, Drehung und Verschiebung
Abbildungen bewegen eine Figur, ohne ihre Größe oder Form zu ändern. Bei der Verschiebung gleitet sie, bei der Spiegelung klappt sie an einer Achse um, bei der Drehung dreht sie sich um einen Punkt.
Winkel
Ein Winkel beschreibt, wie weit sich zwei Linien, die sich in einem Punkt treffen, auseinanderdrehen. Er wird in Grad (°) gemessen: ein rechter Winkel hat 90°, eine ganze Drehung 360°.
Stufenwinkel, Wechselwinkel und Scheitelwinkel
Schneidet eine Gerade zwei Parallelen, sind Stufenwinkel (F) und Wechselwinkel (Z) gleich groß, Nachbarwinkel (C) ergeben 180°. Scheitelwinkel sind immer gleich groß.
Flächeninhalt eines Kreises
Der Flächeninhalt eines Kreises ist π mal Radius zum Quadrat: A = π · r². Bei r = 5 cm sind das etwa 78,5 Quadratzentimeter.