Mathe
Was sind ähnliche Dreiecke, und wie berechnet man eine fehlende Seite?
Kurze Antwort
Ähnliche Dreiecke haben dieselbe Form, aber nicht unbedingt dieselbe Größe. Ihre Winkel sind gleich, und ihre Seitenlängen stehen im selben Verhältnis, dem Ähnlichkeitsfaktor k.
In einem Satz
Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn das eine eine genaue Vergrößerung (oder Verkleinerung) des anderen ist: gleiche Winkel, Seiten im gleichen Verhältnis.
Erklärt
Fotografiere ein Dreieck mit dem Handy und zoome hinein. Das Dreieck wird größer, aber seine Form bleibt gleich: Die Winkel ändern sich nicht, und alle Seiten wachsen mit demselben Faktor. Das gezoomte und das ursprüngliche Dreieck sind ähnlich. Ähnliche Dreiecke gibt es überall: ein Baum und sein Schatten, eine Rampe und ihre Stützen, ein Bauplan und das echte Grundstück.
Baum
Sonne
Lineal
Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn
- ihre entsprechenden Winkel gleich groß sind und
- ihre entsprechenden Seiten im gleichen Verhältnis stehen.
Dieses Verhältnis ist der Ähnlichkeitsfaktor (auch Streckfaktor) k. Ist das Dreieck ABC ähnlich zum Dreieck DEF, schreibt man ABC ~ DEF. Die Reihenfolge der Buchstaben zählt: A gehört zu D, B zu E und C zu F. Dann gilt
DE : AB = EF : BC = DF : AC = k
Das ist die „Formel“ für ähnliche Dreiecke: ein Bruch für jedes Paar entsprechender Seiten, alle gleich. Im Grunde rechnet man mit Verhältnissen. Ähnliche Figuren entstehen durch eine zentrische Streckung, eventuell zusammen mit Verschiebung, Drehung oder Spiegelung.
Um Ähnlichkeit zu zeigen, muss man nicht alles prüfen. Einer dieser Ähnlichkeitssätze reicht:
- WW (Hauptähnlichkeitssatz): Zwei Winkel stimmen überein. Der dritte dann auch, denn die Winkelsumme im Dreieck ist 180°.
- SSS: Alle drei Seitenverhältnisse sind gleich.
- SWS: Zwei Seitenverhältnisse sind gleich, und der eingeschlossene Winkel stimmt überein.
Ein sehr häufiger Fall ist eine Gerade parallel zu einer Dreiecksseite. Das kleine Dreieck und das ganze Dreieck haben einen Winkel gemeinsam, und die Parallele macht die anderen Winkel gleich (Stufenwinkel). Sie sind also nach WW ähnlich. Genau das steckt hinter den Strahlensätzen.
Längen werden mit k multipliziert, Flächeninhalte aber mit k². Verdoppelt man alle Seiten, wird die Fläche viermal so groß, weil sich Grundseite und Höhe verdoppeln.
Beispiele
| Dreieck 1 | Dreieck 2 | Prüfung | Ähnlich? |
|---|---|---|---|
| Seiten 3, 4, 5 | Seiten 6, 8, 10 | 6/3 = 8/4 = 10/5 = 2 | ja, k = 2 |
| Winkel 40°, 60° | Winkel 60°, 80° | dritte Winkel: 80° und 40° | ja (WW) |
| Seiten 4, 6, 8 | Seiten 6, 9, 13 | 6/4 = 1,5; 9/6 = 1,5; 13/8 = 1,625 | nein |
| Seiten 5 und 8, eingeschlossener Winkel 50° | Seiten 10 und 16, eingeschlossener Winkel 50° | 10/5 = 16/8 = 2 | ja (SWS) |
Eine Seite berechnen. ABC ~ DEF mit AB = 4 cm, BC = 6 cm und DE = 10 cm. Der Ähnlichkeitsfaktor ist k = 10 : 4 = 2,5, also EF = 6 · 2,5 = 15 cm.
Schatten. Eine 1,5 m große Person wirft einen 2 m langen Schatten. Zur gleichen Zeit wirft ein Baum einen 12 m langen Schatten. Die Sonnenstrahlen fallen bei beiden im gleichen Winkel ein, also sind die Dreiecke ähnlich: Höhe : Schatten ist gleich. Höhe des Baums = 1,5 · 12 : 2 = 9 m.
Häufige Fehler
- Falsche Seiten zuordnen. Abhilfe: Seiten über den gegenüberliegenden Winkel zuordnen, kürzeste zu kürzester, längste zu längster. Ist ein Dreieck gedreht oder gespiegelt, beide gleich ausgerichtet neu zeichnen.
- Addieren statt multiplizieren. Von 4 auf 10 ist „· 2,5“, nicht „+ 6“. Alle Seiten werden mit demselben Faktor multipliziert.
- k für die Fläche nehmen. Bei k = 3 wird die Fläche 3² = 9-mal so groß, nicht 3-mal.
- Nur ein Teilstück nehmen. Bei der Parallelen im Dreieck vergleicht man das kleine Dreieck mit dem ganzen großen: AB, nicht nur DB.
Schritt für Schritt
Schritt für Schritt
- Ähnlichkeit begründenMit WW, SSS oder SWS. Oft reichen zwei gleiche Winkel oder eine Parallele.
- Ecken zuordnenFestlegen, welche Ecke zu welcher gehört. Wenn es hilft, beide Dreiecke gleich ausgerichtet nebeneinander zeichnen.
- Ähnlichkeitsfaktor bestimmenEin Paar bekannter entsprechender Seiten wählen: k = neue Länge : ursprüngliche Länge.
- Fehlende Seite berechnenMit k multiplizieren, um vom kleinen zum großen Dreieck zu kommen; durch k teilen für den umgekehrten Weg.
- PrüfenDas größere Dreieck muss die längeren Seiten haben, und alle Verhältnisse müssen dasselbe k ergeben.
Man kann auch eine Verhältnisgleichung aufstellen und über Kreuz multiplizieren: Aus 4/10 = 6/x folgt 4x = 60, also x = 15. Das ist dieselbe Rechnung wie mit dem Faktor k.
Übungsaufgaben
Ähnliche Dreiecke
Löse jede Aufgabe und prüfe dann deine Antwort.
- Ein Dreieck mit den Seiten 2, 3 und 4 cm wird mit dem Faktor 3 vergrößert. Wie lang sind die neuen Seiten?
Lösung zeigen
2 · 3, 3 · 3, 4 · 3 = 6, 9 und 12 cm - Sind Dreiecke mit den Seiten 5, 12, 13 und 10, 24, 26 ähnlich?
Lösung zeigen
10/5 = 24/12 = 26/13 = 2: ja, mit k = 2 - Sind Dreiecke mit den Seiten 3, 5, 6 und 6, 10, 11 ähnlich?
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6/3 = 2 und 10/5 = 2, aber 11/6 ≈ 1,83: nein - Ein Dreieck hat Winkel von 50° und 70°, ein anderes von 70° und 60°. Sind sie ähnlich?
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Der dritte Winkel des ersten ist 180° − 50° − 70° = 60°. Beide haben 50°, 60° und 70°: ja (WW) - Ein Dreieck hat Winkel von 45° und 85°, ein anderes von 45° und 55°. Sind sie ähnlich?
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Dritte Winkel: 50° und 80°. Die Winkel sind 45°, 50°, 85° und 45°, 55°, 80°: nein - ABC ~ PQR mit AB = 6 cm und PQ = 9 cm. Wie groß ist der Ähnlichkeitsfaktor von ABC zu PQR?
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9 : 6 = 1,5 - In denselben Dreiecken ist BC = 8 cm. Berechne QR.
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8 · 1,5 = 12 cm - In denselben Dreiecken ist PR = 15 cm. Berechne AC.
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15 : 1,5 = 10 cm - Zwei ähnliche Dreiecke haben entsprechende Seiten von 4 cm und 10 cm. Das kleinere hat einen Umfang von 15 cm. Wie groß ist der Umfang des größeren?
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k = 10 : 4 = 2,5, also 15 · 2,5 = 37,5 cm - Zwei ähnliche Dreiecke haben den Faktor 3. Das kleinere hat einen Flächeninhalt von 5 cm². Wie groß ist der des größeren?
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5 · 3² = 45 cm² - Zwei ähnliche Dreiecke haben die Flächeninhalte 16 cm² und 36 cm². In welchem Verhältnis stehen ihre Seiten?
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√16 : √36 = 4 : 6 = 2 : 3 - Ein Dreieck hat die Seiten 6 cm und 9 cm mit eingeschlossenem Winkel 40°, ein anderes die Seiten 4 cm und 6 cm mit eingeschlossenem Winkel 40°. Ähnlich?
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6/4 = 9/6 = 1,5 und der eingeschlossene Winkel ist gleich: ja (SWS) - Im Dreieck ABC liegt D auf AB und E auf AC, und DE ist parallel zu BC. AD = 4 cm, AB = 10 cm und DE = 6 cm. Berechne BC.
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ADE ~ ABC (WW, Strahlensatz), k = 10 : 4 = 2,5, also BC = 6 · 2,5 = 15 cm - In derselben Figur ist AE = 5 cm. Berechne AC und EC.
Lösung zeigen
AC = 5 · 2,5 = 12,5 cm, also EC = 12,5 − 5 = 7,5 cm - In einem rechtwinkligen Dreieck teilt die Höhe auf die Hypotenuse diese in Abschnitte von 4 cm und 9 cm. Berechne die Höhe h.
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Die beiden Teildreiecke sind ähnlich: h/4 = 9/h, also h² = 36: h = 6 cm (Höhensatz h² = p · q)
Sachaufgaben
Ähnliche Dreiecke im Alltag
Löse jede Aufgabe und prüfe dann deine Antwort.
- Eine 1,6 m große Schülerin wirft einen 2 m langen Schatten. Zur gleichen Zeit wirft ein Fahnenmast einen 15 m langen Schatten. Wie hoch ist der Mast?
Lösung zeigen
1,6 : 2 = h : 15, also h = 1,6 · 15 : 2 = 12 m - Eine Rampe steigt gleichmäßig an. Eine 0,5 m hohe Stütze steht 2 m (am Boden gemessen) vom Anfang der Rampe entfernt, und die Rampe endet 8 m vom Anfang. Wie hoch ist das Ende?
Lösung zeigen
0,5 : 2 = h : 8, also h = 2 m - Du legst einen Spiegel 10 m vor ein Gebäude auf den Boden und gehst zurück, bis du darin die Dachkante siehst. Du stehst 2 m vom Spiegel entfernt, deine Augen sind 1,5 m über dem Boden. Wie hoch ist das Gebäude?
Lösung zeigen
Die Winkel am Spiegel sind gleich, also sind die Dreiecke ähnlich: h = 1,5 · 10 : 2 = 7,5 m - Ein dreieckiges Segel ist 6 m hoch und hat eine 4 m lange Grundseite. Ein Modellboot hat ein ähnliches Segel, das 30 cm hoch ist. Wie lang ist dessen Grundseite?
Lösung zeigen
k = 30 : 600 = 0,05, also 400 cm · 0,05 = 20 cm - Auf einem Plan hat ein dreieckiger Garten die Seiten 3 cm, 4 cm und 5 cm. In Wirklichkeit ist die kürzeste Seite 12 m lang. Berechne die längste Seite und den Flächeninhalt in Wirklichkeit.
Lösung zeigen
k = 1200 cm : 3 cm = 400, die längste Seite ist also 5 · 400 cm = 20 m. Das Dreieck ist rechtwinklig mit den Katheten 12 m und 16 m: Fläche = ½ · 12 · 16 = 96 m²
Häufige Fragen
Was sind ähnliche Dreiecke?
Dreiecke mit derselben Form, aber eventuell verschiedener Größe: Die Winkel sind gleich, und die Seiten stehen im gleichen Verhältnis, wie bei einem Foto und seiner Vergrößerung.
Wie erkennt man ähnliche Dreiecke?
Am einfachsten an zwei gleich großen Winkeln (Hauptähnlichkeitssatz), die oft durch Parallelen oder einen gemeinsamen Winkel entstehen. Sonst prüft man, ob alle drei Seitenverhältnisse gleich sind.
Was haben ähnliche Dreiecke mit den Strahlensätzen zu tun?
Werden zwei Strahlen von Parallelen geschnitten, entstehen ähnliche Dreiecke mit gemeinsamer Spitze. Die Strahlensätze sind die Seitenverhältnisse dieser ähnlichen Dreiecke.
Was ist der Unterschied zwischen ähnlich und kongruent?
Ähnliche Dreiecke haben dieselbe Form, kongruente Dreiecke dieselbe Form und dieselbe Größe. Kongruente Dreiecke sind ähnlich mit k = 1.
Welches Zeichen steht für „ähnlich“?
Das Zeichen ~: ABC ~ DEF heißt „Dreieck ABC ist ähnlich zu Dreieck DEF“. Für „kongruent“ schreibt man ≅.
Kurzes Quiz
Ähnliche Dreiecke
Teste dein Wissen mit 4 kurzen Fragen.
Frage 1 von 4
Zwei Dreiecke haben beide Winkel von 30° und 70°. Was kann man sagen?
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Ähnliche Dreiecke unbegrenzt üben
Übungsblätter zur Geometrie
Schritt für Schritt üben im ganzen Kurs: Mathe · Klasse 10
Für Erwachsene
Verwandte Themen
Verhältnis
Ein Verhältnis vergleicht zwei oder mehr Mengen und wird mit einem Doppelpunkt geschrieben. Das Verhältnis 2 : 3 heißt: Auf 2 von der einen Sache kommen 3 von der anderen.
Arten von Dreiecken
Dreiecke werden nach ihren Seiten (gleichseitig, gleichschenklig, ungleichseitig) oder nach ihren Winkeln (spitzwinklig, rechtwinklig, stumpfwinklig) benannt. Die Winkelsumme beträgt immer 180 Grad.
Kongruente Dreiecke
Kongruente Dreiecke sind deckungsgleich: gleiche Form und gleiche Größe, alle entsprechenden Seiten und Winkel gleich. Man zeigt es mit den Kongruenzsätzen SSS, SWS, WSW und SsW.
Spiegelung, Drehung und Verschiebung
Abbildungen bewegen eine Figur, ohne ihre Größe oder Form zu ändern. Bei der Verschiebung gleitet sie, bei der Spiegelung klappt sie an einer Achse um, bei der Drehung dreht sie sich um einen Punkt.
Stufenwinkel, Wechselwinkel und Scheitelwinkel
Schneidet eine Gerade zwei Parallelen, sind Stufenwinkel (F) und Wechselwinkel (Z) gleich groß, Nachbarwinkel (C) ergeben 180°. Scheitelwinkel sind immer gleich groß.
Flächeninhalt eines Kreises
Der Flächeninhalt eines Kreises ist π mal Radius zum Quadrat: A = π · r². Bei r = 5 cm sind das etwa 78,5 Quadratzentimeter.