Mathe
Was ist ein Körpernetz, und wie erkenne ich ein Würfelnetz?
Kurze Antwort
Ein Körpernetz ist eine flache Figur, die sich zu einem Körper zusammenfalten lässt. Ein Würfelnetz besteht aus 6 Quadraten, und es gibt genau 11 verschiedene Würfelnetze.
In einem Satz
Ein Körpernetz entsteht, wenn du einen Körper an einigen Kanten aufschneidest und flach ausbreitest: eine ebene Figur, die sich wieder zum Körper falten lässt.
Erklärt
Nimm eine leere Müslipackung, löse vorsichtig die Klebestellen und drück sie flach auf den Tisch. Das Stück Karton in deiner Hand ist das Netz der Schachtel. Alle Flächen sind noch da und hängen an den Faltlinien mit ihren Nachbarn zusammen. Faltest du es wieder zusammen, hast du die Schachtel zurück.
Karton
Schere
Kleber
Die Flächen eines Körpers mit ebenen Flächen sind ebene Figuren, also besteht auch sein Netz aus ebenen Figuren. Um zu wissen, wie ein Netz aussieht, zählst du die Flächen des Körpers und benennst ihre Form (siehe Ecken, Kanten und Flächen):
| Körper | Flächen im Netz |
|---|---|
| Würfel | 6 Quadrate |
| Quader | 6 Rechtecke, je zwei gleich |
| Dreiecksprisma | 2 Dreiecke und 3 Rechtecke |
| Quadratische Pyramide | 1 Quadrat und 4 Dreiecke |
| Tetraeder (dreiseitige Pyramide) | 4 Dreiecke |
| Zylinder | 2 Kreise und 1 Rechteck |
| Kegel | 1 Kreis und 1 Kreisausschnitt (ein „Pizzastück“) |
Ein Körper kann mehrere Netze haben, weil man ihn an verschiedenen Kanten aufschneiden kann. Es gibt genau 11 verschiedene Würfelnetze. Zwei Netze gelten als gleich, wenn das eine nur das gedrehte oder umgedrehte andere ist. Ein Quader mit drei verschiedenen Kantenlängen hat sogar 54 verschiedene Netze.
Nicht jede Figur aus 6 Quadraten ist ein Würfelnetz. Beim Falten können zwei Quadrate auf derselben Seite landen, und an anderer Stelle bleibt ein Loch. Drei schnelle Tests:
- Nie mehr als 4 Quadrate in einer Reihe. Ein fünftes würde auf dem ersten landen.
- Kein 2 × 2-Block aus Quadraten. Vier Quadrate im Block lassen sich nicht falten.
- Gegenüberliegende Flächen berühren sich nie. In einer geraden Reihe aus drei Quadraten liegen das erste und das dritte sich später gegenüber.
Die Kugel ist die Ausnahme: Sie hat kein genaues Netz. Einen Ball kann man nicht flach machen, ohne ihn zu dehnen oder zu zerreißen. Deshalb ist jede flache Weltkarte ein wenig verzerrt.
Mit dem Netz berechnest du auch die Oberfläche: Der Flächeninhalt des Netzes ist der Oberflächeninhalt des Körpers.
Beispiele
- Das Kreuz. Eine Reihe aus 4 Quadraten mit einem Quadrat über und einem unter dem zweiten. Das ist das bekannteste Würfelnetz.
- Die Treppe. Quadrate immer zu zweit: 2, dann 2, dann 2, jedes Paar um ein Quadrat versetzt. Auch daraus wird ein Würfel.
- Ein Zylindernetz. Für eine Dose mit 3 cm Radius und 8 cm Höhe ist das Rechteck 8 cm hoch und so lang wie der Kreisumfang: 2 · π · 3 ≈ 18,8 cm.
- Kein Würfelnetz. Sechs Quadrate als 2 × 3-Rechteck enthalten 2 × 2-Blöcke und lassen sich nicht zum Würfel falten.
Häufige Fehler
- Falsche Anzahl von Flächen. Ein Dreiecksprisma hat 5 Flächen, nicht 6. Tipp: Zähle zuerst die Flächen des Körpers, dann zeichne.
- Glauben, dass beliebige 6 Quadrate einen Würfel ergeben. Tipp: Suche nach Reihen mit 5 oder mehr Quadraten, nach 2 × 2-Blöcken und nach Quadraten, die auf dieselbe Seite fallen würden.
- Das Rechteck im Zylindernetz zu kurz zeichnen. Seine Länge muss dem Kreisumfang (2πr) entsprechen, sonst passen die Kreise nicht.
- Gedrehte Netze als neue Netze zählen. Tipp: Schneide sie aus. Passt eines genau auf das andere, ist es dasselbe Netz.
Schritt für Schritt
Schritt für Schritt
- Flächen zählenBenenne den Körper und schreibe seine Flächen auf, zum Beispiel beim Würfel: 6 Quadrate.
- Mittlere Reihe zeichnenZeichne mit dem Lineal eine Reihe aus 4 gleichen Quadraten, zum Beispiel mit 5 cm Seitenlänge. Das werden die vier Seitenflächen.
- Boden und Deckel ergänzenZeichne ein Quadrat über und eines unter dasselbe Quadrat der Reihe.
- Klebelaschen anfügenZeichne kleine Laschen an 7 der Außenkanten, damit du kleben kannst.
- Ausschneiden, falten, klebenSchneide außen herum, falte alle Linien in dieselbe Richtung und klebe die Laschen innen fest.
Warum 7 Laschen? Ein Würfel hat 12 Kanten. Im Netz sind 5 davon schon durch eine Faltlinie verbunden, also bleiben 12 − 5 = 7 Kanten zum Kleben.
Übungsaufgaben
Körpernetze und Würfelnetze
Löse jede Aufgabe und prüfe dann deine Antwort.
- Wie viele Flächen hat das Netz eines Quaders?
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Ein Quader hat 6 Flächen, also besteht sein Netz aus 6 Rechtecken. - Aus welchen Figuren besteht das Netz eines Dreiecksprismas?
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2 Dreiecke und 3 Rechtecke - Welcher Körper entsteht aus 4 gleichen Dreiecken?
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Ein Tetraeder (dreiseitige Pyramide) - Ein Netz besteht aus 2 Sechsecken und 6 Rechtecken. Welcher Körper entsteht?
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Ein Sechseckprisma - Wie viele Flächen hat das Netz einer fünfseitigen Pyramide?
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1 Fünfeck + 5 Dreiecke = 6 Flächen - Sechs Quadrate in einer geraden Reihe: Ist das ein Würfelnetz?
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Nein. Die Enden würden übereinanderliegen. Ein Würfelnetz hat nie mehr als 4 Quadrate in einer Reihe. - Sechs Quadrate als 2 × 3-Rechteck: Ist das ein Würfelnetz?
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Nein. Es enthält 2 × 2-Blöcke, die sich nicht falten lassen. - Eine Reihe aus 4 Quadraten, dazu ein Quadrat über und eines unter dem zweiten: Ist das ein Würfelnetz?
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Ja, das ist das Kreuz. - Eine Reihe aus 4 Quadraten, die beiden anderen Quadrate beide oberhalb der Reihe: Ist das ein Würfelnetz?
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Nein. Beide zusätzlichen Quadrate klappen auf den Deckel, und der Boden fehlt. - Im Kreuz ist die Reihe mit 1, 2, 3, 4 nummeriert, die Quadrate 5 und 6 liegen über und unter der 2. Welches Quadrat liegt der 1 gegenüber?
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In einer Reihe liegen Quadrate mit einem dazwischen einander gegenüber: die 3. - Ein Würfelnetz besteht aus Quadraten mit 6 cm Seitenlänge. Wie groß ist sein Flächeninhalt?
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6 · 6 · 6 = 216 cm² - Wie groß ist das Netz eines Quaders mit 5 cm, 3 cm und 2 cm Kantenlänge?
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2 · (15 + 10 + 6) = 2 · 31 = 62 cm² - Ein Zylinder hat 7 cm Radius. Wie lang ist das Rechteck in seinem Netz? Rechne mit π ≈ 3,14.
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2 · 3,14 · 7 = 43,96 cm - Jedes Würfelnetz hat 14 Außenkanten. Wie groß ist der Umfang eines Würfelnetzes mit 4-cm-Quadraten?
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14 · 4 = 56 cm
Sachaufgaben
Netze im Alltag
Löse jede Aufgabe und prüfe dann deine Antwort.
- Du bastelst eine würfelförmige Geschenkbox mit 10 cm Kantenlänge. Wie viel Karton brauchst du ohne Klebelaschen?
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6 · 10 · 10 = 600 cm² - Eine Taschentuchbox ist 24 cm lang, 12 cm breit und 10 cm hoch. Wie groß ist ihr Netz ohne Laschen?
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2 · (288 + 240 + 120) = 2 · 648 = 1.296 cm² - Eine Dose hat 4 cm Radius und ist 11 cm hoch. Wie groß ist das Papieretikett, das einmal herumgeht? Rechne mit π ≈ 3,14.
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Länge: 2 · 3,14 · 4 = 25,12 cm, also 25,12 cm mal 11 cm (etwa 276 cm²). - Auf einem Spielwürfel ergeben gegenüberliegende Seiten zusammen 7. In einem Würfelnetz schreibst du eine 3 an ein Ende einer Reihe aus drei Quadraten. Welche Zahl gehört ans andere Ende?
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Die Enden einer Dreierreihe liegen sich gegenüber: 7 − 3 = 4. - Ein Zelt ist ein Dreiecksprisma, 2 m lang. Jede Stirnseite ist ein Dreieck mit 1,6 m Grundseite und 0,6 m Höhe, jede schräge Seite ist 1 m breit. Wie viel Stoff braucht man für die beiden Stirnseiten und die beiden schrägen Seiten?
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Stirnseiten: 2 · (1,6 · 0,6 : 2) = 0,96 m²; schräge Seiten: 2 · 1 · 2 = 4 m²; zusammen 4,96 m²
Häufige Fragen
Was ist ein Körpernetz einfach erklärt?
Ein Körpernetz ist der aufgeklappte, flache Körper. Faltest du es an den Linien zusammen, entsteht der Körper ohne Lücken und ohne Überlappungen.
Wie viele Würfelnetze gibt es?
Genau 11. Alle bestehen aus 6 Quadraten; gedrehte oder gespiegelte Versionen desselben Musters zählen nicht noch einmal.
Wie erkenne ich ein Würfelnetz? Gibt es einen Trick?
Prüfe drei Dinge: 6 Quadrate, keine Reihe mit mehr als 4 und kein 2 × 2-Block. Dann falte im Kopf: Landen zwei Quadrate auf derselben Seite, ist es kein Würfelnetz. Ein guter Trick: Wähle ein Quadrat als Boden und klappe die anderen der Reihe nach hoch.
Was ist kein Würfelnetz?
Jede Figur, die beim Falten eine Lücke lässt oder sich überlappt, zum Beispiel 6 Quadrate in einer Reihe, ein 2 × 3-Rechteck oder eine Viererreihe mit beiden Zusatzquadraten auf derselben Seite.
Wie viele Körpernetze hat ein Quader?
Ein Quader mit drei verschiedenen Kantenlängen hat 54 verschiedene Netze, also viel mehr als der Würfel, weil seine Flächen nicht alle gleich sind.
Wie sieht das Körpernetz einer Kugel aus?
Eine Kugel hat kein genaues Netz, weil man ihre gekrümmte Oberfläche nicht ohne Dehnen flach legen kann. Globen und Fußbälle kommen nahe heran, indem sie viele kleine Teile verwenden.
Wie sieht das Netz von Kegel und Pyramide aus?
Der Kegel: ein Kreis und ein Kreisausschnitt. Die quadratische Pyramide: ein Quadrat, an dessen vier Seiten je ein Dreieck hängt.
Kurzes Quiz
Körpernetze und Würfelnetze
Teste dein Wissen mit 4 kurzen Fragen.
Frage 1 von 4
Aus wie vielen Quadraten besteht ein Würfelnetz?
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Verwandte Themen
3D-Körper
3D-Körper sind feste Formen mit Länge, Breite und Höhe, zum Beispiel Würfel, Kugel, Zylinder und Pyramide. Sie haben Flächen, Kanten und Ecken.
Oberflächeninhalt
Der Oberflächeninhalt ist die Summe der Flächen aller Außenflächen eines Körpers. Bei einem Würfel mit der Kantenlänge a sind es 6 · a², denn er hat sechs gleich große Quadrate.
Flache Formen (2D-Formen)
2D-Formen sind flache Formen mit Länge und Breite, aber ohne Dicke, zum Beispiel Kreis, Dreieck, Quadrat und Sechseck. Du kannst sie auf Papier zeichnen.
Volumen
Das Volumen ist der Raum, den ein 3D-Körper einnimmt, gemessen in Kubikeinheiten wie cm³ oder m³. Ein Quader mit 4 cm, 3 cm und 2 cm Kantenlänge hat ein Volumen von 24 cm³.
Ecken, Kanten und Flächen
Flächen sind die Begrenzungsflächen eines Körpers, Kanten sind die Linien, an denen zwei Flächen zusammenstoßen, und Ecken sind die Spitzen. Ein Würfel hat 8 Ecken, 12 Kanten und 6 Flächen.
Symmetrie
Eine Figur ist symmetrisch, wenn eine Hälfte das Spiegelbild der anderen ist (Achsensymmetrie) oder wenn sie nach einer Drehung wieder gleich aussieht (Drehsymmetrie).