Mathe
Was sind Ecken, Kanten und Flächen bei Körpern, und wie zählt man sie?
Kurze Antwort
Flächen sind die Begrenzungsflächen eines Körpers, Kanten sind die Linien, an denen zwei Flächen zusammenstoßen, und Ecken sind die Spitzen. Ein Würfel hat 8 Ecken, 12 Kanten und 6 Flächen.
In einem Satz
Eine Fläche ist eine Begrenzungsfläche eines Körpers, eine Kante ist die Linie, an der zwei Flächen zusammenstoßen, und eine Ecke ist der Punkt, an dem Kanten zusammentreffen.
Erklärt
Nimm einen Spielwürfel oder einen Karton. Die glatten Seiten, auf die du deine Hand legen kannst, sind die Flächen. Fahr mit dem Finger an einem Knick entlang, an dem zwei Flächen zusammenstoßen: Das ist eine Kante. Halte an einer spitzen Stelle an: Das ist eine Ecke.
Karton
Zelt
Eis
Die Flächen eines Körpers mit ebenen Flächen sind ebene Figuren: Beim Würfel sind es Quadrate, beim Dreiecksprisma 2 Dreiecke und 3 Rechtecke. Klappst du den Körper auf, siehst du alle Flächen auf einmal im Körpernetz.
| Körper | Ecken | Kanten | Flächen |
|---|---|---|---|
| Würfel | 8 | 12 | 6 |
| Quader | 8 | 12 | 6 |
| Dreiecksprisma | 6 | 9 | 5 |
| Fünfeckprisma | 10 | 15 | 7 |
| Sechseckprisma | 12 | 18 | 8 |
| Tetraeder (dreiseitige Pyramide) | 4 | 6 | 4 |
| Quadratische Pyramide | 5 | 8 | 5 |
| Zylinder | 0 | 2 | 3 (2 ebene, 1 gekrümmte) |
| Kegel | 1 Spitze | 1 | 2 (1 ebene, 1 gekrümmte) |
| Kugel | 0 | 0 | 1 gekrümmte |
Du musst die Tabelle nicht auswendig lernen: Prismen und Pyramiden folgen einem Muster. Hat die Grundfläche n Ecken:
- Prisma: Ecken = 2n, Kanten = 3n, Flächen = n + 2. (Grund- und Deckfläche plus n Rechtecke; n Kanten an jeder der beiden n-Eck-Flächen und n senkrechte Kanten.)
- Pyramide: Ecken = n + 1, Kanten = 2n, Flächen = n + 1. (Eine Grundfläche plus n Dreiecke; n Kanten an der Grundfläche und n zur Spitze.)
Für jeden Körper mit ebenen Flächen und ohne Löcher (ein Polyeder) gibt es eine berühmte Probe, den Eulerschen Polyedersatz:
E + F − K = 2 (Ecken + Flächen − Kanten = 2)
Beim Würfel: 8 + 6 − 12 = 2. Kommt beim Nachzählen nicht 2 heraus, hast du etwas übersehen.
Bei runden Körpern (Zylinder, Kegel, Kugel) sind sich die Bücher nicht ganz einig. In der Grundschule sagt man meist: Der Zylinder hat 3 Flächen (2 ebene Kreise und 1 gekrümmte Mantelfläche), 2 gebogene Kanten und keine Ecke. Der Kegel hat 2 Flächen, 1 Kante und eine Spitze; manche Bücher zählen die Spitze als Ecke, viele aber nicht. Der Eulersche Satz gilt nur für Polyeder. Mehr über Körper findest du auf der Seite Geometrische Körper.
Beispiele
- Quadratische Pyramide: Ecken 4 + 1 Spitze = 5; Kanten 4 an der Grundfläche + 4 zur Spitze = 8; Flächen 1 Quadrat + 4 Dreiecke = 5. Probe: 5 + 5 − 8 = 2.
- Sechseckprisma (n = 6): Ecken 2 · 6 = 12, Kanten 3 · 6 = 18, Flächen 6 + 2 = 8. Probe: 12 + 8 − 18 = 2.
- Oktaeder (zwei quadratische Pyramiden, an der Grundfläche zusammengeklebt): 6 Ecken, 12 Kanten, 8 Flächen. Probe: 6 + 8 − 12 = 2.
Häufige Fehler
- Die Rückseite vergessen. Auf einem Bild siehst du nur 3 Flächen des Würfels, er hat aber 6. Tipp: in Gruppen zählen (oben, unten, Seiten) oder einen echten Gegenstand nehmen.
- Eine Kante doppelt zählen. Jede Kante gehört zu zwei Flächen. Tipp: erst die Kanten oben, dann unten, dann die senkrechten zählen.
- Ecken und Kanten verwechseln. Kanten sind Linien, Ecken sind Punkte. Ein Würfel hat mehr Kanten (12) als Ecken (8).
- Den Eulerschen Satz beim Zylinder oder Kegel anwenden. Er gilt nur für Polyeder ohne Löcher.
Schritt für Schritt
Schritt für Schritt
- Körper bestimmenPrisma, Pyramide oder runder Körper? Suche die Grundfläche und zähle ihre Ecken (n).
- Ecken zählenDie Ecken jeder n-Eck-Fläche, bei der Pyramide plus die Spitze: 2n beim Prisma, n + 1 bei der Pyramide.
- Kanten zählenEinmal rund um jede n-Eck-Fläche, dann die Kanten, die sie verbinden oder zur Spitze führen.
- Flächen zählenGrund- und Deckfläche plus Seitenflächen: n + 2 beim Prisma, n + 1 bei der Pyramide.
- Probe mit EulerEcken + Flächen − Kanten muss 2 ergeben.
Übungsaufgaben
Ecken, Kanten und Flächen
Löse jede Aufgabe und prüfe dann deine Antwort.
- Wie viele Flächen hat ein Quader?
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6 - Wie viele Ecken hat ein Würfel?
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4 oben + 4 unten = 8 - Wie viele Kanten hat eine quadratische Pyramide?
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4 an der Grundfläche + 4 zur Spitze = 8 - Wie viele Ecken, Kanten und Flächen hat ein Tetraeder?
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4 Ecken, 6 Kanten, 4 Flächen - Wie viele Ecken, Kanten und Flächen hat ein Dreiecksprisma?
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6 Ecken, 9 Kanten, 5 Flächen - Wie viele Ecken, Kanten und Flächen hat ein Fünfeckprisma?
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n = 5: 2 · 5, 3 · 5, 5 + 2 = 10 Ecken, 15 Kanten, 7 Flächen - Wie viele Ecken, Kanten und Flächen hat eine sechsseitige Pyramide?
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n = 6: 6 + 1, 2 · 6, 6 + 1 = 7 Ecken, 12 Kanten, 7 Flächen - Wie viele Ecken, Kanten und Flächen hat ein Achteckprisma?
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n = 8: 16 Ecken, 24 Kanten, 10 Flächen - Eine Pyramide hat ein Zehneck als Grundfläche. Wie viele Ecken, Kanten und Flächen hat sie?
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11 Ecken, 20 Kanten, 11 Flächen - Prüfe den Eulerschen Satz beim Sechseckprisma.
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12 + 8 − 18 = 2, er stimmt. - Ein Polyeder hat 6 Flächen und 12 Kanten. Wie viele Ecken hat es?
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E = 2 − 6 + 12 = 8 - Ein Polyeder hat 12 Ecken und 30 Kanten. Wie viele Flächen hat es?
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F = 2 + 30 − 12 = 20 - Ein Prisma hat 18 Kanten. Welche Form hat seine Grundfläche?
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3n = 18, also n = 6: ein Sechseck (Sechseckprisma). - Eine Pyramide hat 9 Flächen. Wie viele Kanten hat sie?
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n + 1 = 9, also n = 8 und Kanten = 2 · 8 = 16 - Wie viele Ecken, Kanten und Flächen hat ein Zylinder nach der üblichen Grundschulregel?
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0 Ecken, 2 Kanten, 3 Flächen (2 ebene, 1 gekrümmte) - Jemand behauptet, ein Polyeder habe 10 Ecken, 14 Kanten und 7 Flächen. Kann das stimmen?
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10 + 7 − 14 = 3, nicht 2, also nein.
Sachaufgaben
Ecken, Kanten und Flächen im Alltag
Löse jede Aufgabe und prüfe dann deine Antwort.
- Du baust ein Kantenmodell eines Würfels aus Trinkhalmen und Knetkugeln. Wie viele Halme und wie viele Kugeln brauchst du?
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Ein Halm pro Kante, eine Kugel pro Ecke: 12 Halme und 8 Kugeln - Du baust ein Kantenmodell einer quadratischen Pyramide aus 10 cm langen Halmen. Wie viel Halm brauchst du insgesamt?
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8 Kanten · 10 cm = 80 cm - Du malst jede Fläche eines Dreiecksprismas in einer anderen Farbe an. Wie viele Farben brauchst du?
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5 - Ein Karton ist 30 cm lang, 20 cm breit und 10 cm hoch. Du klebst Klebeband auf alle Kanten. Wie viel Klebeband brauchst du?
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4 · (30 + 20 + 10) = 4 · 60 = 240 cm - Ein klassischer Fußball ist aus 32 Flächen genäht und hat 60 Ecken. Wie viele Nähte (Kanten) hat er?
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K = E + F − 2 = 60 + 32 − 2 = 90
Häufige Fragen
Wie viele Ecken, Kanten und Flächen hat ein Würfel?
8 Ecken, 12 Kanten und 6 quadratische Flächen. Ein Quader, zum Beispiel ein Schuhkarton, hat die gleichen Zahlen.
Wie viele Ecken, Kanten und Flächen hat eine Pyramide?
Das hängt von der Grundfläche ab. Bei n Ecken der Grundfläche hat die Pyramide n + 1 Ecken, 2n Kanten und n + 1 Flächen. Die quadratische Pyramide hat 5 Ecken, 8 Kanten und 5 Flächen.
Wie viele Ecken, Kanten und Flächen hat ein Prisma?
Bei einem n-Eck als Grundfläche: 2n Ecken, 3n Kanten und n + 2 Flächen. Das Dreiecksprisma hat 6 Ecken, 9 Kanten und 5 Flächen.
Wie viele Ecken, Kanten und Flächen hat ein Zylinder?
In der Grundschule zählt man meist 0 Ecken, 2 gebogene Kanten und 3 Flächen: 2 ebene Kreise und 1 gekrümmte Mantelfläche.
Wie viele Ecken, Kanten und Flächen hat ein Kegel?
Der Kegel hat 2 Flächen (1 Kreis und 1 gekrümmte Mantelfläche), 1 Kante und eine Spitze. Ob die Spitze als Ecke zählt, ist von Buch zu Buch verschieden.
Wie viele Ecken, Kanten und Flächen hat eine Kugel?
Keine Ecken und keine Kanten, nur eine einzige gekrümmte Fläche.
Gibt es eine Formel für Ecken, Kanten und Flächen?
Ja, den Eulerschen Polyedersatz: E + F − K = 2 bei jedem Polyeder ohne Löcher. Beim Würfel: 8 + 6 − 12 = 2.
Kurzes Quiz
Ecken, Kanten und Flächen
Teste dein Wissen mit 4 kurzen Fragen.
Frage 1 von 4
Wie viele Kanten hat ein Würfel?
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Arbeitsblätter zu Körpern
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Für Erwachsene
Verwandte Themen
3D-Körper
3D-Körper sind feste Formen mit Länge, Breite und Höhe, zum Beispiel Würfel, Kugel, Zylinder und Pyramide. Sie haben Flächen, Kanten und Ecken.
Flache Formen (2D-Formen)
2D-Formen sind flache Formen mit Länge und Breite, aber ohne Dicke, zum Beispiel Kreis, Dreieck, Quadrat und Sechseck. Du kannst sie auf Papier zeichnen.
Volumen
Das Volumen ist der Raum, den ein 3D-Körper einnimmt, gemessen in Kubikeinheiten wie cm³ oder m³. Ein Quader mit 4 cm, 3 cm und 2 cm Kantenlänge hat ein Volumen von 24 cm³.
Oberflächeninhalt
Der Oberflächeninhalt ist die Summe der Flächen aller Außenflächen eines Körpers. Bei einem Würfel mit der Kantenlänge a sind es 6 · a², denn er hat sechs gleich große Quadrate.
Körpernetze und Würfelnetze
Ein Körpernetz ist eine flache Figur, die sich zu einem Körper zusammenfalten lässt. Ein Würfelnetz besteht aus 6 Quadraten, und es gibt genau 11 verschiedene Würfelnetze.
Symmetrie
Eine Figur ist symmetrisch, wenn eine Hälfte das Spiegelbild der anderen ist (Achsensymmetrie) oder wenn sie nach einer Drehung wieder gleich aussieht (Drehsymmetrie).