Was ist Integration in Mathe und wie berechnet man ein Integral?

Beim Ableiten kommt man von einer Funktion zu ihrer Änderungsrate, zum Beispiel vom Weg zur Geschwindigkeit. Beim Integrieren geht es umgekehrt: von der Änderungsrate zurück zum Bestand, also von der Geschwindigkeit zum Weg.

Eine Stammfunktion F von f ist eine Funktion mit F′ = f. Weil x³ die Ableitung 3x² hat, ist x³ eine Stammfunktion von 3x². Aber auch x³ + 5 und x³ − 2, denn Konstanten fallen beim Ableiten weg. Alle Stammfunktionen zusammen schreibt man als unbestimmtes Integral:

∫3x² dx = x³ + C

Das lang gezogene S, ∫, heißt „Integral von“, dx zeigt die Variable an, und C ist die Integrationskonstante, eine beliebige Zahl.

Die Potenzregel beim Integrieren kehrt die Potenzregel beim Ableiten um:

∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C für alle n ≠ −1

Also: Exponent um 1 erhöhen, dann durch den neuen Exponenten teilen. Aus x² wird x³/3, aus x⁴ wird x⁵/5. Ein Faktor bleibt stehen (Faktorregel: ∫5x² dx = 5x³/3 + C), Summen integriert man gliedweise (Summenregel), und eine Konstante bekommt ein x: ∫7 dx = 7x + C. Für n = −1 müsste man durch 0 teilen; hier gilt ∫(1/x) dx = ln|x| + C.

Die zweite große Idee ist die Fläche. Zerlege die Fläche unter einem Graphen in sehr schmale Rechtecke (Ober- und Untersumme) und addiere ihre Flächen. Je schmaler die Streifen, desto genauer die Summe. Der Grenzwert ist das bestimmte Integral von a bis b, geschrieben ∫ₐᵇ f(x) dx. Berechnet wird es so:

∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a), wobei F eine Stammfunktion von f ist.

Das ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Beim Subtrahieren fällt C weg, darum ist ein bestimmtes Integral eine Zahl. Probe an etwas Bekanntem: Die Fläche unter y = 2x von 0 bis 3 ist ein Dreieck mit Grundseite 3 und Höhe 6, also mit dem Flächeninhalt 9. Mit dem Integral: Eine Stammfunktion von 2x ist x², und 3² − 0² = 9. ✓

Integrale braucht man überall, wo sich eine Rate aufsummiert: der Weg aus der Geschwindigkeit, die Wassermenge aus der Zuflussrate, die Arbeit aus der Kraft, das Volumen eines Rotationskörpers.

Probe: Leite deine Stammfunktion ab. Kommt die Ausgangsfunktion heraus, stimmt das Ergebnis.

Was ist Integration in Mathe?#

Integration heißt, Stammfunktionen zu bestimmen und Integrale zu berechnen, also Flächen unter Graphen oder aufsummierte Änderungen. Mit dem Integrationskurs oder dem Integrationsamt hat das nur das Wort gemeinsam.

Welche Integrationsregeln gibt es?#

Potenzregel ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C (n ≠ −1), Faktorregel, Summenregel, außerdem ∫(1/x) dx = ln|x| + C, ∫eˣ dx = eˣ + C, ∫cos x dx = sin x + C und ∫sin x dx = −cos x + C. Für schwierigere Fälle gibt es Substitution und partielle Integration.

Wie funktioniert Integration durch Substitution?#

Man ersetzt einen Teil des Terms durch eine neue Variable. Bei ∫2x(x² + 1)³ dx setzt man u = x² + 1, dann ist du = 2x dx, und das Integral wird zu ∫u³ du = u⁴/4 + C = (x² + 1)⁴/4 + C. Das ist die Kettenregel rückwärts.

Was ist partielle Integration?#

Eine Regel für bestimmte Produkte: ∫u · v′ dx = u · v − ∫u′ · v dx. Bei ∫x · eˣ dx wählt man u = x und v′ = eˣ und erhält x · eˣ − eˣ + C. Das ist die Produktregel rückwärts.

Was ist die Stammfunktion einer Konstanten?#

Eine Stammfunktion von k ist kx, also ∫ₐᵇ k dx = k · (b − a). Das ist genau die Fläche eines Rechtecks mit Höhe k und Breite b − a.

Was ist der Unterschied zwischen bestimmtem und unbestimmtem Integral?#

Das unbestimmte Integral ist die Menge aller Stammfunktionen (mit + C); das bestimmte Integral mit den Grenzen a und b ist eine Zahl, F(b) − F(a), der orientierte Flächeninhalt.