Mathe

Was ist Drehsymmetrie, und wie findet man ihre Ordnung?

Kurze Antwort

Eine Figur ist drehsymmetrisch, wenn sie nach einer Drehung um weniger als 360° um ihren Mittelpunkt gleich aussieht. Die Ordnung sagt, wie oft sie bei einer vollen Drehung auf sich passt.

8–14 JahreGrundschule

In einem Satz

Eine Figur ist drehsymmetrisch, wenn man sie um ihren Mittelpunkt ein Stück weit drehen kann und sie danach genau so aussieht wie vorher.

Erklärt

Steck eine Nadel in die Mitte eines Papierwindrads und dreh es. Nach einer Vierteldrehung sieht das Windrad genauso aus wie vorher. Das ist Drehsymmetrie: Die Figur passt nach einer Drehung um weniger als eine ganze Umdrehung wieder auf sich selbst. Der Punkt, um den sie sich dreht, ist das Drehzentrum.

Ventilator
Stern
Blume

Ventilator, Stern und Blüte passen beim Drehen mehrmals auf sich selbst.

Die Ordnung der Drehsymmetrie ist die Anzahl, wie oft eine Figur bei einer vollen Drehung (360°) genau gleich aussieht. Die Startposition zählt am Ende der Drehung mit, aber nur einmal. Ein Quadrat passt nach 90°, 180°, 270° und 360° auf sich selbst, also hat es die Ordnung 4. Man sagt auch: Das Quadrat ist vierzählig drehsymmetrisch.

Jede Figur passt nach einer vollen Umdrehung auf sich selbst, also hat jede Figur mindestens die Ordnung 1. Deshalb gilt: Ordnung 1 bedeutet: nicht drehsymmetrisch. Drehsymmetrisch ist eine Figur erst ab Ordnung 2.

Kennst du die Ordnung, kennst du auch den kleinsten Drehwinkel:

kleinster Drehwinkel = 360° ÷ Ordnung

Ein regelmäßiges Fünfeck hat die Ordnung 5, also passt es alle 360° ÷ 5 = 72° auf sich selbst. Das geht auch rückwärts: Passt eine Figur alle 120°, hat sie die Ordnung 360 ÷ 120 = 3.

Ein wichtiger Sonderfall ist die Punktsymmetrie: Sie ist eine Drehsymmetrie mit dem Drehwinkel 180°, also eine halbe Drehung um den Symmetriepunkt. Jede Figur mit gerader Ordnung (2, 4, 6, …) ist auch punktsymmetrisch, zum Beispiel Parallelogramm, Rechteck und Quadrat. Das gleichseitige Dreieck (Ordnung 3) ist drehsymmetrisch, aber nicht punktsymmetrisch.

Drehsymmetrie ist etwas anderes als Achsensymmetrie, bei der man die Figur an einer Symmetrieachse faltet und die Hälften genau aufeinanderliegen. Eine Figur kann das eine ohne das andere haben: Das S ist drehsymmetrisch (Ordnung 2), hat aber keine Symmetrieachse; ein Herz hat eine Achse, ist aber nicht drehsymmetrisch. Mehr dazu auf der Seite Symmetrie.

Ein nützliches Muster: Hat eine ebene Figur mindestens eine Symmetrieachse, dann ist ihre Ordnung der Drehsymmetrie gleich der Anzahl ihrer Achsen. Quadrat: 4 Achsen, Ordnung 4; gleichseitiges Dreieck: 3 und 3; Rechteck: 2 und 2. Jedes regelmäßige n-Eck hat n Achsen und die Ordnung n. Drehen gehört wie Spiegeln und Verschieben zu den Kongruenzabbildungen.

Beispiele

Figur	Symmetrieachsen	Ordnung der Drehsymmetrie	kleinster Drehwinkel
Quadrat	4	4	90°
Rechteck (kein Quadrat)	2	2	180°
Raute (kein Quadrat)	2	2	180°
allgemeines Parallelogramm	0	2	180°
gleichseitiges Dreieck	3	3	120°
gleichschenkliges oder allgemeines Dreieck	1 oder 0	1 (keine)	–
Drachenviereck	1	1 (keine)	–
regelmäßiges Fünfeck	5	5	72°
regelmäßiges Sechseck	6	6	60°
regelmäßiges Achteck	8	8	45°
Kreis	unendlich viele	unendlich	jeder Winkel
Buchstaben S, Z, N	0	2	180°
Buchstabe H	2	2	180°

Beispielaufgabe: Der Umriss eines Stoppschilds ist ein regelmäßiges Achteck. Ohne die Schrift passt er bei einer vollen Drehung 8-mal auf sich selbst. Seine Ordnung ist also 8, und der kleinste Drehwinkel ist 360° ÷ 8 = 45°.

Häufige Fehler

Start und Ende doppelt zählen. Die Lage nach 360° ist die Startlage. Zähle sie nur einmal: Das Quadrat hat die Ordnung 4, nicht 5.
Glauben, dass „Ordnung 1“ drehsymmetrisch bedeutet. Ordnung 1 heißt, dass die Figur erst nach einer vollen Drehung passt. Sie ist also nicht drehsymmetrisch: „Ordnung 1“ und „nicht drehsymmetrisch“ bedeuten dasselbe.
Dem Rechteck die Ordnung 4 geben. Nach einer Vierteldrehung liegt das Rechteck quer und passt nicht. Es passt nur alle 180°: Ordnung 2.
Punktsymmetrie und Drehsymmetrie gleichsetzen. Punktsymmetrisch ist eine Figur nur, wenn sie bei einer halben Drehung (180°) passt. Das gleichseitige Dreieck ist drehsymmetrisch, aber nicht punktsymmetrisch.

Schritt für Schritt

Drehzentrum findenSuche den Mittelpunkt der Figur. Bei einem regelmäßigen Vieleck oder einem Kreis ist das der Punkt, der von allen Ecken bzw. vom Rand gleich weit entfernt ist.
Abpausen und markierenPause die Figur auf Transparentpapier ab (oder stell sie dir vor) und mach oben einen kleinen Punkt oder Pfeil, damit du die Lagen unterscheiden kannst.
Langsam drehenHalte das Drehzentrum mit einer Bleistiftspitze fest und dreh die Pause einmal ganz herum.
Treffer zählenZähle, wie oft die Pause genau auf der Figur liegt. Hör auf, wenn der Punkt wieder oben ist: Die volle Drehung zählt als ein Treffer.
Ergebnis notierenDie Anzahl ist die Ordnung. Den kleinsten Drehwinkel berechnest du mit 360° ÷ Ordnung.

Kein Transparentpapier? Achte auf gleiche Teile, die gleichmäßig um die Mitte verteilt sind, wie die Flügel eines Ventilators oder die Zacken eines Sterns. Besteht eine Figur aus 5 gleichen, gleichmäßig verteilten Armen, hat sie die Ordnung 5.

Übungsaufgaben

Bestimme die Ordnung der Drehsymmetrie

Löse jede Aufgabe und prüfe dann deine Antwort.

Welche Ordnung hat die Drehsymmetrie eines Quadrats?
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Es passt alle 90°: 4
Welche Ordnung hat ein Rechteck, das kein Quadrat ist?
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Es passt nur alle 180°: 2
Welche Ordnung hat ein gleichseitiges Dreieck?
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Es passt alle 120°: 3
Welche Ordnung hat ein gleichschenkliges Dreieck, das nicht gleichseitig ist?
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Es passt erst nach einer vollen Drehung: Ordnung 1 (nicht drehsymmetrisch)
Welche Ordnung hat ein regelmäßiges Fünfeck?
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5
Welche Ordnung hat ein Parallelogramm ohne rechte Winkel und mit zwei verschiedenen Seitenlängen?
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Es passt nach einer halben Drehung: 2
Ist ein Drachenviereck drehsymmetrisch?
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Es passt erst nach einer vollen Drehung, also nein (Ordnung 1)
Regelmäßiges Achteck: Welche Ordnung, welcher kleinste Drehwinkel?
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Ordnung 8; 360° ÷ 8 = 45°
Eine Figur hat Drehsymmetrie der Ordnung 6. Wie groß ist der kleinste Drehwinkel?
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360° ÷ 6 = 60°
Eine Figur passt alle 72° auf sich selbst. Welche Ordnung hat ihre Drehsymmetrie?
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360 ÷ 72 = 5
Welche Ordnung hat die Drehsymmetrie der Großbuchstaben S, H und A?
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S: 2, H: 2, A: 1 (keine)
Wie viele Symmetrieachsen hat ein regelmäßiges Sechseck, und welche Ordnung hat seine Drehsymmetrie?
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6 Achsen und Ordnung 6
Eine Raute ist kein Quadrat. Wie viele Symmetrieachsen hat sie, welche Ordnung?
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Die beiden Diagonalen sind Achsen: 2 Achsen, Ordnung 2
Ein regelmäßiges Vieleck hat den kleinsten Drehwinkel 40°. Wie viele Ecken hat es?
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Ordnung = 360 ÷ 40 = 9, also 9 Ecken (ein regelmäßiges Neuneck)
Eine Figur hat Drehsymmetrie der Ordnung 3. Sieht sie nach einer Drehung um 240° gleich aus?
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240 ÷ 120 = 2 ist eine ganze Zahl, also ja
Kann eine Figur Drehsymmetrie der Ordnung 3 und keine Symmetrieachse haben?
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Ja, zum Beispiel ein Windrad mit drei Flügeln, die alle in dieselbe Richtung abgeknickt sind.

Sachaufgaben

Drehsymmetrie im Alltag

Löse jede Aufgabe und prüfe dann deine Antwort.

Ein Deckenventilator hat 5 gleiche, gleichmäßig verteilte Flügel. Welche Ordnung hat er, und um welchen kleinsten Winkel muss er sich drehen, um gleich auszusehen?
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Ordnung 5; 360° ÷ 5 = 72°
Ein Windrad hat 3 gleiche Rotorblätter. Um welchen Winkel muss es sich drehen, bis es wieder gleich aussieht?
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360° ÷ 3 = 120°
Ein Fahrradrad hat 6 gleiche, gleichmäßig verteilte Speichen. Wie groß ist der Winkel zwischen zwei benachbarten Speichen?
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360° ÷ 6 = 60°
Ein Fliesenmuster hat Drehsymmetrie der Ordnung 4. Sieht es nach einer Drehung um 270° gleich aus?
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Der kleinste Winkel ist 90°, und 270 ÷ 90 = 3, also ja
Ein Logo hat Drehsymmetrie der Ordnung 3. Sieht es nach einer halben Drehung (180°) gleich aus?
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180 ÷ 120 = 1,5 ist keine ganze Zahl, also nein
Eine Schneeflocke hat Drehsymmetrie der Ordnung 6. Nenne alle Winkel zwischen 0° und 360°, bei denen sie gleich aussieht.
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Vielfache von 60°: 60°, 120°, 180°, 240° und 300° (und 360°, die volle Drehung)

Häufige Fragen

Was ist Drehsymmetrie, einfach erklärt?

Eine Figur ist drehsymmetrisch, wenn sie nach einer Drehung um ihren Mittelpunkt um weniger als 360° genau auf sich selbst passt. Wie oft das bei einer vollen Drehung passiert, ist die Ordnung.

Was ist der Unterschied zwischen Drehsymmetrie und Punktsymmetrie?

Punktsymmetrie ist eine besondere Drehsymmetrie: die mit 180°. Jede punktsymmetrische Figur ist drehsymmetrisch, aber nicht umgekehrt. Das gleichseitige Dreieck passt bei 120°, aber nicht bei 180°.

Wie viele Drehsymmetrien hat ein Quadrat?

Ein Quadrat passt bei Drehungen um 90°, 180° und 270° auf sich selbst (und nach 360° sowieso). Es ist also vierzählig drehsymmetrisch, Ordnung 4. Außerdem hat es 4 Symmetrieachsen.

Wie viele Symmetrieachsen haben Quadrat, Rechteck, Dreieck und Kreis?

Quadrat 4, Rechteck 2 (die Diagonalen sind keine Achsen), gleichseitiges Dreieck 3, gleichschenkliges Dreieck 1, Kreis unendlich viele (jede Gerade durch den Mittelpunkt).

Wie prüft man Achsensymmetrie und Punktsymmetrie bei Funktionen?

Ein Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn f(−x) = f(x) für alle x gilt, zum Beispiel f(x) = x². Er ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn f(−x) = −f(x) gilt, zum Beispiel f(x) = x³. Die Normalparabel ist also achsensymmetrisch, aber nicht punktsymmetrisch. Mehr bei den quadratischen Gleichungen.

Wo findet man Drehsymmetrie im Alltag?

Bei Radkappen, Ventilatoren, Windrädern, Blüten, Schneeflocken, Kirchenfenstern (Rosetten) und vielen Logos. Kinder in der Grundschule erkennen sie gut an Windrädern aus Papier.

Kurzes Quiz