Mathe
Was ist eine Kreuztabelle, und wie liest und ergänzt man sie?
Kurze Antwort
Eine Kreuztabelle ordnet Daten nach zwei Merkmalen zugleich, eins in den Zeilen, eins in den Spalten. Mit den Summen ergänzt man Lücken und berechnet Wahrscheinlichkeiten.
In einem Satz
Eine Kreuztabelle ordnet Dinge nach zwei Merkmalen gleichzeitig, eins in den Zeilen und eins in den Spalten, und jedes Feld zählt, was beide Merkmale hat.
Erklärt
Stell dir vor, du fragst deine Klasse zwei Dinge: „Bist du ein Junge oder ein Mädchen?“ und „Welchen Sport magst du am liebsten?“. Eine Liste oder eine Strichliste zeigt immer nur eine Antwort. Eine Kreuztabelle zeigt beide zusammen. Die Zeilen stehen für das eine Merkmal (Jungen, Mädchen), die Spalten für das andere (Fußball, Schwimmen, Tennis). Jedes Feld enthält die Anzahl der Kinder, die zu seiner Zeile und zu seiner Spalte passen. In der Grundschule heißt so etwas oft einfach Tabelle mit zwei Merkmalen; auf Englisch sagt man „two-way table“.
Fußball
Apfel
Heft
Haben beide Merkmale nur zwei Ausprägungen (zum Beispiel Junge/Mädchen und zu Fuß/nicht zu Fuß), entstehen vier Felder. Diese Tabelle heißt Vierfeldertafel und ist in der Schule die wichtigste Kreuztabelle, vor allem in der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Fast immer gibt es eine Summenzeile und eine Summenspalte:
- die Felder einer Zeile ergeben die Zeilensumme;
- die Felder einer Spalte ergeben die Spaltensumme;
- die Zeilensummen und die Spaltensummen ergeben beide die Gesamtsumme unten rechts.
Mit diesen Regeln ergänzt man eine Tabelle mit Lücken. Suche eine Zeile oder Spalte, in der nur eine Zahl fehlt, rechne sie mit einer Subtraktion aus und mach weiter. Jede neue Zahl öffnet meist die nächste Lücke.
Kreuztabellen eignen sich auch, um Wahrscheinlichkeiten abzulesen. Wählst du eine Person zufällig aus, ist die Wahrscheinlichkeit die Zahl der günstigen Fälle geteilt durch die Gesamtzahl, aus der du auswählst. Achte genau darauf, welche Gesamtzahl das ist: „ein Mädchen, das Tennis gewählt hat“ bezieht sich auf alle Kinder, „von den Mädchen, wer hat Tennis gewählt?“ nur auf die Mädchen. Das ist schon der Kern der bedingten Wahrscheinlichkeit. Dieselben Informationen kann man oft auch in einem Venn-Diagramm darstellen.
Beispiele
Umfrage unter 55 Kindern:
| Fußball | Schwimmen | Tennis | Summe | |
|---|---|---|---|---|
| Jungen | 14 | 6 | 5 | 25 |
| Mädchen | 9 | 11 | 10 | 30 |
| Summe | 23 | 17 | 15 | 55 |
- Wie viele Mädchen haben Schwimmen gewählt? Zeile Mädchen, Spalte Schwimmen: 11.
- Wie viele Kinder haben Tennis gewählt? Spaltensumme Tennis: 15.
- Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewähltes Kind ein Mädchen ist, das Tennis gewählt hat: 10/55 = 2/11.
- Welcher Anteil derer, die Schwimmen gewählt haben, sind Mädchen? 11 von 17: 11/17.
Durchgerechnet (Vierfeldertafel ergänzen): 40 Kinder, davon 22 Mädchen. 15 Kinder gehen zu Fuß zur Schule, davon 9 Mädchen. Wie viele Jungen gehen nicht zu Fuß?
| zu Fuß | nicht zu Fuß | Summe | |
|---|---|---|---|
| Mädchen | 9 | 22 − 9 = 13 | 22 |
| Jungen | 15 − 9 = 6 | 18 − 6 = 12 | 40 − 22 = 18 |
| Summe | 15 | 40 − 15 = 25 | 40 |
Also gehen 12 Jungen nicht zu Fuß. Probe: Die Spalte „nicht zu Fuß“ ergibt 13 + 12 = 25. ✓
Häufige Fehler
- Zeilen und Spalten verwechseln. Richtig: einen Finger auf den Zeilennamen, einen auf den Spaltennamen legen und beide bis zum Feld schieben.
- Die falsche Gesamtzahl für eine Wahrscheinlichkeit nehmen. Richtig: frag dich „von wem?“. Von allen: Gesamtsumme; von den Jungen: Summe der Jungen.
- Anzahlen statt Anteile vergleichen. Gehen 12 von 40 Mädchen und 10 von 20 Jungen zu Fuß, sind es mehr Mädchen, aber ein Junge geht mit größerer Wahrscheinlichkeit zu Fuß (1/2 gegen 3/10).
- Die Probe vergessen. Richtig: Ist die Tabelle voll, müssen Zeilensummen und Spaltensummen beide die Gesamtsumme ergeben.
Schritt für Schritt
Schritt für Schritt
- Tabelle zeichnenEin Merkmal in die Zeilen, das andere in die Spalten, dazu eine Summenzeile und eine Summenspalte.
- Bekanntes eintragenJede Zahl aus dem Text in ihr Feld schreiben, auch die Gesamtsumme.
- Einzelne Lücke suchenEine Zeile oder Spalte mit nur einem leeren Feld finden und durch Subtrahieren von der Summe berechnen.
- WiederholenJede neue Zahl öffnet eine weitere Lücke. Weitermachen, bis die Tabelle voll ist.
- Probe und AntwortZeilen und Spalten müssen aufgehen. Dann das gefragte Feld ablesen.
Für eine Wahrscheinlichkeit schreibst du „günstige Fälle : Anzahl, aus der gewählt wird“ und kürzt den Bruch.
Übungsaufgaben
Kreuztabellen
Löse jede Aufgabe und prüfe dann deine Antwort.
- Eine Zeile hat die Summe 28. Die beiden anderen Felder enthalten 9 und 11. Wie lautet das fehlende Feld?
Lösung zeigen
28 − 9 − 11 = 8 - Eine Spalte hat die Summe 45 und zwei Felder. Eins enthält 17. Was steht im anderen?
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45 − 17 = 28 - Die Zeilensummen einer Tabelle sind 25 und 30. Wie groß ist die Gesamtsumme?
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25 + 30 = 55 - Wie viele Jungen haben in der Umfrage oben Fußball gewählt?
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Zeile Jungen, Spalte Fußball: 14 - Wie viele Kinder haben in der Umfrage Schwimmen gewählt?
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Spaltensumme Schwimmen: 17 - Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewähltes Kind der Umfrage Fußball gewählt hat?
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23 von 55: 23/55 - Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewähltes Kind ein Junge ist, der Tennis gewählt hat?
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5/55 = 1/11 - Welcher Anteil der Jungen hat Fußball gewählt?
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14 der 25 Jungen: 14/25 (56 %) - Welcher Anteil derer, die Schwimmen gewählt haben, sind Jungen?
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6 von 17: 6/17 - Bei einer Tierschau sind 50 Personen: 30 Erwachsene und 20 Kinder. 28 Personen mögen lieber Hunde, die anderen lieber Katzen. 12 Kinder mögen lieber Hunde. Wie viele Erwachsene mögen lieber Katzen?
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Erwachsene mit Hunden: 28 − 12 = 16. Erwachsene mit Katzen: 30 − 16 = 14 - Wie groß ist in Aufgabe 10 die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Person ein Kind ist, das lieber Katzen mag?
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Kinder mit Katzen: 20 − 12 = 8, also 8/50 = 4/25 - In einer Klasse mit 32 Kindern haben 18 ein Haustier. Es gibt 16 Mädchen, und 10 davon haben ein Haustier. Wie viele Jungen haben kein Haustier?
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Jungen: 32 − 16 = 16. Jungen mit Haustier: 18 − 10 = 8. Ohne Haustier: 16 − 8 = 8 - 120 Kinder wählen Französisch oder Latein. 70 wählen Französisch, davon 40 Mädchen. Die Hälfte der Lateinkinder sind Mädchen. Wie viele Mädchen gibt es insgesamt?
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Latein: 120 − 70 = 50, also 25 Mädchen. Mädchen: 40 + 25 = 65 - Wählt in der Umfrage eher ein Junge oder eher ein Mädchen Fußball?
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Jungen: 14/25 = 0,56. Mädchen: 9/30 = 0,3. Eher ein Junge.
Sachaufgaben
Kreuztabellen im Alltag
Löse jede Aufgabe und prüfe dann deine Antwort.
- Ein Café hatte 60 Gäste: 36 tranken Kaffee, die anderen Tee. 15 Kaffeetrinker und 8 Teetrinker aßen auch Kuchen. Wie viele Gäste aßen keinen Kuchen?
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Kuchen: 15 + 8 = 23. Kein Kuchen: 60 − 23 = 37 - Wie groß ist in Aufgabe 1 die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewählter Gast Tee ohne Kuchen hatte?
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Tee: 60 − 36 = 24; Tee ohne Kuchen: 24 − 8 = 16. 16/60 = 4/15 - 90 Kinder machen einen Ausflug: 50 aus Klasse 5 und 40 aus Klasse 6. 55 wählen den Zoo, die anderen das Museum. 20 Kinder aus Klasse 6 wählen das Museum. Wie viele aus Klasse 5 wählen den Zoo?
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Zoo in Klasse 6: 40 − 20 = 20. Zoo in Klasse 5: 55 − 20 = 35 - Bei einer Umfrage wollen 12 der 20 befragten Erwachsenen einen neuen Park. Der Ort hat 3000 Erwachsene. Schätze, wie viele den Park wollen.
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12/20 = 0,6 und 0,6 · 3000 = 1800 Erwachsene - 12 von 40 Mädchen und 10 von 20 Jungen gehen zu Fuß zur Schule. Mia sagt: „Es gehen mehr Mädchen zu Fuß, also geht ein Mädchen eher zu Fuß.“ Hat sie recht?
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Nein. 12/40 = 30 % der Mädchen, aber 10/20 = 50 % der Jungen gehen zu Fuß: Ein Junge geht eher zu Fuß.
Häufige Fragen
Was ist eine Kreuztabelle in der Statistik?
Eine Tabelle, die die Häufigkeiten von zwei Merkmalen gemeinsam zeigt: jede Kombination in einem Feld, dazu die Randsummen. Sie heißt auch Kontingenztafel. So sieht man, ob zwei Merkmale zusammenhängen.
Was ist der Unterschied zwischen Kreuztabelle und Vierfeldertafel?
Eine Vierfeldertafel ist eine Kreuztabelle mit genau zwei Zeilen und zwei Spalten (plus Summen), also für zwei Merkmale mit je zwei Ausprägungen. In der Wahrscheinlichkeitsrechnung schreibt man oft Wahrscheinlichkeiten statt Anzahlen hinein.
Wie interpretiert man eine Kreuztabelle?
Vergleiche Anteile innerhalb der Zeilen oder Spalten, nicht nur Anzahlen. In der Umfrage wählen 14 von 25 Jungen (56 %) Fußball, aber nur 9 von 30 Mädchen (30 %): In dieser Umfrage zeigt sich also ein Zusammenhang zwischen Geschlecht und Lieblingssport.
Wie erstellt man eine Kreuztabelle in Excel oder SPSS?
In Excel tippst du sie von Hand oder erzeugst sie aus einer Antwortliste mit einer PivotTable. In SPSS findest du sie unter Analysieren → Deskriptive Statistiken → Kreuztabellen.
Was ist eine Kreuztabellenabfrage in Access?
Ein Abfragetyp in der Datenbank Access, der Daten wie eine Kreuztabelle zusammenfasst: ein Feld als Zeilen, ein Feld als Spalten und in jedem Kreuzungsfeld eine Summe oder Anzahl.
Kurzes Quiz
Kreuztabelle (Vierfeldertafel)
Teste dein Wissen mit 4 kurzen Fragen.
Frage 1 von 4
Wo steht in einer Kreuztabelle mit Summen die Gesamtsumme?
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Schritt für Schritt üben im ganzen Kurs: Mathe · Klasse 6
Für Erwachsene
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Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit misst, wie wahrscheinlich etwas eintritt, auf einer Skala von 0 (unmöglich) bis 1 (sicher). Eine faire Münze zeigt mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 Kopf.
Venn-Diagramme
Ein Venn-Diagramm sortiert Dinge mit sich überlappenden Kreisen in Gruppen. Die Schnittmenge zeigt, was zu beiden Gruppen gehört, und außerhalb steht, was zu keiner gehört.
Strichlisten
Eine Strichliste ist eine Tabelle, in der man mit kleinen Strichen zählt. Jeder Strich ist eins, und jeder fünfte Strich streicht die vier davor durch, sodass man in Fünfern zählen kann.
Liniendiagramme
Ein Liniendiagramm zeigt, wie sich etwas im Lauf der Zeit verändert. Man trägt Punkte in ein Gitter ein und verbindet sie mit einer Linie. So sieht man Anstieg, Abfall und Muster sofort.
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Ein Kreisdiagramm ist ein in Stücke geteilter Kreis, der Teile eines Ganzen zeigt. Ein größeres Stück bedeutet einen größeren Anteil. Zusammen sind alle Stücke 100 Prozent oder 360 Grad.
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit von A, wenn man schon weiß, dass B eingetreten ist. Man schreibt P_B(A) oder P(A|B) und rechnet P_B(A) = P(A∩B) : P(B).