Mathe
Wie vereinfacht man Terme?
Kurze Antwort
Um einen Term zu vereinfachen, löst man zuerst die Klammern auf und fasst dann gleichartige Glieder zusammen (gleiche Variablen mit gleichen Exponenten). Beispiel: 3x + 2y + 5x − y = 8x + y.
In einem Satz
Einen Term vereinfachen heißt, ihn so kurz und übersichtlich wie möglich aufzuschreiben, ohne seinen Wert zu ändern, vor allem durch Klammern auflösen und gleichartige Glieder zusammenfassen.
Erklärt
Ein Term ist ein Rechenausdruck aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen, aber ohne Gleichheitszeichen, zum Beispiel 3x + 2y + 5x − y. (Mit Gleichheitszeichen wäre es eine Gleichung, die man löst; einen Term vereinfacht man nur.) Die Teile, die durch + oder − getrennt sind, heißen Glieder (oder Summanden): hier 3x, 2y, 5x und −y. Die Zahl vor der Variablen ist der Koeffizient (Zahlfaktor): In 5x ist er 5, in −y ist er −1. Den Malpunkt zwischen Zahl und Variable lässt man weg: 3 · x schreibt man als 3x.
Bleistift
Heft
Puzzle
Gleichartige Glieder haben genau dieselben Variablen mit genau denselben Exponenten. 3x und 5x sind gleichartig. 4ab und −ba auch, denn ab und ba sind dasselbe Produkt. Aber 2x und 2x² sind nicht gleichartig, 6 und 6x auch nicht. Addieren oder subtrahieren kann man nur gleichartige Glieder, und zwar, indem man ihre Koeffizienten addiert oder subtrahiert. Das nennt man Zusammenfassen:
3x + 5x = 8x und 2y − y = y, also 3x + 2y + 5x − y = 8x + y.
Stell dir vor, du zählst dasselbe: 3-mal x plus 5-mal x ist 8-mal x. Aber x und y sind verschiedene unbekannte Zahlen, deshalb lässt sich 8x + y nicht weiter zusammenfassen. 9xy wäre falsch.
Das Rechenzeichen gehört zum Glied dahinter. In 7a − 2b + a sind die Glieder 7a, −2b und +a. Beim Umstellen nimmst du das Vorzeichen mit: 7a + a − 2b = 8a − 2b.
Multiplizieren ist etwas anderes als Zusammenfassen. Du multiplizierst die Zahlen und dann die Variablen, und dabei dürfen die Glieder verschieden sein: 3a · 4b = 12ab; 2x · 5x = 10x². Bei gleichen Variablen werden die Exponenten addiert: x³ · x² = x⁵ (siehe Potenzen). Beim Dividieren umgekehrt: 12ab : 4a = 3b und x⁵ : x² = x³.
Klammern zuerst. Beim Ausmultiplizieren (Distributivgesetz) wird jedes Glied in der Klammer mit dem Faktor davor multipliziert: 3(x + 4) = 3x + 12. Steht ein Minus vor der Klammer (Minusklammer), drehen sich beim Auflösen alle Vorzeichen in der Klammer um: −(2y − 5) = −2y + 5. Danach fasst man zusammen. Terme ohne Variablen, wie 4 + 3 · (6 − 2), rechnet man mit den Vorrangregeln aus.
Beispiele
| Term | Was du tust | Vereinfacht |
|---|---|---|
| 2x + 5x | Koeffizienten addieren | 7x |
| 8a − 3a + a | 8 − 3 + 1 = 6 | 6a |
| 4x + 2y − x + 3y | x-Glieder und y-Glieder getrennt | 3x + 5y |
| 3 · 4n | Zahlen multiplizieren | 12n |
| 5p · 2q | erst Zahlen, dann Variablen | 10pq |
| x² + 3x + 2x² − x | x² und x sind nicht gleichartig | 3x² + 2x |
| 15x : 5 | Koeffizienten teilen | 3x |
| 4(2x − 3) | jedes Glied mal 4 | 8x − 12 |
Beispiel: Vereinfache 3(2x + 4) − 2(x − 5). Erste Klammer: 6x + 12. Zweite Klammer, wobei −2 mit beiden Gliedern multipliziert wird: −2x + 10 (denn −2 · (−5) = +10). Zusammenfassen: 6x − 2x = 4x und 12 + 10 = 22. Ergebnis: 4x + 22. Probe mit x = 1: Der Ausgangsterm ergibt 3 · 6 − 2 · (−4) = 18 + 8 = 26, und 4 · 1 + 22 = 26. Es stimmt.
Häufige Fehler
- Ungleichartige Glieder zusammenfassen. 2a + 3b ist nicht 5ab. So geht’s richtig: Nur Glieder mit gleichen Variablen und Exponenten zusammenfassen.
- x², 2x und x + x verwechseln. x + x = 2x, aber x · x = x². So geht’s richtig: Beim Addieren zählst du, beim Multiplizieren steigt der Exponent.
- Nicht jedes Glied in der Klammer multiplizieren. 4(x + 3) ist 4x + 12, nicht 4x + 3. So geht’s richtig: Von der Zahl vor der Klammer einen Bogen zu jedem Glied zeichnen.
- Die Minusklammer vergessen. 5 − (x − 2) ist 5 − x + 2 = 7 − x, nicht 3 − x. So geht’s richtig: Das Minus dreht alle Vorzeichen in der Klammer um.
Schritt für Schritt
Schritt für Schritt
- Klammern auflösenDen Faktor vor der Klammer mit jedem Glied in der Klammer multiplizieren. Auf die Vorzeichen achten.
- Gleichartige Glieder markierenGlieder mit gleichen Variablen und Exponenten unterstreichen oder farbig markieren (x-Glieder, x²-Glieder, Zahlen …).
- ZusammenfassenDie Koeffizienten jeder Gruppe addieren oder subtrahieren. Jedes Glied behält sein Vorzeichen.
- Ordentlich aufschreibenMeist die höchste Potenz zuerst, dann die kleineren, zuletzt die Zahl: 3x² + 2x − 5.
- Probe machenEine einfache Zahl, z. B. x = 2, in den Ausgangsterm und in das Ergebnis einsetzen. Beide müssen denselben Wert haben.
„Vereinfachen“ heißt nie „x ausrechnen“. Ohne Gleichheitszeichen ist das Ergebnis wieder ein Term.
Übungsaufgaben
Vereinfache die Terme
Löse jede Aufgabe und prüfe dann deine Antwort.
- 4x + 3x
Lösung zeigen
4 + 3 = 7: 7x - 9y − 5y
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9 − 5 = 4: 4y - 3a + 2b + 5a
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3a + 5a = 8a: 8a + 2b - 6m − m + 2
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6m − 1m = 5m: 5m + 2 - 2x + 7 − 5x + 1
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2x − 5x = −3x und 7 + 1 = 8: −3x + 8 (oder 8 − 3x) - 4p + 3q − p − 5q
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4p − p = 3p und 3q − 5q = −2q: 3p − 2q - 3x² + 5x − x² + 2x
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3x² − x² = 2x² und 5x + 2x = 7x: 2x² + 7x - 5 · 3y
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5 · 3 = 15: 15y - 2a · 4b
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2 · 4 = 8 und a · b = ab: 8ab - 3x · 2x
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3 · 2 = 6 und x · x = x²: 6x² - 12ab : 4a
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12 : 4 = 3 und ab : a = b: 3b - 3(x + 4)
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3 · x + 3 · 4: 3x + 12 - 2(3y − 5) + 4y
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6y − 10 + 4y: 10y − 10 - 5(a + 2) − 3(a − 1)
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5a + 10 − 3a + 3: 2a + 13 - 2x³ · 5x⁴
Lösung zeigen
2 · 5 = 10 und x³ · x⁴ = x⁷: 10x⁷ - 4(2x − 1) − (x − 6)
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8x − 4 − x + 6: 7x + 2
Sachaufgaben
Terme im Alltag
Löse jede Aufgabe und prüfe dann deine Antwort.
- Ein Rechteck ist 3x cm lang und (x + 2) cm breit. Gib den Umfang als vereinfachten Term an.
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3x + 3x + (x + 2) + (x + 2) = 8x + 4 cm - Ein Dreieck hat die Seiten 2a, 3a + 1 und a + 4. Gib den Umfang möglichst einfach an.
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2a + 3a + a = 6a und 1 + 4 = 5: 6a + 5 - Du kaufst 3 Hefte zu je n Euro und 2 Stifte zu je p Euro, danach noch 2 Hefte. Stelle einen Term für den Gesamtpreis auf.
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3n + 2p + 2n = 5n + 2p Euro - Eine Familie kauft am Samstag 2 Erwachsenenkarten (a) und 3 Kinderkarten (k), am Sonntag 1 Erwachsenen- und 2 Kinderkarten. Stelle den Term auf und berechne ihn für a = 12 € und k = 7 €.
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2a + 3k + a + 2k = 3a + 5k; 3 · 12 + 5 · 7 = 36 + 35 = 71 € - Ein Quadrat hat die Seitenlänge (x + 3) cm. Gib den Umfang an und berechne ihn für x = 5.
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4(x + 3) = 4x + 12; 4 · 5 + 12 = 32 cm
Häufige Fragen
Was ist der Unterschied zwischen Terme vereinfachen und zusammenfassen?
Zusammenfassen ist ein Teil des Vereinfachens: Man addiert oder subtrahiert gleichartige Glieder, z. B. 2x + 3x = 5x. Vereinfachen ist der Oberbegriff und umfasst auch Klammern auflösen, Multiplizieren und Kürzen.
Welche Regeln gelten beim Terme vereinfachen?
Nur gleichartige Glieder zusammenfassen; beim Multiplizieren Zahlen mit Zahlen und Variablen mit Variablen multiplizieren; Klammern mit dem Distributivgesetz auflösen; bei einer Minusklammer alle Vorzeichen umdrehen.
Wie geht Terme vereinfachen mit Klammern?
Multipliziere den Faktor vor der Klammer mit jedem Glied darin und fasse danach zusammen. 2(x + 5) + 3x = 2x + 10 + 3x = 5x + 10.
Wie vereinfacht man Terme mit Potenzen?
Bei gleicher Basis werden die Exponenten beim Multiplizieren addiert: a² · a³ = a⁵. Beim Dividieren werden sie subtrahiert: a⁶ : a² = a⁴. Potenziert man eine Potenz, multipliziert man die Exponenten: (a²)³ = a⁶.
Wie vereinfacht man Bruchterme?
Teile jedes Glied im Zähler durch den Nenner: (6x + 9) : 3 = 2x + 3. Aus Summen darf man nicht einzelne Glieder kürzen: (x + 6) : 3 ist x/3 + 2, nicht x + 2.
Ist 2x + 3 schon vereinfacht?
Ja. 2x und 3 sind nicht gleichartig, also lässt sich nichts mehr zusammenfassen.
Was ist der Unterschied zwischen Vereinfachen und Lösen?
Einen Term (ohne Gleichheitszeichen) vereinfacht man, das Ergebnis ist wieder ein Term. Eine Gleichung (mit Gleichheitszeichen) löst man, das Ergebnis ist ein Wert wie x = 4.
Kurzes Quiz
Terme vereinfachen
Teste dein Wissen mit 5 kurzen Fragen.
Frage 1 von 5
Vereinfache 5a + 2b + 3a.
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Arbeitsblätter zur Algebra
Schritt für Schritt üben im ganzen Kurs: Mathe · Klasse 8
Für Erwachsene
Verwandte Themen
Algebra
Algebra ist Mathematik mit Buchstaben wie x oder n, die für unbekannte oder veränderliche Zahlen stehen. Wenn zum Beispiel n + 3 = 10 ist, dann ist n = 7.
Gleichungen
Eine Gleichung sagt, dass zwei Dinge gleich sind, mit einem Gleichheitszeichen, zum Beispiel 2x + 1 = 9. Lösen heißt, den Wert des Buchstabens zu finden, der sie wahr macht, hier x = 4.
Rechenreihenfolge (Punkt vor Strich)
Die Rechenreihenfolge legt fest, in welcher Reihenfolge man rechnet: erst Klammern, dann Potenzen, dann Punktrechnung (· und :), dann Strichrechnung (+ und −).
Potenzen
Eine Potenz hat eine kleine hochgestellte Zahl (den Exponenten), die zeigt, wie oft man eine Zahl mit sich selbst malnimmt. Also ist 2⁴ gleich 2 · 2 · 2 · 2 = 16.
Quadratische Ergänzung
Bei der quadratischen Ergänzung schreibt man x² + px + q als (x + p/2)² − (p/2)² + q. So löst man quadratische Gleichungen und findet die Scheitelpunktform einer Parabel.
Verkettete Funktionen
Bei einer Verkettung wird erst eine Funktion angewendet und dann eine zweite auf das Ergebnis. In f(g(x)), kurz (f ∘ g)(x), ist g die innere und f die äußere Funktion.