Was ist Zinseszins, und was ist der Unterschied zu einfachen Zinsen?

Wer Geld auf ein Sparkonto legt, bekommt von der Bank Zinsen: einen Prozentsatz des Geldes, meist einmal im Jahr. Wer einen Kredit aufnimmt, zahlt Zinsen. In der Zinsrechnung heißen die Größen: K = Kapital, p = Zinssatz in Prozent, Z = Zinsen, t = Zeit, n = Anzahl der Jahre.

Einfache Zinsen werden immer vom Anfangskapital K berechnet. Für ein Jahr gilt Z = K · p/100, für t Jahre:

Einfache Zinsen: Z = K · p/100 · t und das Endkapital ist K + Z

Für Tage rechnet man in der Schule meist mit 360 Tagen pro Jahr (jeder Monat zu 30 Tagen): Z = K · p · t : (100 · 360), mit t in Tagen. Legst du 1.000 € zu 5 % mit einfachen Zinsen an, bekommst du jedes Jahr 50 €. Nach 3 Jahren sind es 150 € Zinsen, also 1.150 €.

Beim Zinseszins werden die Zinsen dem Konto gutgeschrieben, und im nächsten Jahr wird das neue, größere Kapital verzinst. Jedes Jahr gibt es also auch Zinsen auf die Zinsen. Das Kapital wird jedes Jahr mit derselben Zahl multipliziert, dem Zinsfaktor q = 1 + p/100. Bei 5 % ist q = 1,05:

Zinseszinsformel: Kₙ = K₀ · qⁿ = K₀ · (1 + p/100)ⁿ Die Zinsen insgesamt sind Kₙ − K₀.

1.000 € zu 5 % mit Zinseszins: nach einem Jahr 1.000 · 1,05 = 1.050 €, nach zwei Jahren 1.050 · 1,05 = 1.102,50 €, nach drei Jahren 1.157,63 €. Das sind 7,63 € mehr als mit einfachen Zinsen. Am Anfang wirkt der Unterschied klein, aber er wächst immer weiter, weil die Potenz in qⁿ das Wachstum beschleunigt. Das nennt man den Zinseszinseffekt; die Kontostände bilden eine geometrische Zahlenfolge. Nach 10 Jahren ergeben einfache Zinsen 1.500 €, Zinseszins aber 1.628,89 €.

Dieselbe Idee gilt für alles, was an Wert verliert. Ein Handy, das jedes Jahr 25 % an Wert verliert, behält 75 %; sein Wert wird also jedes Jahr mit 0,75 multipliziert: W = K₀ · (1 − p/100)ⁿ.

Werden die Zinsen öfter als einmal im Jahr gutgeschrieben, zum Beispiel monatlich, teilt man den Jahreszinssatz durch die Anzahl der Zinsperioden k und nimmt k · n als Exponenten: Kₙ = K₀ · (1 + p/(100k))ᵏⁿ. Echte Konten und Kredite haben zusätzlich eigene Bedingungen und Gebühren, aber die Mathematik dahinter ist genau diese.

Was ist Zinseszins einfach erklärt?#

Zinseszins sind Zinsen auf Zinsen. Die Zinsen eines Jahres werden zum Kapital addiert und im nächsten Jahr mitverzinst. Deshalb wächst das Geld jedes Jahr um etwas mehr: der Zinseszinseffekt.

Was ist die Zinseszinsformel?#

Kₙ = K₀ · qⁿ mit q = 1 + p/100. K₀ ist das Anfangskapital, p der Zinssatz in Prozent, n die Anzahl der Jahre und Kₙ das Endkapital.

Was bedeuten K, Z, p, q, t und n in der Zinsrechnung?#

K ist das Kapital, Z sind die Zinsen, p ist der Zinssatz in Prozent, q = 1 + p/100 ist der Zinsfaktor, t ist die Zeit (oft in Tagen oder Monaten) und n die Anzahl der Jahre beim Zinseszins.

Wie viele Tage hat ein Jahr in der Zinsrechnung?#

In Schulaufgaben meist 360 Tage, jeder Monat mit 30 Tagen. Dann gilt für Tageszinsen Z = K · p · t : (100 · 360). Beispiel: 3.600 € zu 2 % für 90 Tage bringen 3.600 · 2 · 90 : 36.000 = 18 €. Manche Aufgaben rechnen mit 365 Tagen; das steht dann in der Aufgabe.

Wie berechnet man Zinseszins mit dem Taschenrechner?#

Kapital eintippen, mit dem Zinsfaktor multiplizieren und mit der Potenztaste (xʸ oder ^) die Anzahl der Jahre eingeben. Für 2.000 € zu 3 % über 5 Jahre: 2000 × 1,03 ^ 5 = 2318,55.

Wie rechnet man Zinseszins bei monatlicher Gutschrift?#

Den Jahreszinssatz durch 12 teilen und die Monate als Exponenten nehmen: Kₙ = K₀ · (1 + p/1200)¹²ⁿ. Bei 6 % pro Jahr wird das Kapital jeden Monat mit 1,005 multipliziert.

Nach wie vielen Jahren verdoppelt sich ein Kapital?#

Eine schnelle Faustregel ist die „72er-Regel“: 72 durch den Zinssatz teilen. Bei 8 % sind das etwa 72 : 8 = 9 Jahre. Genau gerechnet dauert es etwas länger: Aus 1.000 € werden in 9 Jahren 1.999 €.