Was ist direkte Proportionalität, und wie rechnet man damit?

Eine Kinokarte kostet 4 €. 1 Karte kostet 4 €, 2 Karten kosten 8 €, 5 Karten kosten 20 €, und 0 Karten kosten nichts. Egal wie viele Karten du kaufst: Preis geteilt durch Anzahl ergibt immer 4. Das ist eine proportionale Zuordnung: Der Preis ist direkt proportional zur Anzahl der Karten.

Die Zahl, die immer gleich bleibt, heißt Proportionalitätsfaktor (oder Proportionalitätskonstante) und wird k geschrieben, manchmal auch m. Bei Einkäufen ist sie der Preis für ein Stück. Die Formel lautet

y = k · x, also k = y : x

Woran erkennt man direkte Proportionalität? Es gibt drei Tests, die im Grunde dasselbe sagen:

• Quotientengleichheit: In der Wertetabelle ergibt y : x immer dieselbe Zahl.
• Der Graph: Im Diagramm liegen die Punkte auf einer Geraden durch den Ursprung (0 | 0), einer Ursprungsgeraden. Ihre Steigung ist k.
• Der Null-Test: Ist die eine Größe 0, ist auch die andere 0; und multipliziert man die eine mit einer Zahl, wird die andere mit derselben Zahl multipliziert.

Nicht jede Gerade bedeutet Proportionalität. Ein Taxi, das 9 € für 2 km und 17 € für 6 km verlangt, hat eine Grundgebühr von 5 € plus 2 € pro Kilometer. Der Graph ist eine Gerade, beginnt aber bei 5 € und nicht bei 0, und 9 : 2 ist nicht gleich 17 : 6. Doppelte Strecke heißt hier nicht doppelter Preis.

Das Gegenstück ist die antiproportionale Zuordnung (indirekte Proportionalität): Verdoppelt sich die eine Größe, halbiert sich die andere. Brauchen 4 Maler 6 Stunden für einen Zaun, brauchen 8 Maler bei gleichem Tempo 3 Stunden. Hier bleibt das Produkt gleich (4 · 6 = 8 · 3 = 24), und die Formel ist y = k : x.

Direkte Proportionalität steckt überall: im Verhältnis eines Rezepts, bei Wechselkursen, beim Maßstab einer Karte, bei der Strecke bei gleichbleibender Geschwindigkeit und bei Prozenten (10 % eines Preises sind immer Preis · 0,1).

In der Schule rechnet man oft mit dem Dreisatz in drei Zeilen: 3 Äpfel kosten 6 €. 1 Apfel kostet 6 : 3 = 2 €. 5 Äpfel kosten 5 · 2 = 10 €. Wer lieber eine Gleichung aufstellt, schreibt 3/6 = 5/y, also 3y = 30 und y = 10.

Was ist direkte Proportionalität einfach erklärt?#

Zwei Größen hängen so zusammen, dass zum Doppelten der einen das Doppelte der anderen gehört, zum Dreifachen das Dreifache und zu 0 die 0. Der Quotient der beiden Größen bleibt immer gleich.

Wie lautet die Formel für direkte Proportionalität?#

y = k · x. Den Proportionalitätsfaktor k findest du, indem du einen beliebigen y-Wert durch den passenden x-Wert teilst: k = y : x.

Wie erkennt man direkte Proportionalität?#

In der Tabelle: Alle Quotienten y : x sind gleich. Im Graphen: Die Punkte liegen auf einer Geraden durch den Ursprung. Fehlt eins davon, ist die Zuordnung nicht proportional.

Was ist der Unterschied zwischen direkter und indirekter Proportionalität?#

Bei direkter Proportionalität wachsen beide Größen gemeinsam, und der Quotient y : x ist konstant. Bei indirekter (antiproportionaler) Zuordnung fällt die eine, wenn die andere steigt, und das Produkt x · y ist konstant. Ihr Graph ist eine Hyperbel, keine Gerade.

Wie rechnet man mit dem Dreisatz?#

Erst auf eine Einheit schließen, dann auf die gesuchte Menge: 3 Äpfel kosten 6 €, 1 Apfel kostet 2 €, 5 Äpfel kosten 10 €. Bei proportionalen Zuordnungen rechnest du auf beiden Seiten dasselbe: erst durch 3 teilen, dann mal 5 nehmen.

Ist eine proportionale Zuordnung eine Funktion?#

Ja. Sie ist eine lineare Funktion der Form f(x) = k · x ohne y-Achsenabschnitt. Ihr Graph ist deshalb eine Ursprungsgerade mit der Steigung k.